2017全国高中数学联赛模拟试题(卷)

1、2017暑期培训课程-联赛模拟试卷班 号姓名第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分151 .不等式+ k Zr的解集是,答案：解：设* =22 ，则原不等式化为7sin/ + 2cos2/ > 0 , 一 一 屈*I ；<sinz < I tan / >即 4sirT-7sirn-2<0.结合 “皿 < I 得 4，于是152 .设m为方程一畔1 = I的一个虚根，则以1+必（1 + 6）回.1+炉）卧炉）.答案：一解：由题意知=（8一1）（3的+3.+团+疗+3+1）又3为方程工- -1的一个虚根，故 9 H 1 ,所以小漕+田+3=3 +

2、 I - 0即产+产，短+疗+U-1.而一区1-1 ' J 1回公"一回一：（3+/+3,3）。+小必山1四卜西（0+3% 国产1 .163.设"I, V>1且Nlogj-log/+ 1 = 0,则丁的最小值为. 答案：一解：令 1。段二由Q1, y>i知ro,则方程21阻y 1。&,X+1 °可化为r 】，nI2，一 一 + 1=0/ = / 即 2f +f-1 = 0 = « + 1K2f-1） = 0 解得 2（/=-舍去）t = 1 呜 y = -> y = x2 >x = y2从而j,162 162 88

3、. / : 8 8a + y + y +H*_一 12所以 丁 丁 yyy y，当且仅当4 = 4 , 时取等号.4.在L2,J。中随机选取三个数，从小到大排列后能构成等差数列的概率是.siim答案：解：设选取的三个数为 也”,。十2"（。总1,之1）,由"+ 2 ,2018知2入2O18-"2O17 = Um1O08.对于给定的"，口可取12团2018-2d共2018-24种选择.因此，对所有满足条件的 d ,三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为imV(2018-2c/)-2018x1008-1008x1009 = 1008x10091008x10

4、0935.已知某四面体的四个面都是边长为5, 南，历的三角形，则以该四面体六条棱的中点为顶答案：'解：由已知得C+1 - 2sin3 y = 1 + 2(cosr A+B A-B2 coscosA-B A+B cos,3C , A-B A + B. . C A + B A-B nsin' + (coscos)sincoscos 0整理得 -一 二)®n Jcos 史g = 0 22所以，三数从小到排列后能成等差数列的概率为cos A + cos B + cos C = I + 4sinC满足6.锐角/、B、点的八面体的体积是.答案：1解：如图，矩形中,AD = 4 A

5、.A' - 5） ? ?容易验证四面体/%匚力满足条件，此时，四面体A'BCD六条棱的中点为顶点的八面体是 M - EFGH - N .V -又怛" sina =g忸7;) sirmC嬴4034ly5% H'SZ 匕= 2*3x4*5 = 1066v v M-EFGH V易得，所以又月、夕、1c为锐角，所以向幺。cos>O2.2. C A + B . 71sin = cos=sin(-从而 -?JT A + B JTU << 222 ,所以 222即 J + 5 + C-TT . 2>工+匕=17.已知椭圆16 4 的左右焦点分别为 可

6、与鸟，点尸在直线/48 + 24()上.I*当3 ”取最大值时，回与仍居答案：的比值忸闾等于解：由平面几何知，要使最大,则过鼻，用，尸三点的圆必定与直线,相切于点尸.直线/交支轴于才(-8-26°)则乙- LAF2P即AJ" J阀I M从而明3周又由圆哥定理,，中-2#,0)苣(2&,0)4-8-2百,0)，从而有盟8代入、得,?X归玛I山用I V« + 4x/3 8.若形如37口尻，的五位数满足：37白反、37b3、37gA均能被37整除，则满足条件的五位数37必亡的个数是.答案：解：注意到,设 ,37|37油00 37旧加，y-bca旅b.则l0x-y

