材料力学-- 弯曲应力

1、第六章第六章弯曲应力弯曲应力6.1 6.1 概述概述6.2 6.2 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力6.3 6.3 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件6.4 6.4 弯曲剪应力弯曲剪应力6.5 6.5 梁的剪应力强度校核梁的剪应力强度校核6.6 6.6 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心6.7 6.7 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 平面弯曲的分类：平面弯曲的分类：横力（剪切）弯曲横力（剪切）弯曲( (AC、DB段段) ) ：Fs、M同时存在。同时存在。纯弯曲纯弯曲( (CD段段) )：Fs= =0，

2、M = =常量常量0FFal-2aaCDAB+FaM6-1 6-1 概述概述+FFFs-mmnn一、纯弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力MMaabbmmnnaabb纵线纵线（aa、bb）：）：互相平行的互相平行的直线变为互相平行的直线变为互相平行的曲线，凹曲线，凹侧缩短，凸侧伸长。侧缩短，凸侧伸长。横线（横线（mm、nn）：）：仍为直仍为直线，发生了相对转动，仍与线，发生了相对转动，仍与变形之后的梁轴线垂直。变形之后的梁轴线垂直。6-2 6-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力5纵向对称面纵向对称面MMMM纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴中性层中性层中性层：中性层：中间

3、既不伸长亦不缩短的一层纤维。中间既不伸长亦不缩短的一层纤维。中性轴：中性轴：中性层与梁横截面的交线，垂直于梁的纵向中性层与梁横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面，与同一对称面，与同一横截面的对称轴正交横截面的对称轴正交。（横。（横截面绕中性轴转动）截面绕中性轴转动）平面假设：平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后的梁轴线垂直，只是绕截面的且与变形后的梁轴线垂直，只是绕截面的中性轴转过了一个角度。中性轴转过了一个角度。式式(1)(1)表明线应变表明线应变与它到中性层的距离与它到中性层的距离 y 成正比。成正比。OOdxbbybbyMMOO d

4、d xbb d ybb Kyyy d d d (1) dO 曲率曲率中心中心 曲率半径曲率半径xKdd1 曲率曲率纵向对称面纵向对称面中性层中性层 d d OOOOx（一）变形几何关系（一）变形几何关系MyOzx对称轴对称轴中性轴中性轴( (位位置待定）置待定）yyd d d (1)（二）物理关系：（二）物理关系：EyEyE(2)在中性轴上：在中性轴上：y0， 0。说明：说明：式式 (1) (1) 由平面假设和几何条件推得，与梁的材由平面假设和几何条件推得，与梁的材料性质无关，故不论材料的应力、应变关系如何，此式料性质无关，故不论材料的应力、应变关系如何，此式均适用。均适用。假设假设各纵向纤维

5、之间相互不挤压。各纵向纤维之间相互不挤压。zyxM（三）静力学关系：（三）静力学关系： 0 zSMEIdAyEdAEyydAMzAAAz22)(MyOzxAd 0d dd zAAAxSEAy EAy EAFyE(2)AAAyyzdAEdAEyzzdAM)(y轴为对称轴轴为对称轴0EIz梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度1)-(6 zEIM1yzz 轴过截面形心轴过截面形心 yE (2) 适用条件：适用条件：平面假设；平面假设；单向受力假设；单向受力假设； 服服从虎克定律；从虎克定律； 拉伸与压缩时的弹性模量相等。拉伸与压缩时的弹性模量相等。符号：符号：拉为正，压为负拉为正，压为负。 只要梁有一纵向对称面

6、，且荷载作用在这个平面内，只要梁有一纵向对称面，且荷载作用在这个平面内，公式公式 (3)(3)、 (4) (4) 就可适用。就可适用。(3) 1zEIM2)-(6 zIMyzyxM)1(3243max DyIWzz（四）最大正应力：（四）最大正应力：621223maxbhhbhyIWzz 32 264 34maxDDDyIWzz zzWMIyM maxmaxmaxmax 抗弯截面模量抗弯截面模量 maxyIWzz dDDdDd hbzyCD二、二、 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力对于跨高比对于跨高比 l/h5 梁，剪力梁，剪力 Fs 的影响很小，可推广的影响很小，可推广使用纯弯曲梁的正应

