利用复数妙解三角几何等问题

1、利用复数妙解三角几何等问题摘要复数在高中涉及的知识点较少，在高考中占据的分数也不多，但却是很有特色的内容。因为复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式与三角、几何、代数等学科有着密切的联系。本文罗列了复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式，从解三角函数、几何、不等式、方程等几个问题论述复数在解决非复数数学问题的具体应用，充分认识、深刻理解、熟悉掌握和灵活运用复数的几个表示形式去解答，对学生的创新性思维素质和能力的培养具有重要意义。关键字：复数；形式；解题；妙解复数是高三最后一章的内容，短短几页，只有三节，但在高考中却占着一定的分值。 高考中复数主要是以选择题与

2、填空题的形式出现，只要掌握了复数的概念以及运算规律，就很容易得出答案。因此， 教材的编排只简单介绍了复数的概念， 复数的运算以及数系的扩充，没有作过多的介绍，其三角形式和指数形式只是在背景材料中提到过，并没有作详细的介绍。但在实际应用中，很多的数学问题，比如：三角问题、几何问题等我们也可以用复数的知识去解答。在高中数学中，复数把三角、平面几何、解析几何、代数在一定的程度上相互链接起来了，那我们应该如何巧妙地利用复数的不同表示形式去解答这类问题呢下面分别对这几方面进行探究。1 复数的不同表示形式简介复数的代数形式复数的代数形式表示为z x yi （其中x、 y 为实数） ，其中“ i ”叫做虚数

3、单位，i21, X和y分别叫做复数的实部和虚部。复数的几何形式图在复平面上，每一个复数z x yi都能够由复平面上坐标为（x, y）的点 来表示，复数集C和复平面上的点所称的集合之间建立了一个一一对应的关系：“任何一个复数z x yi都可以由复平面的唯一的一个点（x, y）来表示，反之，复平面内的任何一个点（x , y ）都可以表示唯一的复数z x yi。"复数z x yi 一一对应 复平面内的点（x, y）,这就是复数的几何表示形式。复数的向量形式我们知道，任何一个复数都与平面直角坐标系中的点构成一一对应的关系，即：复数z x yi一一对应 复平面内的点M （x, y）,而点M （

4、x, y ） 一一对应平面向量。所以，复数z x yi 一一对应 平面向量OM，也就是说复数z x yi 也可以用起点为原点，点M （x, y）为终点的向量OM表示，OM这个向量即 是复数的向量表示形式。复数的三角形式y设复数z aib对应于对应于向量OP ,其中P的坐标为（a,b）,如图，其中a r cos , b r sin ,所以 z a ib r cos ir sinr(cos i sin )。我们把 z r(cosi sin ）叫做复数z a ib的三角形式。复数的指数形式由我们熟知的欧拉公式e cos i sin 以及复数的三角形式z r(cos i sin )有2 rei ,我们

5、把这个表达式叫做指数形式。也就是说，任 一非零复数z总可以表成zzeiarg 。并且容易得到ei1ei 2ei 1 2 ,2利用复数妙解三角几何等问题复数是中学数学数系中的最后扩充，包含的知识面较多，应用也比较灵活。 复数在高中数学中也是相对独立的，它的三角形式、几何形式、向量形式、代数 形式、指数形式把几何、三角等学科紧紧的联系在一起，构建了一座优美的“桥 梁”。因此，复数为高中数学解题提供了一种新的解题途径。下面对如何利用恰 当复数形式妙解三角几何等问题做一些探讨。解三角函数问题复数的三角形式为z r cos i sin ,而sin与cos是三角函数中的正弦与余弦，这说明复数的三角形式与三

6、角函数有着密切的联系，这个纽带为我们利 用复数的运算与性质来解决三角函数的某些相关的问题创造了一条新的路径。(1)利用三角形式计算三角函数值针对在计算三角函数值时如果我们遇到的角度不是比如0°, 30°, 60°, 90°等等这些特殊的角度，并且题目中的各角度之间又存在着倍数关系时，用三角函数的和差角公式的方法计算则比较复杂，那么我们就可以考虑是否能用复数的表 现形式去解决。三角函数很多时候与 sin , cos有关，而三角函数与复数的三 角形式的共同点是含有sin、cos ,所以我们一般选择复数的三角形式去计算。设z cos isin , 则z cos