7、999q 10jt = 999匕 10wt-999e由于37 1999且(37,10) 1 ,则若工、V、二中有一个被37整除，则其余两个也被37整除.999 人-h 1 = 2S因此，所有满足题意的，力c的个数(即相应的37H”的个数)为37,解答题：本大题共 3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分) 证明：A/1BC为直角三角形的充分必要条件是 sin: J + sin25 + sin2C-2证明：(必要性)不妨设49/ Zfi + ZC-90° 则+$WB + sb?Cyl + siTB + 8/B = 2（充分性）sin A sin B

8、 sin C I证法一：若sin? J + sin2B + sin2C-2,则正弦定理得2R2R,即2a +/ +c2sin2 A -W因此旷+力2 4b +c' -a2bc cos ACOS A；T=r一3 a+b+ c a +b + c8S4 B同理2acos B £ +/? +cHcos' C2 而 cos Ca' +b2若 cosd、cos Jcos 4、cos C均为正，贝u+ 1 .2bc二十"+/,cos B2aca2 +b- +ccos J 由得-*lab COsC=-r-74 f +C-?2hc b'+c'户+V7?

9、 '2be=>+/ -)(/ +c2 +a2)-(2be)-a - 4b2c2 o 0'- - 0n(LZ30.因此8s月画学C0矛盾又由C5U、3&R、cosC均非负，知cos/、cosE、cosC中有一个为0 .证法二： '-=cosL A + cos' £ - sin; J - cos' B-2snA'cos A - sin B cos; B- cos' X sirr B-2cos2 74 cos2 B-2sin#cos/ sinA cosB 2cos.cos旧(cos cosB-sin sin-cos co

10、s/J cosC由 8*4、cosB、cosC 均非负，知 cos/、cosS、cusC 中有一个为 0,其所对应的角为直角.10 .（本题满分20分）求所有的函数'% ” ,对于所有整数工，>'满足/=<且 2.解：将，7 。代入式得尸 2/（。）由此得八。） 0或/（0） - 2 先考虑“）=°的情形.上，1/(x) = /(x+l) + /(x-l)/(x + l) = -1/(x)-/(x-l)将) . I代入式得2，即2/(2)所以，25另一方面，将代入式得八2)4)4/(0)此时，对于推出的情形不成立.因此，°)°不可能.再

11、考虑/, 2的情形.用-f代替r代入式得/(，)/(7) =+ y) =对所有的成立.取# =。，得fix “ o.故对任一整数y有Jy) /(一力.所以，此函数为偶函数.幻"2)仁2;是唯一的解如前所述，将J代入式得2若天为正整数，则由数学归纳法可证明，对所有的正整数x ,有(唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值)/(x)-r+(lV因为函数为偶函数，所以，对于任意的整数M,有,且是满足式的唯一函11 .(本题满分20分)在抛物线的图像上内接一个梯形其中，ADHBC8D交于点M ,设点M到底边AD、的中点的线段长分别为切、 解：如右图，由题意知ADHBC人力 BC .对角线AC与

12、 口 .求梯形4RCD的面积.心lty-kx+bV =居x( 2 - yc - kxc + b从而,由人?上分另为边4。、8c的中点得h - -xsxL?KNL】， 、 】， 、内=5区十标)=-ufl + v) 一 ，一 而"为梯形/BCD对角线的交点，易知必、上三点共线(如可用塞瓦定理证明)，即” 7 M 7工且 轴令。表示 m （或8C）与工轴正向的夹角.于是，ianaA.过点上作LN 1 40.则LNLK = cc .AD = BC =左口但 所以，LN = KLcosa ? sma , sinu .ICO'S Cl=力/D + BC）LN =彳（%+ y%）KL&#

13、39;n- 则一一：.-=:心十汽一丹）；=2（孙-与+工匚-xB）2k 2与myB "得+cn匕4十芍设则 I小0+C吁一融与% =-A|（ + ） + c = -（xfl + v）+ cJha15 ® + XD ）（'+%）- X产a _ 5 1工B + 式a ）（4 + 工口）+ XBXD二区一8）（一孙）% -匕T （工且 + &）（乙 + 工口 ） - xbxd $（工. + xr> ）（5 +工口） +用+门=不（工一4）<% Hf）则 2,阳一门=；（工日f"乜- +工/ -） 工厂孙 Jm-n,上、2（用十国）（阳+ -

