2022年人教版初三数学知识点归纳总结文档

1、人教版九年级数学学问点总结 21.1 一元二次方程 易错点： a 0 和 a=0 方程两个根的取舍 学问点一 一元二次方程的定义 : 等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元） ,并且未知数的最高 次数是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程； 留意一下几点： 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是 2； 是整式方程； 学问点二 一元二次方程的一般形式 2 : 一般形式： ax + bx + c = 0a 2 0. 其中, ax 是二次项, a 是二次项系数； bx 是一次项, b 是一次项系数； c 是常数项； 学问点三 一元二次方程的根 : 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次

2、方程的解,也叫 做一元二次方程的根；方程的解的定义是解方程过程中验根的依据； 21.2 降次解一元二次方程 21.2.1 配方法 学问点一 直接开平方法解一元二次方程 （ 1） 假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方, 另一边是非负数, 可以直接开平方； 2 一般地,对于形如 x =aa 0 的方程,依据平方根的定义可解得 x1= a ,x 2= a . （ 2） 直接开平方法适用于解形如 用直接开平方法； 2 2x =p 或mx+a =pm0 形式的方程,假如 p0,就可以利 （ 3） 用直接开平方法求一元二次方程的根, 要正确运用平方根的性质, 即正数的平方根有两 个,它们互为相反数

3、；零的平方根是零；负数没有平方根； （ 4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： 移项； 使二次项系数或含有未知数的式子 的平方项的系数为 1；两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程；解一元 一次方程,求出原方程的根； 学问点二 配方法解一元二次方程 1第 1 页,共 32 页通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次, 把一 个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 配方法的一般步骤可以总结为：一移,二除,三配,四开； （ 1） 把常数项移到等号的右边； 把左边配成完全平方式； 如等号右边 （ 2） 方程两边都除以二次项系数； （ 3） 方程两边都加上

4、一次项系数一半的平方, 为非负数,直接开平方求出方程的解； 公式法 学问点一 公式法解一元二次方程 （ 1） 一般地,对于一元二次方程 2 2ax +bx+c=0a0 ,假如 b -4ac 0,那么方程的两个根为 x= bb24ac ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可 2a 以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法； （ 2） 一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax +bx+c=0a0 的过程； 公式法（ 3） 解一元二次方程的详细步骤： 方程化为一般形式： ax +bx+c=0a0 ,一般

5、a 化为正值 确定公式中 a,b,c 的值,留意符号； 求出 b2-4ac 的值； 如 b2-4ac 0,就把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解,如 b2-4ac 0,就方程无 实数根 有虚数根 - 高中学 ； 学问点二 一元二次方程根的判别式 2 式子 b -4ac 2 叫做方程 ax +bx+c=0a0 根的判别式,通常用希腊字母表示它, 即 =b -4ac. 2 0,方程 ax +bx+c=0a0 有两个不相等的实数根 根的 判别式 2=0,方程 ax +bx+c=0a 0 有两个相等的实数根 2 0,方程 ax +bx+c=0a0 无实数根 21.2 3 因式分解法 学

6、问点一 因式分解法解一元二次方程 （ 1） 把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个 求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法； （ 2） 因式分解法的详细步骤： 2第 2 页,共 32 页 移项,将全部的项都移到左边,右边化为 0； 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式,平方差公式和完全平 方公式； 令每一个因式分别为零,得到一元 一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程 的解； 学问点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范畴 直接开平方法 平方根的意义 2 2形如 x =p 或（ mx+n） =pp 0 配

7、方法 完全平方公式 全部一元二次方程 公式法 配方法 全部一元二次方程 因式分解法 当 ab=0,就 a=0 或 b=0 一边为 0,另一边易于分解成两个一次 因式的积的一元二次方程； 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2 如一元二次方程 x +px+q=0 的两个根为 x1 ,x 2, 就有 x1+x2=-p,x 1x2=q. 2 如一元二次方程 a x+bx+c=0a 0 有两个实数根 x1,x 2 , 就有 x1+x2=, b,x 1x2= c aa21.3 实际问题与一元二次方程 学问点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （ 1） 审：是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已