7、 i sin ，那么两式相减得z z 2i sin ,从而同理由棣莫弗公式有zn【例1 1计算sin 10sincostancosnsin ncos ntan nz z2isincossin nz2 12iz(2-1)z2 12z2 z-2z(2-3)cosn(2-2)2n z -2zn(2-4)z2n 12znz2n1i z2n1sin 的值。10分析：因为3-是一的倍数，所以可以构造复数 1010解：构造复数z cos- i sin 一 ,那么z1011010由公式(3-1)与(3-4),(2-5)(2-6)z cos 10i sin 。10z5.3sin 一10sin 10sin3 10

8、sin 10z6 1 2P2z2iz4 z2 1 "2P1z22iz31 z2 1 2iz3z4 1322iz z1z2 110 z2iz52zz2 112i i z【例2】为锐角，且tan2的值。解：.sin ，且 为锐角- 101cos. 1 sin2二 sin 22 sincoscos 22 cos一 2 sin13、10.10133.10.105231,10,102122tan1745 tan2sin 2cos2为锐角，且tan1,10,0<,0<证法一:tantantan 21 tan tan 2341341717证法二:复数 7 i4 3i251的一个辐角，即

9、2 2k2是复数7 i 4 3i的辐角主值，故说明：这道题目我们采用的是复数的方法去解答,2 一4也可以采用正切的和角公2式去计算，两者都同样简便。用正切的和角公式这种方法是顺理成章的，因为我 们学习三角函数时经常用的方法，但我们也不妨体验下其他的方法(比如复数方 法)，活跃我们的思维方式，加强我们的创新能力。在学习的过程中我们也提倡题多解，以此来开拓解题的思路，培养逻辑推理能力以及想象力， 进一步提高 数学的解题能力。(2)利用三角形式证明三角等式【例3】4已知为锐角，且 3sin2 2sin21, 3sin 2 2sin2 0,求证:（1987年高考试题）分析：这道题目和例2有点类似，只不

10、过例2是求值，在这里是证明，但最终的结果都是求出2的值。所以在这里我们也可以采用三角函数的一般解法,即根据三角包等变换2的正弦值或余弦值，再根据的取值范围来推导出 2的取值范围，从而得出结论。但如果能联想到复数的三角形式以及 复数辐角的性质，利用复数的方法去证明，那么又可得到另一番匠心独运的复数证法。证明：设乙 cos i sincos i sin ,为锐角，即(0, 32: 3sin22sin2 2sin23 2sincosIP sin 2 3sin cos,/ 3sin22 sin21 2sin2cos2 即 cos23sin2根据棣莫弗公式，有z2 cos2i sin 2根据辐角的性质有

11、:argzi2argz22arg Zi Z2 arg cosi sincos 2i sin 2arg cosi sin3 sin2 3i sin cosarg 3sincosi sinsin i cosarg3sincosi sincos 一2isin 一 2arg3sincoscos 一 2sinsin 一 2isin cos 2i cos sinarg 3sin cosi sin3sincos i sin 22arg 3i sin故结论得证。(3)利用指数形式证明三角等式【例 4】求证 cos5 cos5 5cos3 10 cos16分析：此题如果我们用一般的方法一一和差角公式去证明的话是

12、不容易入手 的，因为等式左边是一倍 角度，而等式右边是五倍角度，无论从左边证明右边还是从右边证明左边都是难上加难， 因此我们可以考虑用复数的方法。 但此题 如果仍用例3的方法去证明是很难行得通的，这时我们可以考虑运用复数的其它 表达形式。通过观察，在这里如构造复数的指数形式去证明较为简便。证明：设 ei cos i sin , ecos i sin ,贝 cosei e2二左边cos5iie e1 i i 5-e e2321 ie321 2ie322i 八 3i cie 2 e 3e3e i3i e1 5i e323i5eii3i10e10e 5e e, 5i5i3i3iii1 e e e e

