高中物理选择性必修3精讲精炼6.二项式定理（精讲教师含解析）

1、6.3 二项式定理(精讲)思维导图常见考法考点一 二项式展开式【例1】(2021全国高二)12(2)n等于( )A1B1C(1)nD3n【答案】C【解析】原式(12)n(1)n.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)等于( )A2nB2n1C3nD1【答案】C【解析】.故选：C2(2021全国高二课时练习)写出的展开式【答案】【解析】展开式的通项为，展开式为.3(2021全国)求的展开式.【答案】【解析】考点二 二项式特定项(二项)系数【例2】(1)(2021北京市第十三中学)在的展开式中，的系数为( )ABCD(2)(2021云南大理)二项式的展开式中的系数是，则( )AB1CD(3)(

2、2021福建宁德)对任意实数，有，则( )A6B7C8D10(4)(2021辽宁丹东高三期中)若，则( )ABCD【答案】(1)A(2)B(3)C(4)D【解析】(1)二项式展开式的通项为令，解得，所以，所以展开式中的系数为，故选：A(2)可以看作8个因式的乘积，根据多项式乘法法则，展开式中项需要从8个因式中取7个和1个相乘得到，所以由排列组合的知识有展开式中的系数，解得，故选：B.(3)，因此，故选：C(4)令，则，因为所以，所以，故选：D【一隅三反】1(2021广东龙岗)的展开式中，的系数为( )ABCD【答案】B【解析】因为的展开式的通项公式为，令可得，所以的系数为.故选：B.2(202

3、1全国高二单元测试)的展开式中的第7项为( )A3546B5437C4532D5376【答案】D【解析】，故选：D.3(2021上海模拟预测)二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A4项B7项C5项D6项【答案】D【解析】二项式的展开式中，通项公式为，时满足题意，共6项故选：D.4(2021全国高二单元测试)的展开式中，项的系数是( )A56B56C28D28【答案】A【解析】依题意，所以的系数是.故选：A考点三 系数最值【例3】(2021全国高二专题练习)(多选)的展开式中系数最大的项是( )A第2项B第3项C第4项D第5项【答案】BC【解析】的展开式的通项公式为： 则第项的系数为：

4、设第项的系数最大，则 即，即 解得，所以或时，的展开式中系数最大即的展开式中系数最大是第3,4项,故选：BC【一隅三反】1(2021上海市建平中学)在的二项展开式中，系数最大的是第( )项A3B4C5D6【答案】C【解析】在二项式的展开式中，通项公式为，故第r+1项的系数为 ，当时，系数为正，因为,所以当r4时，系数最大的项是第5项.故选：C2(2021江苏淮安高二期中)(多选)二项式的展开式中，系数最大的项为( ).A第六项B第七项C第八项D第九项【答案】BC【解析】根据二项式的特征，第项的系数为，即二项式的系数即为项的系数，由二项式的展开式共有14项，中间两项的二项式系数最大，即项的系数最

5、大，该两项为第七项和第八项，故选：BC3(2021全国高二课时练习)在的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项【答案】(1)第6项和第7项；(2)；(3)；(4)【解析】解：由二项式定理可得的展开式的通项为(1)设第项系数的绝对值最大则解得故系数绝对值最大的项是第6项和第7项(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，所以(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最大的项为(4)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第

6、7项的系数为正数，系数最小的项为考点四 三项式特定项系数【例4】(2021全国高二课时练习)设，则等于( )A80BCD【答案】D【解析】因为，所以二项展开式中含x项的系数为，故选：D.【一隅三反】1(2021江西景德镇一中高三月考(理)的展开式中，的系数为( )ABCD【答案】D【解析】的展开式通项为，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，其中，、，令，得，得，所以，展开式中的系数为.故选：D.2(2022全国)的展开式中，的系数是( )A120B120C60D30【答案】A【解析】，展开式的第项为，令，可得第3项为.而的展开式的第项为，令，可得第3项为.所以的展开式中，的系数是.故选：A.

