量子力学基础15-5不确定关系

1、15-5-2不确定关系（Uncertainty Relation）引言：在进一步描述De Brglie波前，我们来考查 一下经 典物理描述问题时受到什么限制。 在介绍玻尔理论时，就曾指出它是一个半经典半量子产物，用到了确定位置和轨道与动量的概念。就是说总可以通过实验手段精确地测定微观粒子的位置和动量，对具有波粒二象性的微观粒子，这种概念正确吗？一）由电子衍射实验估计电子位置及动量的精度 电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单缝衍射的图样，若电子波长为，则让电子进行单缝衍射则应满足：明纹暗纹1)位置的不确定程度用单缝来确定电子在穿过单缝时的位置电子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的的缝

2、中通过.结论:电子在单缝处的位置 不确定量为我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不确定程度U2）单缝处电子的动量的不确定程度先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象性的结果，不能归于外部的原因，即不是外界作用的结果。 如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉我们衍射的花样与单缝材料无关，只决定于电子的波长与缝宽a，可见不能归结于外部作用。 显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因此通过单缝后，其动量大小P不变。 但不同的电子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有不同。BKEXPaPbPdPePc其衍射角分别为：即

3、处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值UX单缝处，衍射角为的电子在X轴上存在动量的分量UXY电子大部分都到达中央明纹处，作为分析：要估算单缝处电子在X轴上的分量的不确定量，可先抓住到达中央明纹处的电子在单缝处的不确定量来研究。即正负一级暗纹间的电子来研究。这部分电子在单缝处的动量在X轴上的分量值为：为一级暗纹的衍射角由单缝暗纹条件：I为一级暗纹的衍射角也就是说到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在X轴上的分量的不确定量为：UXYI由德布罗意关系式：考虑到还存在1方向的电子，这些方向电子的动量不确定量还要大动量位置不确定量关系式 当我们同时测量一个粒子的位置q和动量p时，位置 q（广义坐标

4、）和动量p的不确定量满足如下关系式：量子力学给出了更准确的表达二）海森伯不确定关系式对三维直角坐标系有：设有一个速度为V，质量为m的粒子，其能量考虑到E的增量：能量与时间不确定关系式即：三）能量与时间不确定关系注意：1）式中E应理解为状态能量的不确定量，t表示明显变化所经历的时间（如激发态寿命）2）h具有焦尔秒的量纲，而xp、Et均具有焦尔秒的量纲，xp、Et均称为共轭物理量。故不确定关系式又可表达为：一对共轭物理量的不确定量的乘积四）不确定关系的进一步讨论1）不确定关系意味着两个互相制约、互成反比 的共轭物理量的不确定量不能同时无限制地 减小。KEU2）不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的

5、， 不能理解为仪器的精度达不到。比如我们试图通过单缝来确定粒子的位置，但单缝隙越窄（x越小）衍射也越厉害，动量的不确定量也大。如果要减小动量的不确定量，则单缝的宽度就要增大，位置 的不确定量也就变大。BBBX不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的，不确定关系更确切、更准确地反映了微观粒子的本质四）不确定关系的进一步讨论1）不确定关系意味着两个互相制约、互成反比 的共轭物理量的不确定量不能同时无限制地 减小。如：动量完全不确定粒子位置完全不确定，可在全空间出现。又以一个作匀速运动的一维粒子为例，它可在整个X轴上出现；为常数完全确定。即其德布罗意波为单色平面波3）不确定关系指出了使用经典物理理论的

6、限度例1）电子射线管中的电子束中的电速度一般为 105m/s，设测得速度的精度为1/10000，即 V=10m/s，求电子位置的不确定量。解：可以用位置、动量描述X例2）H原子的线度的数量级为10-10m，H原中电子 的速度为V=106m/s，求其速度的不确定量。+MrnmV解：不确定量已达106m/s数量级，已不能用经典物理中的速度来描述。例3）一质量为0.4kg的足球，以10m/s的速度飞来 ，如动量的不确定量为 10%，求其位置的不 确定量。解：V%足球运动员完全不必担心由于有波动性而一脚踢空。注意：因为是估算，数量级差不多即可，故有用 也是可以的。例4）空气中的尘埃，其质量10-15

7、g，其坐标的不 确定量为 x=10-8m求其速度的不确定量。完全可作经典粒子处理！解：结论：能否用经典方法来描述某一问题，关键在 于由不确定关系所加限制能否被忽略。 在普朗克恒量h不起显著作用的场合，即当h 0时就可以看成宏观现象，并用经典物理来处理。量子力学中有如下一句话：五）用不确定关系分析实际问题举例1）用不确定关系分析能级为什么有一定的宽度能级E的值有一定的不确定量说明能级有一宽度原子在激发态有一定的寿命，即原子在时间内能保持这个状态。经过时间原子状态将发生显著变化。即在关系中：II0/2I0推论：原子发光有一定的谱线宽度。E1EEE1EE2）电子在衰变时的动能小于一个电子伏特，试 排除电子处在核内的可能性解：原子线度在fs的数量级，即位置的不确定 度：x=1