7、力公式。使用纯弯曲梁的正应力公式。横力弯曲：平面假设和单向受力假设不再成立。横力弯曲：平面假设和单向受力假设不再成立。梁的横截面不对称于梁的横截面不对称于 z 轴轴( (中性轴中性轴) )： y1y2yzzIyM1max zIyM2max Mmaxmax 例例6-2-16-2-1 受均布载荷作用的简支梁如图，试求：受均布载荷作用的简支梁如图，试求：（1 1）1-11-1截面上截面上1 1、2 2两点的正应力；两点的正应力；（2 2）1-11-1截面上的最大正应力；截面上的最大正应力；（3 3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4 4）已知）已知E=200GPa，求，求1-11-1截面的曲

8、率半径。截面的曲率半径。kNm5 .678/2max qlMkNm60)22(121 xqxqlxM解：解：画画 M 图：图：1120180302yz20ql2/ 8M+q=60kN/m 1m2m11BA4533m10832. 5 1218. 012. 012 bhIzMPa7 .6110832. 560605111 zIyM 求应力求应力342m1048. 66 bhWzMPa6 .921048. 66071max1 zWM MPa2 .1041048. 65 .677maxmax zWM m4 .194 1060832. 520011 MEIz 求曲率半径求曲率半径MPa7210832.

9、570605212 zIyM 1120180302yz20q=60kN/m 1m2m11BA67.560(kNm)M+ 例例6-2-26-2-2 钢板尺厚钢板尺厚0.80.8mm，长，长252252mm，弹性模量，弹性模量E=E=200GPa200GPa。求当钢板尺弯成。求当钢板尺弯成/3/3圆弧时，钢板尺内的最圆弧时，钢板尺内的最大正应力。大正应力。 3/ s解解：sEyEy3maxmaxmax 3 szzEIMIyMmaxmaxmaxmax1 s3 MPa4 .332 102523104 . 0102 3311 例例6-2-36-2-3如图所示圆轴，如图所示圆轴，在在A、B两处的轴承可简两

10、处的轴承可简化为铰支座，轴的外伸部化为铰支座，轴的外伸部分是空心圆轴。试求轴内分是空心圆轴。试求轴内的最大正应力。的最大正应力。 解：解：(1)(1)求支反力，并画求支反力，并画弯矩图弯矩图 RA=2.93kN; RB=5.07kN(2)(2)计算抗弯截面模量计算抗弯截面模量 实心圆轴实心圆轴Wz ： 危险截面可能在危险截面可能在 C、B 截面截面333cm 2 .2132632 DWz34343cm 6 .1560431326132 DdDWz空心圆轴空心圆轴Wz：ABC5kN3kN40030010006043RARB-+0.90kNm1.17kNmM(3)(3)计算最大正应力计算最大正应力

11、 C截面的最大正应力：截面的最大正应力： B B截面的最大正应力：截面的最大正应力： 轴的最大正应力发生在轴的最大正应力发生在 B 截面处，其值为截面处，其值为57.757.7MPa。 MPa 2 .55 102 .211017. 163CCmax zWM MPa 7 .57 106 .159006BBmax zWM 最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上，即最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上，即弯矩最大的截面不一定是危险截面。弯矩最大的截面不一定是危险截面。ABC5kN3kN40030010006043RARB-+0.90kNm1.17kNmM zWMmaxmax若若 则则 ma

12、x强度校核强度校核: : maxmax zWMzWMmax 载荷设计载荷设计: : 截面设计截面设计: : max MWz 6-3 6-3 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件若若则则 max max且且 例例6-3-16-3-1 T形截面铸铁梁，许用拉应力形截面铸铁梁，许用拉应力 + += =30MPa，许用压应力为许用压应力为 - -= =60MPa。已知中性轴位置。已知中性轴位置 y1 1=52=52mm，截面对截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩 Iz764cm4。试校核梁的强度。并。试校核梁的强度。并说明说明 T 字梁怎样放置更合理？字梁怎样放置更合理？ RA2.5 kN RB 10.5

13、 kN危险截面可能在危险截面可能在B 、C截面。截面。zy1y8012020y220解：解：(1) (1) 绘制弯矩图绘制弯矩图-+4kNm2.5kNmMABC9kN4kN1m1m1mRARB27.2MPa46.1MPa28.8MPa(2)(2)强度校核强度校核 校核校核B： MPa 27.2 )1BBmaxzIyM（MPa 46.1 )2BBmaxzIyM（校核校核C： MPa 28.8 )2CCmaxzIyM（MPa 8 .28)()(Cmaxmax- MPa 46.1)()(Bmaxmax故满足强度条件。故满足强度条件。 (3)(3)本本T形梁形心偏上放置合理形梁形心偏上放置合理( ()