13、 -ee- 5 10 16222一 cos5165cos3 10 cos =右边故结论得证 总结：由以上几个例子我们可以看出， 对于一些三角函数的数学问题， 适当地构 造复数来解答，不仅能够提高学生灵活应用知识解题的技巧， 而且有利于培养学 生解决数学问题的能力，开拓思维。解几何问题复数z x yi一一对应复平面内的点(x , y ),这是复数的几何表示形式由此可知，复数与几何具有直观的联系，复数的问题可以转化为几何问题来解答, 同样，几何的问题我们也可以转化为复数的问题的来解答。【例5】-13- CE CB BE 1 - - OE44如图，已知OABC是正方形，D是CB的中点，E是DB的中点

14、，证明： AOE 2 COD证明：证法一：取 AB的中点F ,连结OF、EF,如图，那么 FOA COD1设正万形 OABC 的边长为 1 , 则 AF2OF . OAOA cos FOA AF2 、12122V D是CB的中点，E是DB的中点11BE BD , CD BC22EFBF222141 -1BE - BC -4452.OC2 CE3 . 12 342_2 EF OF_ 2_ 2j_5i_5254216 . EF2 OF2 OE2 OFE是直角三角形cos EOFOF 2OE 54cos EOF cos FOAEOF FOAEOF FOA COD故结论得AOE EOF FOA 2 C

15、OD 即 AOE 2 COD证法二：以OA的延长线为实轴，OC的延长线为虚轴，建立复平面，取AB的中点F ,连结OF ,如上图，则 FOA COD设向量OF、OE”对应的复数为乙、Z2OAOE OCCE OCzi1 1i2Z22,二 Zi 13-CB421 .3 .i i2 42一 Z1Z2又丁FOA是复数Zi的辐角,EOA是复数Z2的辐角根据复数的乘方运算性质有2 FOA AOEAOE 2 COD显而点评：证法一是利用平面几何的方法，证法二是利用复数辐角的方法, 易知，证法二比证法一更简洁明了。如果平面上的几何图形之间的关系可以用复数来表示，那么这些几何的问题我们就可以通过复数的运算来解决，

16、巧妙地算出 我们想要的结果，从而使一些比较复杂的几何问题得到更简洁的证法。【例6】3证明余弦定理。证明：证法画出三角形ABC经过A点作BC的高为AD如上图设AB的长为c , AC的长为b , BC的长为a ,贝U BD ABcosB ccosB ,AD ABsin B csinB, CDBC BD a ccosB根据勾股定理，有AC2CD2 AD 2 即 b2 a ccosB 2 csin B 2平方整理后，得2c 2accosB同理：a2 b2 c22bccosA, c2 a2 b2 2abcosC证法二:以B为原点，BA为x轴建立复平面，在复平面内作三角形 ABC,如图，那么A、B、C这三

17、点分别对应的复数为a, 0 , ccosB csin B i图. CA BA BC . CA对应的复数为 a ccosB csin B i a ccosB csin B iCA a a ccosB 2 csin B 2又丁 ,8 ba ccosB 2 csin B 2 b两边平方，移项，整理，得b2 a2 c2 2accosB同理可证 a2 b2 c2 2bccosA, c2 a2 b2 2abcosC点评：对于平面几何的证明，如果我们采用平面几何的证法，不仅需要技巧, 而且遇到图形复杂的问题时，要找出适当的辅助线是很困难的，甚至有时还不知 道该如何下手。但是，如果我们采用复数的方法去解决，只

18、要建立一个复平面， 很多复杂的问题就迎刃而解了。解不等式问题我们都知道，实数是可以比较大小的，不等式是在实数的基础上建立的， 虽 然复数之间是无大小可言的，但是，这并不是表示说复数和不等式毫无关系。因为复数的实部和虚部是由实数构成的，而复数与不等式之间的关系则可以反映在 复数的实部、虚部和模之间的关系上。所以，关于不等式的问题，我们也可以用 复数的知识来解决。1 1【例7】已知0 c 1, 0 b 1且c - , b -2 2求证：，c2 b2 .1c2 b2 .c2 1 b 2 . 1 c2 1 b 2 2 2证明：证法一：设 AE c AG b ,则 EB 1-cGD 1-b在 AOC 和