8、知量,哪些是未知量以及它们之间的等量 关系； 设：是指设元,也就是设出（ 2） 未知数； （ 3） 列：就是列方程, 这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义, 然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程； 解：（ 4） 就是解方程,求出未知数的值； 验：是指检验方程的解是否保证明际问题有意义,符合（ 5） 题意； （ 6） 答：写出答案； 学问点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （ 1） 数字问题 三个连续整数：如设中间的一个数为 x,就另两个数分别为 x-1 ,x+1； 三个连续偶数（奇数） ：如中间的一个数为 x,就另两个数分别

9、为 x-2,x+2 ； 三位数的表示方法：设百位,十位,个位上的数字分别为 100a+10b+c. 3a,b,c ,就这个三位数是 第 3 页,共 32 页（ 2） 增长率问题 设初始量为 a,终止量为 b,平均增长率或平均降低率为 x,就经过两次的增长或降低 后的等量关系为 2 a（ 1 x） =b； （ 3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有： 售量；利润 =成本利润率 （ 4）图形的面积问题 总利润 =总销售价 - 总成本； 总利润 =单位利润总销 依据图形的面积与图形的边,高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来,建立一元二次方程； 22. 二次函数学问点归纳

10、一,相关概念及定义 21 二次函数的概念：一般地,形如 y ax bx c（ a ,b ,c 是常数, a 0 ）的函数,叫做二次函 数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0 ,而 b ,c 可以为零二次函数的定 义域是全体实数 2二次函数 y 2 ax bx c 的结构特点： 2 （ 1）等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 （ 2） a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项 二,二次函数各种形式之间的变换 1二 次 函 数 y 2 ax bx c 用 配 方 法 可 化 成 ： y a x h2k 的 形

11、式 , 其 中 hb, k 2a 4ac b2. 2 ax k ； y a x 2 h； 4a 2二次函数由特殊到一般, 可分为以下几种形式： y ax 2 ； y y a x h2k ； y ax2bx c . 三,二次函数解析式的表示方法 21 一般式： y ax bx c （ a , b , c 为常数, a 0）； 2 顶点式： y a x h 2k （ a , h , k 为常数, a 0）； 3 两根式： y a x x1 x x2 （ a 0, x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . 4 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可

12、以 2写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 4ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式 表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 2四,二次函数 y ax bx c 图象的画法 2 21 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 y ax bx c 化为顶点式 y a x h k ,确定其开口方 向,对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为： 顶点,与 y 轴的交点 0 ,c ,以及 0,c 关于对称轴对称的点 2h,c ,与 x 轴的交点 x1 ,0 , x2 ,0 （如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点） . 2 画草图时应抓住以下

13、几点：开口方向,对称轴,顶点,与 2 五,二次函数 y ax 的性质 x 轴的交点,与 y 轴的交点 . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 4性质 第 4 页,共 32 页a0向上 0 ,0 y 轴 x 0 时, y 随 x 的增大而增大； x 0 时, y 随 x 的增大而减小； x 0 时, y 有最小值 0 a0向下 0 ,0 y 轴 x 0 时, y 随 x 的增大而减小； x 0 时, y 随 x 的增大而增大； x 0 时, y 有最大值 0 六,二次函数 2 y ax c 的性质 对称轴 性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 y 轴 x 0 时,y 随 x 的增大而增大；

14、x 0 时,y 随 x 的 a0向上 0 ,c 增大而减小； x 0 时, y 有最小值 c a0向下 0 ,c y 轴 x 0 时,y 随 x 的增大而减小； x 0 时,y 随 x 的 七,二次函数 y a x 2 h 的性质： 对称轴 增大而增大； x 0 时, y 有最大值 c 性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 x h 时, y 随 x 的增大而增大； x h 时, y 随 a0向上 h ,0 X=h x 的增大而减小； x h 时, y 有最小值 0 x h 时, y 随 x 的增大而减小； x h 时, y 随 a0向下 h ,0 X=h x 的增大而增大； x h 时, y