14、 )-+4kNm2.5kNmMBCy1y2讨论：讨论：若若T形梁倒置，安全否？形梁倒置，安全否？y1y227.2MPa46.1MPa28.8MPa20讨论：讨论：其它条件不变，若改变下面任一条件，则危险其它条件不变，若改变下面任一条件，则危险截面有几个？是那几个？截面有几个？是那几个？（1）铸铁梁改为钢梁。）铸铁梁改为钢梁。（2）T形截面改为关于中性轴对称的截面。形截面改为关于中性轴对称的截面。（3）整根梁上）整根梁上M不变号。不变号。一个，均为弯矩最大截面。一个，均为弯矩最大截面。若（若（1）材料的）材料的+ -；（；（2）截面不关于中性轴截面不关于中性轴对称；（对称；（3）同时有最大正弯矩

15、和最大负弯矩，三条）同时有最大正弯矩和最大负弯矩，三条件同时满足，则两个极值弯矩所在截面均为危险截件同时满足，则两个极值弯矩所在截面均为危险截面，均需校核。面，均需校核。-+4kNm2.5kNmMBC2114052zACBF2m1m 例例6-3-26-3-2 T形截面铸铁梁，许用拉应力形截面铸铁梁，许用拉应力 + += =35MPa，许用压应力为许用压应力为 - -= =80MPa。截面对形心轴。截面对形心轴z轴的惯性矩轴的惯性矩 Iz763cm4。试确定梁的许可载荷。试确定梁的许可载荷 F F 。RARB可见危险截面为可见危险截面为B 截面。截面。 (1) (1) 求支反力，并画弯矩图求支反

16、力，并画弯矩图FRFRBA23 ,21F(2) (2) 求许可载荷求许可载荷683maxmax1035 107631052)(FIyMz上上N5135F683maxmax1080 107631088)(下下FIyMzN6936FN5135 F解：解： kN 44. 11375 .1011maxmaxzzzWFWFWM203060ACB1F2F21FF 100025060ACB1F2F25. 0121FF解解：(1)(1)杠杆设计：杠杆设计：369333333m105 .1010606)3060(20 6)(2/ )(12hdhbhdhbWZ124 :0FFMB 例例6-3-36-3-3 制动杠

17、杆，矩制动杠杆，矩形截面。在形截面。在B处用销钉与支处用销钉与支座连接，销钉直径座连接，销钉直径d=30mm，杠杆许用正应力，杠杆许用正应力 =137MPa，销钉的许用剪应力，销钉的许用剪应力 =98MPa。求许。求许用荷载用荷载F1、F2 。 kN85.135983045521121AFAFAFF(2)(2)销钉设计：销钉设计：kN76. 5kN44. 121FF、取ACB1F2F21FF 100025060ACB1F2F25. 0121FFlqABExhbx2qlRRBA 2222)(3622bhxlxqhbxqxqlWxMxlxxd)(dd微微段段伸伸长长量量为为EbhqlEbhxxlx

18、qxllllxl230222d)(3dd：总总伸伸长长例例6-3-4 简支梁的荷载、尺寸如图示。求梁下边缘的简支梁的荷载、尺寸如图示。求梁下边缘的总伸长。总伸长。（2）求）求x 截面下边缘的正应力截面下边缘的正应力dxARBR解：解：(1)求约束反力求约束反力（3）求梁下边缘的总伸长）求梁下边缘的总伸长25例例6-3-5 桥式吊车大梁由桥式吊车大梁由40b号工字钢制成，其跨度号工字钢制成，其跨度l=8m。为了吊起。为了吊起F=90kN的重物（含电葫芦自重），在的重物（含电葫芦自重），在梁的中段增加两块横截面为梁的中段增加两块横截面为14010mm2的盖板，并与的盖板，并与工字钢焊为一体，如图工

19、字钢焊为一体，如图69（a）、（）、（b）所示。已知）所示。已知梁的许用应力梁的许用应力140MPa。（。（1）试校核梁的强度；）试校核梁的强度；（2）试求盖板长度。）试求盖板长度。ACBFlED400azz11401014010（a）（b）26ACBFlED400azz11401014010（a）（b）解：解：(1) (1) 计算截面惯性矩计算截面惯性矩盖盖工工zzzIII2查表知：查表知：4cm 22780工工zI而而42321cm588511421240114121）（盖盖盖盖AaIIzz4cm34550588522278027ACBFlED（a）(2) (2) 强度校核强度校核 盖板足