14、尸S - -（m + n）/加试-、(本题满分40分)G 一。十1 + b* -b + J +七0-C +1设口，也，'均为正实数，求“ 亡”的最小值.解：由("iy / -2ffl 之°知/-a + a ,同理从-8 + 1 三b , / -C + 1NC ,a2 - d +1 b2 -/>+1 c'-c + la h c+=+所以 方+ c c + a a + b b+c c + a ub .a b c a-b + c t a¥b-¥c , a -¥b + c ”+=1 +1 +1又-'八；=(£?+

15、/>+<:)(!+-+!)- 3b-c c + a a + b=-(b + c) + (c + a) + (a + by(- +-32h + c c + a n + bi-(l + l + l)2-32(柯西不等式)3=2a1 - a+ Zr-6 + 1 c2 - c +13所以 b + c c + u a-b的最小值为2 ,当且仅当"=8" = 1时取等号.二、（本题满分40分）已知MBC的内心为J三个内角的角平分线分别为月。、8E、CF 线段且。的 中垂线分别与8E、尸交于点M、Y .证明：百、/、M、N四点共圆.A证明：要证乂、/、A/、N四点共圆，只需证

16、：乙如图，设线段月。的中点为长，则LMNl = LKNI -90°-LKIN -900-(rJCZ + LCAI)=-(ZJC5+ zLC)2乙 MAI =-LABC下面只需再证-,设以480的外接圆与线段WO中垂线的交点为(A位于不包含点6的弧X。 上).于是 AM = DM '.从而，Z.xV BD =乙W BA .这表明，点A位于的LABC角平分线上。因而，点知,与M重合.所以，/、M、口、8四点位于同一圆周上.故2.从而，41、'"四点共圆.二、（本题满分50分）组合在8。座城市之间有两种方式的飞行航线被执行：任意一座城市至少和七座城市有 直航；任意

17、两座城市可以通过有限次直航来连接 求最小的整数k，使得无论如何安排满足 条件的航线，任意一座城市到任意其他城市最多可以经过人次直航到达.解：A = 27 .首先证明：& ±27.若八28 ,不妨设有两座城市 4、5当间至少经过次28到达.设城市4到月却的一个最短连 接路线为4 f 4 T田-4.因为每一座城市至少和七座城市有直航连接，所以城市4与小与除4 4处以外至少六座城市有直航连接，4田4却与除4团到以外至少五座城市有直航连接.设.44，&回/吐分别与城市4、4、4、/、4$、4、4、4、&、A29 有直航连接，且不属于城市工的所有城市组成的集合为.易知，

18、因卜6国*6闾N5" 12回8）又用明'）,否则，城市4、小之间有更短连接路线.故口.叼矛盾.所以，氏寸27.其次证明：k-21对# = 27,取28座城市&4，闻&与城市集合.当时, 乜|，6 ；当j = ,2回。时，区|5 ,且对Oe, Z GF,，X中不包括城市 44®%对城市&、4、与集合北中的所有城市有直航连接；城市 吊、4集合与“口中所有城市有直航连接；城市月影与集合"g中所有城市有直航连接；集合Xj（° mA,切中任意一座城市除与上述的城市 &有直航连接，与且仅与集合 &中其余城市有直航 连接；城市4与4I有直航连接（,12也7）.这样，城市 4 4外至少与七座城市有直航连接，集合“l中任意一座城市均只与七座城市有直航连接，且城市4回整至少经过27次直航来连接.因此，A -27 .四、（本题满分50分）求所有的实数x ,使得4C、4y * - 7均为完全平方数.解：首先证明：%为正整数.由已知，设 4.Y - 7 f 4a -7-n(m,nEZ+)4 ft). + 7" n 4- 7x = - - - _v =则 4,4 显然，不是解.N+7洲4a (7)工=七一工 (n +7V故4.x = > 0,(p，g) = 1) 4x 乌疝 + 7£乙设