15、有最大值 0 八,二次函数 y a x h2k 的性质 对称轴 x 性质 x h 时, y 随 a 的符号 顶点坐标 开口方向 向上 h,k X=h h 时, y 随 x 的增大而增大； a0 x 的增大而减小； x h 时, y 有最小值 k a0向下 h,k X=h x h 时, y 随 x 的增大而减小； x h 时, y 随 x 的增大而增大； x h 时, y 有最大值 k 九,抛物线 y 2 ax bx c 的三要素：开口方向,对称轴,顶点 . 0 时,开口向下； 1a 的符号准备抛物线的开口方向：当 a0 时,开口向上；当 a5第 5 页,共 32 页a 相等,抛物线的开口大小,

16、形状相同 . b2 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x .特殊地, y 轴记作直线 x 0. 2 a 23 顶点坐标：（ 2a b , ac 44a b） 4 顶点准备抛物线的位置 .几个不同的二次函数,假如二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方 向,开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 十,抛物线 y ax 2bx c 中, a, b, c 与函数图像的关系 1 二次项系数 a 2二次函数 y ax bx c 中, a 作为二次项系数,明 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上, 显 a 越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,抛物线开口向下, a

17、越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大 总结起来, a 准备了抛物线开口的大小和方向, 的大小 2 一次项系数 b a 的正负准备开口方向, a 的大小准备开口 在二次项系数 a 确定的前提下, b 准备了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下, 当 b 0 时, b 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a当 b 0 时, b 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时, b 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 2a 在 a 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当 b 0 时, b 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a当 b 0 时, b 0 ,即抛物线的

18、对称轴就是 y 轴； 2a当 b 0 时, b 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧 2a 总结起来,在 a 确定的前提下, b 准备了抛物线对称轴的位置 总结： 3 常数项 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 总结起来, c 准备了抛物线与 y 轴交点的位置 总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 十一,求抛物线的顶点,对称轴的

19、方法 1 公式法： y 2 ax bx c a x b24ac b2,顶点是（ 2 a b , ac 44a b2）,对称轴是直线 2a 4a x b . 2a k 的形式,得到顶点为 h , k , 2 配方法：运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为 y a x h2对称轴是直线 x h. 6第 6 页,共 32 页3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直 平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失 . 十二,用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式： y 2 ax b

20、x c .已知图像上三点或三对 x , y 的值,通常选择一般式 . x2 . 2 顶点式： y a x h2k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式 . 3 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 , x2 ,通常选用交点式： y a x x1 x 十三,直线与抛物线的交点 21 y 轴与抛物线 y ax bx c 得交点为 0, c . 2 与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax 2bx c 有且只有一个交点 h , ah 2 bh c . 23 抛物线与 x 轴的交点 :二次函数 y ax bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x , x ,是 2对应一元二次方

21、程 ax bx c 0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元 二次方程的根的判别式判定： 有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； 有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切； 没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . 4 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 可能有 0 个交点, 1 个交点, 2 个交点 .当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐 标为 k ,就横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 . 25 一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y ax bx c a 0 的图像 G 的交点,由方程 y kx n 组 2 的解

22、的数目来确定：方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; y ax bx c 方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G 没有交点 . 26 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 y ax bx c 与 x 轴两交点为 A x ,0, B x ,0 1 2, 2由于 x1, x2 是方程 ax bx c 0 的两个根,故 b c x1 x2 , x1 x2 a a2 2AB x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 24x x 1 2 b 4c b 4ac a a a a十四,二次函数图象的对称 : 二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般

23、式或顶点式表 达 1 关于 x 轴对称 c 关于 x 轴对称后,得到的解析式y 2 ax bx c ； y 2 ax bx y a x h2是 k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y a x h2k ； 2 关于 y 轴对称 y 2 ax bx c 关于 y 轴对称后,得到的解析式y 2 ax bx c； y a x h2是 k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y a x h2k ； 3 关于原点对称 2 y ax bx c 关于原点对称后,得到的解析式y 2 ax bx c ； y a x h2是 k 关于原点对称后,得到的解析式是 y a x h2k ； 4 关于顶点对称 7第 7