20、够长时，盖板足够长时，分析知，分析知，当载荷移到梁的中点当载荷移到梁的中点C 时，其时，其上的最大弯矩达到最大值，弯上的最大弯矩达到最大值，弯矩如图（矩如图（c c）所示。）所示。MmaxM/(kNm)(c)x)mkN(1808904141maxFlM截面上下边缘到中性轴的距离截面上下边缘到中性轴的距离为为cm211240maxy140MPaMPa)(4 .1091034550102110180823maxmaxmaxzIyM当盖板足够长时，梁符合强度条当盖板足够长时，梁符合强度条件件28ACBFlED（a）(3) (3) 计算盖板长度计算盖板长度x 设盖板边缘设盖板边缘D(或或E)到梁端部到

21、梁端部距离为距离为x，如图（，如图（a）示）示。 当当F 移至移至D截面左截面左(或或E截面右截面右)时，梁的弯矩图如图（时，梁的弯矩图如图（d）示）示。lxlFxM)(max工工zIyMmaxmaxmaxmax令令6821014010227801020)(lxlFx即即解得解得（舍去）m65. 2 m,65. 221xx故盖板长度为故盖板长度为m7 . 265. 22821xll(d)maxM)mkN/(Mzxbhy一、矩形截面梁一、矩形截面梁 1 1弯曲剪应力分布假设弯曲剪应力分布假设 (1) (1) 方向均与剪力方向均与剪力F Fs s的方向平行的方向平行 (2) (2) 沿矩形截面的宽

22、度均匀分布沿矩形截面的宽度均匀分布Fsdd1yxdxmmnn2 2弯曲剪应力公式的推导弯曲剪应力公式的推导 mmnnzyMM+dMFsFs6-4 6-4 弯曲剪应力弯曲剪应力mmnndx 为距中性轴为为距中性轴为y 的的dd1 1横线横线以下以下( (或以上或以上) )的的面积对中性轴面积对中性轴 z 的静矩。的静矩。zymmnm1n1n1MM+dMhbndd1ycAd dcdxd11cmndcd11cmnn1TFN2FN1 1d 2NAAF 1d d1AzAIyMM 1d d1AzAyIMM zzSIMMd 1d 1AzAySdc dx zzSIMMFd2Ndcd11cmnn1TFN2FN1

23、zzSIMF1NxbTd :0 xF01N2NTFF0d xbSIMSIdMMzzzz bISxMzz dd bISFzz sbISFzz s剪应力互等定理：剪应力互等定理：b 所求剪应力处横截面的宽度；所求剪应力处横截面的宽度；Sz* *为距中性轴为为距中性轴为y 的横线的横线以下以下( (或以上或以上) )的面积对中的面积对中性轴性轴 z 的静矩。的静矩。dxby1dy1h/2bh/2zyy3 3剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律 y =0=0，中性轴上，中性轴上 ： 1d 1AzAyS 2242yhb2242yhIFzs:2hy 0 AFbhFss2323maxmax

24、211d hyybybISFzz sRzyO二、圆形截面梁的弯曲剪应力二、圆形截面梁的弯曲剪应力(1) ab 弦上各点的剪应力都汇交于弦上各点的剪应力都汇交于D点；点；(2) ab 弦上各点剪应力的垂直分量弦上各点剪应力的垂直分量y 为常量为常量1 1弯曲剪应力分布假设弯曲剪应力分布假设 DabbISFzzy s222yRb 为为 ab 弦的长度；弦的长度； Sz*为为 ab 弦以上的面积对中性轴弦以上的面积对中性轴 z 的静矩。的静矩。 23221212132d2yRyyRySRyz 3 22szyIyRFy =0： AFRFssy34342max max yzOabyFs三、薄壁截面梁的弯