7、3(2021江苏金湖)在的展开式中x的系数为( )A80B240C-80D160【答案】C【解析】 ， 展开式中x的系数为，即，故选：C.考点五 多个二项式的系数【例5】(2021安徽省怀宁中学)的展开式中项的系数为( )A140BCD1120【答案】B【解析】，的展开式的通项公式为，令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以，所以的展开式中项的系数.故选：B.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)展开式中的系数为( )A15B20C30D35【答案】D【解析】因为展开式的通项为，所以展开式中含的项为和.因为，所以展开式中的系数为35.故选：D2(2021山东任城高二期中)在的展开式中，的系

8、数为( )AB80C160D240【答案】B【解析】因为二项式的展开式为：，所以的展开式中含x4的项为，则x4的系数为80，故选：B3(2021全国高二课时练习)设，则_.【答案】【解析】，展开式的通项是，的展开式的通项是，.是展开式中的系数，则，.故答案为：考点六 (二项)系数和【例6-1】(2021辽宁凤城市第一中学高三月考)在的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则( )A8B9C10D11【答案】C【解析】因为在的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即最大，所以.故选：C.【例6-2】(2021全国高二课时练习)在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(

9、2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和.【答案】(1)29；(2)1；(3)；(4)59.【解析】设，(1)二项式系数之和为(2)令，得，即各项系数之和为1；(3)由(2)知，令，得，将两式相加，得此即为所有奇数项系数之和.(4)方法一：|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令x1，y1，则|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959即系数绝对值的和为59.方法二：|a0|a1|a2|a9|即为(2x3y)9的展开式中各项系数之和，令x1，y1得，|a0|a1|a2|a9|59，即系数绝对值的和为59.【一隅三反】1(2021江西横峰中学高二期中)已知

10、的展开式中，二项式系数的和为，则等于( )ABCD【答案】A【解析】由题意可得：，解得：，故选：A.2(2021全国高二课时练习)若，则的值为( )A2B0C-2D-1【答案】D【解析】，令可得，令，可得， 所以.故选：D.3(2021全国高二课时练习)已知，若，则_.【答案】1【解析】首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和.展开式的通项为，令，则，即，故，令，得.故答案为：14(2021广东广州市协和中学高二期中)已知，则_.【答案】【解析】由题知：中，为正数，为负数，所以.令得：，所以故答案为：2435(2021全国高二课时练习)已知(x22x3)10a0a1(x1)a2

11、(x1)2a20(x1)20.(1)求a2的值；(2)求a1a3a5a19的值；(3)求a0a2a4a20的值【答案】(1)4910；(2)0；(3)310.【解析】(x22x3)10a0a1(x1)a2(x1)2a20(x1)20，令x1t，展开式化为(t24)10a0a1ta2t2a20t20.(1)a2(4)94910；(2)令t1，得a0a1a2a20310，令t1，得a0a1a2a20310，a1a3a5a190；(3)由(2)+得a0a2a4a20310.考点七 整除及余数【例7-1】(2021全国高二课时练习)已知21010a(0a11)能被11整除，则实数a的值为( )A7B8

12、C9D10【答案】C【解析】，能被11整除，要使能被11整除，则能被11整除，则，解得，故选：C.【例7-2】(2021全国高二课时练习)利用二项式定理计算，则其结果精确到0.01的近似值是( )A1.23B1.24C1.33D1.34【答案】D【解析】故选：D.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)除以88的余数是( )A-1B1C-87D8【答案】B【解析】因为所以，所以原式除以88的余数为1.故选:B2(2021江苏常熟高二期中)设，且，若能被13整除，则( )A0B1C11D12【答案】B【解析】因为，且，所以，因为能被13整除，所以能被13整除，所以，故选：B3(2021安徽高二

13、期末(理)估算的结果，精确到0.01的近似值为( )A30.84B31.84C30.40D32.16【答案】A【解析】原式+故选：A4(2021全国高二课时练习)已知，求证：能被整除【答案】证明见解析【解析】，因为显然括号内的数为正整数，故原式能被整除考点八 杨辉三角的应用【例8-1】(2021全国高二课时练习)已知当时，展开式的二项式系数表示形式如下图，判断图中与的值分别是( )A5，9B5，10C6，10D6，9【答案】C【解析】结合题意可得，故选：C.【例8-2】(2021全国高二课时练习)如图所示的三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字是它上一行相邻的左右两个数字之

14、和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是( )A第96行B第97行C第98行D第99行【答案】C【解析】三角形数阵中，每一行的数由二项式系数，组成.如果第n行中有，那么解得因此该行为第98行.故选：C【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)在杨辉三角中，除每行的两端数字外，每个数字都等于它左上角和右上角两个数字之和，杨辉三角开头几行如图所示.(1)利用杨辉三角展开(2)在杨辉三角中，哪一行会出现相邻的三个数字的比是？【答案】(1)(2)第62行会出现相邻的三个数字的比是【解析】(1)解：根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它左上角和右上角两个数字的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以.令，得.(2)解：设在第n行出现的三个相邻的数的比是，并设这三个数分别是，则有所以所以即所以即在第62行会出现相邻的三个数字的比是.2(2021全国高二课时练习)在杨辉三角中，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示.已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数，不存在，.【答案】证明见解析【解析】若有n，使得，则，.所以，化简整理，得，.两式相