24、 页,共 32 页y 2 ax bx c 关于顶点对称后,得到的解析式y 2 ax bx c b2； 2n k 2a y a x h2是 a x h2y k 关于顶点对称后,得到的解析式是 k 5 关于点 m,n 对称 h 2m 2y a x h2k 关于点 m ,n 对称后,得到的解析式是 y a x 总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的形状确定不会发生变化,因此 a 永久不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时, 可以依据题意或便利运算的原就, 选择合适 的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定 其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后

25、再写出其对称抛物线的表达式 十五,二次函数图象的平移 1.平移步骤： 2 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h ,k ； 2 保持抛物线 y ax 的形状不变,将其顶点平移到 h ,k 处,详细平移方法如下： 向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0】平移|k|个单位 y=ax-h2+k 2 平移规律 在原有函数的基础上 “h值正右移,负左移； k 值正上移,负下移 ” 概括成八个字 “左加右减,上加下减 ” 十六,依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路； 1.三点式； （ 1）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 3,

26、0）,B（ 23,0）,C（0,-3）三点,求抛物线 的解析式； （ 2）已知抛物线 y=ax-1 +4, 经过点 A（2,3）,求抛物线的解析式； 2.顶点式； （ 1）已知抛物线 y=x2-2ax+a 2+b顶点为 A（ 2, 1）,求抛物线的解析式； （ 1）已知抛物线 y=4x+a2-2a 的顶点为（ 3, 1）,求抛物线的解析式； 3.交点式； （ 1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（ 3,0）,5,0,求抛物线 y=x-ax-b 的解析式； （ 2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（ 4, 0）,（1, 0）求抛物线 y= 1 ax-2ax-b的解析式； 24.定点式； （ 1）

27、在直角坐标系中,不论 a 取何值,抛物线 y 1 x 2 5 a x 2a 2 经过 x 轴上确定点 2 2Q,直线 y a 2x 2 经过点 Q,求抛物线的解析式； （ 2）抛物线 y= x2+2m-1x-2m 与 x 轴的确定交点经过直线 y=mx+m+4,求抛物线的解析式； （ 3） 抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A,求抛物线的解析式； 5.平移式； 8第 8 页,共 32 页（ 1）把抛物线 y= -2x2向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到抛物线 y=a x-h 2+k,求此抛物线解析式； （ 2）抛物线 y x 2 x 3

28、 向上平移 ,使抛物线经过点 C0,2,求抛物线的解析式 . 6.距离式； （ 1）抛物线 y=ax2+4ax+1a0与 x 轴的两个交点间的距离为 2,求抛物线的解析式； （ 2）已知抛物线 y=m x 2+3mx-4mm 0与 x 轴交于 A,B 两点,与 轴交于 C 点,且 AB=BC, 求此抛物线的解析式； 7.对称轴式； （ 1）抛物线 y=x2-2x+m 2-4m+4与 x 轴有两个交点, 这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距 离的 2 倍,求抛物线的解析式； （ 2）已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B （点 A 在点 B 左边）两点,交 y 轴于点 C,

29、且 OB-OA= 3 OC,求此抛物线的解析式； 48.对称式； （ 1）平行四边形 ABCD对角线 AC在 x 轴上,且 A（ -10,0）,AC=16,D（2,6）；AD交 y 轴 于 E,将三角形 ABC 沿 x 轴折叠,点 B 到 B1 的位置,求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式； （ 2）求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式； 9.切点式； （ 1）已知直线 y=ax-a2a 0与抛物线 y=mx2有唯独公共点,求抛物线的解析式； （ 2） 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2 +k 的唯独公共点 A（ 2, 1） ,求抛物线的解析式

30、； 10.判别式式； （ 1）已知关于 X 的一元二次方程（ m+1）x2+2m+1x+2=0 有两个相等的实数根,求抛物线 y=-x 2+m+1x+3 解析式； （ 2）已知抛物线 y=a+2x 2 -a+1x+2a 的顶点在 x 轴上 ,求抛物线的解析式； 23 旋转 23.1 图形的旋转 学问点一 旋转的定义 在平面内,把一个平面图形围着平面内某一点 O 转动一个角度,就叫做图形的旋转,O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角； 点 我们把旋转中心,旋转角度,旋转方向称为旋转的三要素； 学问点二 旋转的性质 旋转的特点：（1）对应点到旋转中心的距离相等； （ 2）对应点与旋转中心所连线段的夹