19、 BOD 中有 OA OC AC OB OD BDOA OB OC OD AC BDOA kb2，OB Jl-c2.一2.求证：0 x b,0 y -b , 0 z -b 33分析：在这里我们可以用三角代换，不等式的基本性质等多种方法来求 证，但如果我们采取复数法，证明也很简洁明了证明：证法一： b2 0c J1-1b 2OD qc1b 2 ,AC&, BD V2, c2 b2.1 c2b2 c21 b21c21 b 22 2证法二：设 z1 c bi , z2 1 c bi , z3 c (1 b)i ,Z4 (1 c) (1 b)i a,b R.c2b2, 1c2b2. c21b2

20、.1c21b2Z1Z2Z3Z4z1Z2 Z3Z4cbi (1 c)bic (1b)i(1c)(1b)i2 2i 2 <2 . .c2b2, 1c2b2,c21b21c21b222证法一通过单位正方形的结合，可以得出结论。但是，证法一这种方法存在 着很强的技巧性，有时候我们是难以想到的。这时我们就应该考虑其他的办法。这个不等式证明题含有四个无理式， 并且这四个无理式都有一个共同的特征： 两 个数的平方和再开方。由此我们很容易联想到距离公式，进而联想到复数的模就 顺理成章了。b2【例8】 若实数x , y , z满足等式x y z b , x2 y2 z2 (b 0)2(3-7)1 . 22

21、-b z2(3-8)工1(3-9)把(3-7)和(3-8)代入(3-9)式,去括号，移项，合并同类项，整理得:3z22bz证法二22-b 同理可证0 x - b ,33（复数法）：2b 3(3-10)令乙 xyi , z?y xi ,则由4z22x2y2把(3-7)和(3-8)代入(3-10)得:Ziz 2. 1b2 z22两边平方，得：2 b2 2bz z2 4 1b2 z22化简，得：0 z 2b32 2同理可证：0 x -b 0 y -b3 3证法一是利用了不等式的基本性质解答， 证法二则利用了模的性质，两种方 法体现了两种不同的数学思维。证法一是最常用的方法，但当我们想不到证法一 时，

22、不妨试试其它途径，比如证法二，或许它会给我们一种意想不到的结果，让 我们体验“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的惊喜。在我们平时的练习中， 如果有意识地“一题多解”，这样不仅可以开拓我们的智力，亦能发散我们的思解方程问题【例9】2解方程2收 1 Jx2 2x 2 Jx2 2x 10。2 . 2, 2解：证法一：原方程两边平方，有：2 x2 1 x2 2x 2 x2 2x 10去括号：4x2 4 x2 2x 2 4 x2 1 , x2 2x 2 x2 2x 10移项，合并同类项，整理得x21 x22xI2x2 x 1,22两边平方，得 .x2 1 x2 2x 2 x2 x 1移项，合并同类项，整

23、理得 4x2 4x 1 0 即：2x 12 0,11故x-即这个方程的根为x- 022分析：证法一是解无理方程的一般解法，即通过平方去根号把它转化成有理 方程再求解。但平方后未知数x的次数增高，项数也增多，甚至有时也会产生增 根，对求解更加困难。但观察这个方程，发现根号里面可以配方，类比复数的模， 故可以归结为复数的问题来解决，即证法二。证法二：原方程化为：. (2x)222 (x1)L12一 J(x1)2322x 2i 1 x i x 1 3i 设乙 2x 2i , z2 (1 x) i ,则 z1 z2 (x 1) 3i显然当且仅当0Z1 , 0Z2共线并且同向时才成立辅角主值相等，故主值的正切值相等。21.1一 x -2x 1 x2这个方程的根为x 1 02点评：只要根号里面的式子可以转化为两个实数的平方和，那么这个根式我