25、曲剪应力三、薄壁截面梁的弯曲剪应力弯曲剪应力分布的假设：弯曲剪应力分布的假设： (1) (1) 剪应力与截面的周边相切，剪应力与截面的周边相切，(2) (2) 剪应力沿壁厚为常量。剪应力沿壁厚为常量。 薄壁截面的中线：截面各处壁厚中点的连线。薄壁截面的中线：截面各处壁厚中点的连线。FsFsFs 1. 1. 工字形截面工字形截面 (1)(1)腹板部分的剪应力腹板部分的剪应力 腹板：承担腹板：承担大部分大部分剪力剪力，且剪应力接，且剪应力接近于近于均匀分布均匀分布。 (2)(2)翼缘上的剪应力：很小，不计。承担翼缘上的剪应力：很小，不计。承担大部分弯矩。大部分弯矩。剪应力流：剪应力流：剪应力顺着一

26、个转向流动。剪应力顺着一个转向流动。 zyOhybb0h0bISFzz s 2200202428yhbhhbSz:2hy bbhhbIbFz02020smax1 8 :0 y2020smin 8 hhbIbFzmin max Fsh2. 2. 薄壁圆环薄壁圆环Fs 3. 3. 槽钢槽钢sFHhe eHAFs2max等截面杆：剪应力的最大值总是发在横截面的等截面杆：剪应力的最大值总是发在横截面的中性轴中性轴上上 max maxmaxbISFzzsSz max*为中性轴以下（或以上）的面积对中性轴的静矩为中性轴以下（或以上）的面积对中性轴的静矩 梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而 F

27、s较大时，较大时， 腹板厚度较小的薄腹截面梁，腹板厚度较小的薄腹截面梁， 铆接或焊接的组合截面梁，铆接或焊接的组合截面梁，需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：6-5 6-5 弯曲剪应力强度校核弯曲剪应力强度校核38解：解：画内力图画内力图N54002336002maxqLFsNm4050833600822maxqLM120180 例例6-5-16-5-1矩形截面木梁，矩形截面木梁， =7=7MPa， =0.9=0.9MPa，试求最大试求最大正应力和最大剪应力之比正应力和最大剪应力之比, ,并校核梁的强度。并校核梁的强度。qL /2qL /2-+Fsq=3.6kN/m L

28、=3mBAqL 2/8M39求最大应力并校求最大应力并校核强度核强度应力之比应力之比: :7 .1632maxmaxmaxhLFAWMszM5400N5400N-+Fs120180q=3.6kN/m L=3mBA18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAFs22maxmaxmax18. 012. 0405066bhMWMzMPa25. 6MPa7MPa375. 0MPa9 . 04050Nm40例例652简支梁如图所示，已知简支梁如图所示，已知 h/b=1.5，许用正应许用正应力力 =12MPa，许用剪应力许用剪应力=1MPa，设计截面尺寸设计截面尺寸 h，b。8kN2m2

29、mbhz 625. 263max2maxmaxbMbhM mm121101225.2108625.26625.26max363332max MbbhbWWMzz解解：正正应应力力强强度度条条件件 22max5 . 15 . 15 . 1bFbFAFsssmm182mm121 mm2.631011045.15.15.16322maxhbFbbQbQAQs，剪应力强度条件mm182mm121 mm2.631011045.15.15.16322maxhbQbbQbQAQ，剪应力强度条件解解：(1)(1)画梁的内力图画梁的内力图(3)(3)剪应力强度条件剪应力强度条件4kN+-Fs4kN(2)(2)正

30、应力强度条件正应力强度条件M8kNm41)(bx)(cx bhFbhbhhbFbISFZZs32 123323 kN1 . 8 25 . 012090323 bhFx404040404040b=90hFll+-FsF/2F/2解：解：例例653 简支梁由三块木板胶合而成，尺寸如图。简支梁由三块木板胶合而成，尺寸如图。胶合缝的胶合缝的许用剪应力许用剪应力=0.5MPa，试按试按胶合缝的剪应胶合缝的剪应力强度确定梁所能承受的最大荷载力强度确定梁所能承受的最大荷载 F。42一、非对称截面梁的平面弯曲一、非对称截面梁的平面弯曲yEyxx、 0)(zAAANESydAEdAEydAF轴过形心中性 )( z 0 zS0)(yzAAAyEIyzdAEdAEyzzdAMy 轴或轴或 z 轴和轴线所确定的平面为形心主惯性平面。轴和轴线所确定的平面为形心主惯性平面。仍适用。曲正应力公式仍然发生平面弯曲，弯惯性平面内，梁只要外力作用在形心主轴。轴是截面的形心主惯性、zIyMyzI zy 0生生平平面面弯弯曲曲。惯惯性性平平面面内内，梁梁仍仍然然发发只只