31、角 等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等； 懂得以下几点： （ 1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度； （2）对应点到旋转中心的距离 相等,对应线段相等,对应角相等； （ 3）图形的大小和形状都没有发生转变,只转变了 图形的位置； 9第 9 页,共 32 页学问点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2） 对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键；步骤可分为： 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； 转：即把直线按要求绕旋转中心转过确定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的

32、距离,得到各点的对应点； 接：即连接到所连接的各点； 23.2 中心对称 学问点一 中心对称的定义 中心对称：把一个图形围着某一个点旋转 180,假如它能够与另一个图形重合,那么就 说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心； 留意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180两个图 形能够完全重合； 学问点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形, 关键是作出该图形上关键点关于对称中 心的对称点；最终将对称点依据原图形的形状连接起来,即可得出成中心对称图形； 学问点三 中心对称的性质 有以下几点： （1

33、） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平 分； 关于中心对称的两个图形能够相互重合,是全（2） 等形； （3） 关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或共线）且相等； 学问点四 中心对称图形的定义 把一个图形围着某一个点旋转 180,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合,那么 这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心； 学问点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中,假如两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点 p（x,y ） 关于原点对称点为（ -x,-y ）； 24 圆 24.1 圆 10 第 10 页,共 32 页24.1.1 圆 学

34、问点一 圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端 O 旋转一周,另一个端A 所形成的图形叫作圆；固定的端点 O 叫作圆心,线 点 OA 叫作半 点 其次种：圆心为 O,半径为 r 的圆可以看成是全部到定点 O 的距离等于定 段 径； r 的点的集合； 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的,其次种是运用集合的观点下 长 的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆； 学问点二 圆的相关概念 （ 1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径； （ 2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧, 简称弧； 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成

35、 两条弧,每一条弧都叫做半圆； 等（ 3） 圆：等够重合的两个圆叫做等圆； （ 4） 等弧：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧； 弦是线段,弧是曲线,判定等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合 的弧才是等弧,而不是长度相等的弧； 24.1.2 垂直于弦的直径 学问点一 圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴； 学问点二 垂径定理 （ 1） 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧；如以下图,直径为 CD,AB 是弦,且 CD AB, A CB MAM=BM 垂足为 M AC =BC DAD=BD 垂径定理的推论 ：平分弦（不是直

36、径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 如上图所示,直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 CD AB M, AM=BM AC=BC AD=BD 留意：由于圆的两条直径必需相互平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必需不是直 径,否就结论不成立； 24.1.3 弧,弦,圆心角 学问点 弦,弧,圆心角的关系 11 第 11 页,共 32 页（1） 弦,弧,圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等； 在同圆或等圆中,假如两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组（2） 量相等,那么它们所 对应的其余的各组量也相等； 留意不能忽视同圆或等圆这个 前提条件,假如丢掉

37、这个条件,即使圆心角相等,所 对的弧,弦也不愿定相等,（3） 比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧,弦不 确定相等； 24.1.4 圆周角 学问点一 圆周角定理 （ 1） 圆周角定理 ：在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆 心角的一半； （ 2） 圆周角定理的推论 ：半圆（或直径） 所对的圆周角是直角, 90的圆周角所对弦是直径； （ 3） 圆周角定理 揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系； “同弧或等弧”是不 能改为“同弦或等弦”的,否就就不成立了,由于一条弦所对的圆周角有两类； 学问点二 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：假如一个多边形的全

38、部顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多 边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆； 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补； 24.2 点,直线,圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 学问点一 点与圆的位置关系 （1） 点与圆的位置关系有：点在圆外,点在圆上,点在圆内三种； （2） 用数量关系表示：如设 O 的半径是 r ,点 P 到圆的距离 OP=d,就r ； 点 P 在圆外 dr ；点 p 在圆上 有： d=r ；点 p 在圆内 d学问点二 过已知点作圆 （ 1） 经过一个点的圆（如点 A） 以点 A 外的任意一点（如 点 作许多个； O）为圆心,以 OA 为半径作圆即可,

39、如图,这样的圆可 以 O2 A O1 O3 （ 2） 经过两点的圆（如点 A,B） 12 第 12 页,共 32 页以线段 AB 的垂直平分线上的任意一 点 如图,这样的圆可以作许多个； A B （ 3） 经过三点的圆 （如点 O）为圆心, 以 OA（或 OB）为半径作圆即可, 经过在同一条直线上的三个点不能作圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆,即经 过不在同一条直线上的三个点可以作圆, 且只能作一个圆；如经过不在同一条直线上的三个点 A, B, C 作圆,作法：连AB, BC（或 AB,AC 或 BC,AC）并作它们的垂直平分线,两条垂直平分线相交于 接 O,以点 点 O 为圆心,以 O

40、AOB,OC）的长为半径作圆即可,如图,这样的圆只能作一个； （或 A O B C学问点三 三角形的外接圆与外心 （ 1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆； （ 2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心； 学问点四 反证法 （ 1） 反证法：假设命题的结论不成立,经过推理得出冲突,由冲突确定所作假设不正确,从 而得到原命题成立,这种证明命题的方法叫做反证法； （ 2） 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 从假设动身,经过规律推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等相 冲突的结论； 由冲突判定假设不正确,从而得出原命题正

41、确； 直线和圆的位置关系 学问点一 直线与圆的位置关系 （ 1） 直线与圆的位置关系有：相交,相切,相离三种； （ 2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 如设 O 的半径是 r ,直线 l 与圆心 0 的距离为 d,就有： 直线 l 和 O 相d r ；直线 l 和 O 相d = r ；直线 l 和 O 相d r ； 交 切 离 13 第 13 页,共 32 页学问点二 切线的判定和性质 （ 1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （ 2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； （ 3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点； 切线到圆心的距离

42、等于半径； 经过圆心且 垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； 学问点三 切线长定理 （ 1） 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线, 的切线长； 这点和切点之间的线段的长, 叫做这点到圆 （ 2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角； （ 3） 留意：切线和切线长是两个完全不同的概念,必需弄清楚切线是直线,是不能度量的； 切线长是一条线段的长,这条线段的两个端点一个是在圆外一点,另一个是切点； 学问点四 三角形的内切圆和内心 1 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；这个三角

43、形叫做圆 的外切三角形； 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫2 做三角形的内心； 3 留意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心已知时,过三角 形的顶点和内心的射线,必平分三角形的内角； 圆和圆的位置关系 学问点一 圆与圆的位置关系 （ 1） 圆与圆的位置关系有五种： 假如两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,包括外离和内含两种； 假如两个圆只有一个公共点,就说这两个圆相切,包括内切和外切两种； 假如两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交； （ 2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示： 如设两圆圆心之间的距离为 d,两圆的半径分别是 r 1 r 2, 且 r 1 r 2,

44、就有 切 两圆外离 1dr 1+r 2 两圆外切 1d=r 1+r 2 两圆相交 r2-r 1dr 1+r 2 两圆内 d=r 2 -r 两圆内含 dr 2-r 正多边形和圆 学问点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系特殊亲热：把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份,顺次连接各分 点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆； 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； 正多边形的边心距：中心到正多边

45、形一边的距离叫做正多边形的边心距； 14 第 14 页,共 32 页学问点二 正多边形的性质 （ 1） 正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角形； （ 2） 全部的正多边形都是轴对称图形, 每个正 n 边形共有 n 条对称轴, 每条对称轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时,这个正 n 边形也是中心对称图形,正 n 边 形的中心就是对称中心； （ 3） 正 n 边形的每一个内角等于 n 2 180 ,中心角和外角相等,等于 360 ； nn弧长和扇形面积 n R 学问点一 弧长公式 l= 180 在半径为 R 的圆中, 360的圆心角所对的弧长就是圆

46、的周 长 的弧长的运算公式 l= 360 n2R=n R ； 180 学问点二 扇形面积公式 C=2 R,所以 n的圆心角所对 在半径为 R 的圆中, 360的圆心角所对的扇形面积就是圆的面 积 2 S= R,所以圆心角为 n 的扇形的面积为 S 扇形 = n R 2 360 ； 比较扇形的弧长公式和面积公式发觉： 2 S 扇形 = nR360 n R 1 R 21 lR,所以 2 s 扇形 1 lR 2180 学问点三 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面, 沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面开放, 简洁得到圆锥的侧面开放 图是一个扇形；设圆锥的母线长为 l ,底面圆的半径为 r ,那么这个

47、扇形的半径为 l ,扇形的 弧长为 2 r ,因此圆锥的侧面积 s圆锥12rlrl ；圆锥的全面积为 2s圆锥s圆锥srl r 2； 侧 全 侧 底 25.1 随机大事与概率 25.1.1 随机大事 学问点一 必定大事,不行能大事,随机大事 在确定条件下,有些大事必定会发生,这样的大事称为必定大事；相反地,有些大事必定 不会发生,这样的大事称为不行能大事；在确定条件下,可能发生也可能不会发生的大事称为 随机大事； 15 第 15 页,共 32 页必定大事和不行能大事是否会发生,是可以事先确定的,所以它们统称为确定性大事； 学问点二 大事发生的可能性的大小 必定大事的可能性最大,不行能大事的可能

48、性最小,随机大事发生的可能性有大有小； 不 同的随机大事发生的可能性的大小有可能不同； 概率 学问点 概率 一般地,对于一个随机大事 A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机大事 A生的概率,记作 P（A）； 发 一般地,假如在一次试验中,有 n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,大事 A 包含其中的 m 种结果,那么大事 A 发生的概率 P（ A） = m ；由 m 和 n 的含义可知 0mn,因 此 0 m 1,因此 0P（A） 1. nn当 A 为必定大事时, P（A）=1；当 A 为不行能大事时, P（ A） =0. 25.2 用列举法求概率 学问点一 用列举法求概率 一

49、般地,假如在一次试验中,有 n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,大事 A 包含其中的 m 种结果,那么大 事 学问点二 用列表发求概率 A 发生的概率 P（A）= m ； n当一次试验要涉及两个因素并且可能显现的结果数目较多时, 果,通常用列表法； 为不重不漏地列出全部可能的结 列表法是用表格的形式反映大事发生的各种情形显现的次数和方式, 以及某一大事发生的可能 的次数和方式,并求出概率的方法； 学问点三 用树形图求概率 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时, 列方形表就不便利了, 为不重不漏地列出全部可 能的结果,通常接受树形图；树形图是反映大事发生的各种情形显现的次数和方式,并

50、求出概 率的方法； 树形图法同样适用于各种情形显现的总次数不是很大时求概率的方法； 在用列表法和树形图法求随机大事的概率时,应留意各种情形显现的可能性务必相同； 25.3 用频率估量概率 学问点 在随机大事中,一个随机大事发生与否事先无法推测,表面上看似无规律可循,但当我们 做大量重复试验时,这个大事发生的频率显现出稳固性,因此做了大量试验后,可以用一个事 16 第 16 页,共 32 页件发生的频率作为这个大事的概率的估量值； 一般地,在大量重复试验中,假如大事 A 发生的频率 m 稳固于某一个常P,那么大事 A 发生的频率 P（A）=p ； 数 n人教版九年级下册数学课本学问点总结 26

51、反比例函数 一,反比例函数的概念 1 （ ） 可以写成 17 第 17 页,共 32 页（ ）的形式,留意自变量 x 的指数为 ,在解决有关自变量指数问题时应特殊留意系数 这一限制条件； 18 第 18 页,共 32 页2 （ ） 也可以写成 xy=k 的形式,用它可以快速地求出反比例函数解析式中的 k,从而得到反比例函 数的解析式； 3反比例函数 的自变量 19 第 19 页,共 32 页,故函数图像与 x 轴, y 轴无交点 二,反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线, 它有两个分支, 这两个分支分别位于第一, 第三象限或其次, 第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数

52、中自变量 x 0 ,函数值 y 0 ,所 以它的图像与 x 轴,y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永久达不到坐 标轴； 反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线； 再作反比例函数的图像时应留意以下几点： 列表时选取的数值宜对称选取； 列表时选取的数值越多,画的图像越精确； 连线时,必需依据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接,切忌画成折 线； 画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交； 三,反比例函数及其图像的性质 1 函 数 解 析 式 ： 20 第 20 页,共 32 页（ ） 2自变量的取值范畴： 3图像： （ 1）图像的形状：双曲线,

53、21 越小,曲线越平直； 越小, 图像的 弯曲度越大； （ 2）图像的位置和性质： 当 时,图像的两支分别位于一,三象限； 在每个象限 内, y 随 x 的增大而减小； 22 第 22 页,共 32 页当 时,图像的两支分别位于二,四象限； 在每个象限 内, y 随 x 的增大而增大； （ 3 ） 对 称 性 ： 图 像 关 于 原 点 对 称 , 即 如 （ a , b ） 在 双 曲 线 的 一 支 上 , 就 （ , ）在双 23 第 23 页,共 32 页曲线的另一支；图像关于直线 对称,即如（ a,b）在 双 曲 线 的 一 支 上 , 就 （ , ） 和 （ , 24 第 24 页

54、,共 32 页）在双曲线的另一支上； 4k 的几何意义 如图 1,设点 P（a,b）是双曲线 作 PAx 轴于 A 点,PB y 轴于 B 点,就矩形 的面积都是 1/2|k|）； 上任意一点, PBOA 的面积是 |k（| 三角形 PAO 和三角形 PBO 如图 2,由双曲线的对称性可知, P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上,作 QCPA 的 延长线于 C,就有三角形 PQC 的面积为 2|k|； 25 第 25 页,共 32 页5说明： （ 1）双曲线的两个分支是断开的,争辩反比例函数的增减性时,要将两个分支分别争辩, 不能一概而论； 26 第 26 页,共 32 页（ 2）直线 与双

55、曲线 的关系： 27 第 27 页,共 32 页当 时,两图像没有交点；当 时,两图像必有两个交点, 且这两个交点关于原点成 中心对称 四,实际问题与反比例函数 1求函数解析式的方法： （ 1）待定系数法；（2 ）依据实际意义列函数解析式； 2留意学科间学问的综合,但重点放在对数学学问的争辩上 五,充分利用数形结合的思想解决问题 27 相像三角形 一,图形的相像 1图形的相像： 假如两个图形形状相同 的符号：） , 但大小不愿定相等 , 那么这两个图形相像； （相像 28 第 28 页,共 32 页性质：相像多边形的对应角相等,对应边的比相等； 2判定：假如两个多边形中意对应角相等,对应边的比

56、相等,那么这两个多边形相像； 3相像比：相像多边形的对应边的比叫相像比；相像比为 二,相像三角形 1 时,相像的两个图形全等； 1性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原 三角形相像； 2判定 . 假如两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相像；假如两 个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相像；如 果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像； 三边对应成比例两个三角形的两个角对应相等； 两边对应成比例 , 且夹角相等； 相像三角形的 一切对应线段 对应高,对应中线,对应角平分线,外接圆半径,

57、内切圆半径等）的比等于相像比； 3相像三角形应用 视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到的区域； 4相像三角形的周长与面积：相像三角形周长的比等于相像比；相像多边形周长的 比等于相像比；相像三角形面积的比等于相像比的平方；相像多边形面积的比等于 相像比的平方； 三,位似 1位似图形：假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应点的连线 交于一点 ,对应边 相互平行,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做 位似比； 位似中心 ,这时的相像比又称为 2性质：在平面直角体系中,假如位似变换是以原点为位似中心,相像比为 k,那么位 似图形的对应点的坐标的比等于 k 或 -k ； 留意 1,位似是一种具有位置关系的相像,所以两个图形是位似图形,必定是相像图形,而相 似图形不愿定是位似图形； 2,两个位似图形的位似中心只有一个； 3,两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧； 4,位似比就是相像比利用位似图形的定义可判定两个图形是否位似； 29第 29 页,共 32 页5位似