北航理力课件d-ch9b

1、理论力学作业：9-4、9-8、9-27第二类Lagrange方程d T T Q ,2,L,)jdtq&2012-2-281理论力学问题的引出n动力学普遍方程：优点：直接求解主动力与运动（加 0FIii 1BFM IBFA速度）的关系方程中不出现约束力IAxICmgM ICmg有几个度就对应有几个Cmg rC方程缺点：当物体数目多时惯性力（加5 3mR aA x aAmCC22 5 a32C aA aAC速度）的分析与计算繁琐22012-2-282理论力学问题的引出物体用光滑铰链连接，圆盘在地面上纯滚动xAB问题：1、如何建立运动微分方程,使得方程中不出现约束力？C2、系统存在哪些守恒量？201

2、2-2-283理论力学9-2日方程 d T &k ,t)FikTqn Qj 0ri 0mdt q&ij1 i1T 为系统的动能，可表示成： T T (q ,k , & , i1knQj j1q jQ j为对应于广义坐标的广义力利用q,L,)的独立性，有j2012-2-284问题：方程中动能的速度在什么参考系中描述？： d T T Q , ( j 1,L, k )dtqj j设：具有完整双边理想约束的非质点系有 k 个度系统的广义坐标为：1 ,k理论力学9-2日方程解：1、系统的度: k =32、系统的广义坐标：z,z3、系统的动能122(x y z&2)mg24、系统的广义力y 0,Qz mg

3、Qyx d T jdt)q&j,L,2012-2-285思考题：若质点还同时受有空气阻力（与速度平方成正比）的作用，如何分析与计算广义力？例：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程。理论力学9-2日方程BC解： 1、系统的 d Q度为 k=1 rdt & C2、系统的广义坐标：11 1 mL2&2&T 22mL3、系统的动能2 36mgAW 4、系统的广义力L sin 1 mL2 L mg sin m2322012-2-286Qmg sin L2例题:长为L，质量为m的均质杆AB绕水平轴转动，求其动力学方程 。理论力学9-2日方程d T j ,2,L, k )jdtq&1、当所有主动力均为

4、有时d T TV q qV (q ,dt)q&Qj kjq jd T 0设：LT-V （日函数）dtqq&jjLTTQq& jq& j2012-2-287=0第二类Vd L L 0 dt q& q日方程的几种形式理论力学9-2日方程BC解： 1、系统的 d 0度为 k=1dt & 2、系统的广义坐标：1m&3、系统的动能6LmgcosV m( g14、系统的势能)A2 1LmL&m gcos V (5、LagranLge函数T：1)621 mL2 L mgsin 0232012-2-288例题:长为L，质量为m的均质杆AB绕水平轴转动，求其动力学方程 。理论力学9-2日方程d T j 1,2,

5、L, k )2、当部分主动力为有时jdtq& V (q ,jQjd L j设：LT-V （日函数）dtq&应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤：1、确定系统的度和广义坐标；2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能；3、给出系统的4、确定系统中非有2012-2-28日函数；的广义力。9理论力学9-2日方程xl0解：1、求系统的动能和势能FtvA(日函数 )kAv x&,vvACACAcCA&Bm2 g & L& cosm1 gCx& sinCy1121212J m xL cos &2&T m12A222vCxC22223(1 cos ) 1 kx2L T (x&,&, ) V

6、 (x, ) L(x&,&, x, )10V g222012-2-28例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑柱铰链与滑块连接，求系统运动微分方程。AB2L理论力学9-2日方程xl02、求非有的广义力k Wi1Q FtFAxixkxQ 0t3、建立系统运动微分方程Bm gq1 x d L 1 m gj2dtq q&j2cos 1 k)x2 1m xL& cos 2& (L T mx21g21222232方程的物理意义？2012-2-2811m mx cos &2 sin x t21221 m ( L 2 m L&cos gLsin 0 3222理论力学9-2日方程应用第二类日方程建立倒摆动

7、力学方程Am2 gBAB 2L2012-2-2812xF(t)m1g理论力学9-2日方程1412. 5 0 . ra0d,3.rad,0rad/st2012-2-2813例：双摆杆长为1m，质量为gk1，扭簧刚度 k=11.4Nm/rad, 当1 时扭簧无变形。求系统运动微分方程并数值仿真。理论力学9-2日方程0 1250 .rad0,rad,2.0.rad/so1A 2B2012-2-2814理论力学动力学的基本方法定律虚位移原理d L ,L,)jdtq&j2012-2-2815问题：如何应用Lagrange方程，分析系统的守恒量？动力学普遍方程和Lagrange方程动量定理动量矩定理动能定

8、理对应的守恒定理原理-动静法理论力学9-3日方程的首次积分0 0 * ) j r( i sinR t)(当当sRin()*tsin*tr i Rsinj cos(cos k度为k,则：对于具有非定常约束的质点系，若Byrik d(q ,t)viixiikltdl 1rrinkkn1212i1 t miijliq l1ji12012-2-2816T T 2 T T一、质点系动能的结构AckosR)zr理论力学9-3日方程的首次积分rqr nnkk1212i1 i1 mi i iijlt jl1nkk12 i1iiiq&2qj1 l1l nkn12 i1i i1iiq& j10i j1jT T2

9、T T系统的动能：T(q , T0 0k )对于定常约束的质点系有：riQT T 0,t2012-2-2817理论力学9-3日方程的首次积分 &ve atr1) sinT mvcos22(r)212v at已知非定常约束m(T)ac)则系统的度为k=1系统的广义坐标：qT1m2a系统的动能为：2v v vr2012-2-2818 1q& 2221 mat & cosq 1at 202qvrv理论力学9-3日方程的首次积分设：系统主动力均为有标 qi , ( 1 L) 该式称为 循环积分循环坐标：日函数L中不显含的广义坐日函数表示成：L(q& ,< pi (const.)i , ( 1,L,

10、则：qqd L Lpj 称为对应于广义坐标 qj 的广义动量 0dt q&i q证明：当主动力均为有时，系统的Lagrange方程为,L, k )qi , ( 1 L k若Lagrange函数L中不显含广义坐标d LLLd L 0 0 0d tqqiqid t q&i&i2012-2-2819L T pqqi ii二、循环积分（广义动量守恒）理论力学9-3日方程的首次积分设：系统主动力均为有日函数中不显含时间 t，如果保守系统L L(q& ,&k ,k ) T V T2 T1 T0VV const.则：该式称为Lagrange方程的广义能量积分n次齐函数的定理：y f (f1,LL的n次设是函

11、数，1kkk则： i 12012-2-28 nixi20三、能量积分（广义能量守恒）理论力学9-3日方程的首次积分 ax 一次齐函数xf (x 1 bbnx =12f x1f x2 a,f xfx f2axbxxf12xixxi 11(2i2 x 2axn=2cx二次齐f函x数xb1x1f2f2i 1 (2ax bx )x (bx2cx)xx 1211222ixi 2 f 2(ax2bx xcx2 )11222012-2-2821kf nii 1 xi理论力学9-3日方程的首次积分L L(q& ,&k ,k )日函数中不显含时间t，如果保守系统d LkLLdL 0j Qjdtqq jq j&d

12、tj 1 j d d kkk j jjdtdtj1 j j11 d Td TkkddLL 0q& j q&jdtqdtqdt&dtj1 j1 Tjjd Tkk 0 & j & j Cdt j 1 j 1 jj2012-2-2822d dt jj d L q& j dt理论力学9-3日方程的首次积分 Tk T T2 T1 T0& j C j 1j Tkk)q& j q&jkkk0T12T22T2 T1 (T2 T1 T0 V ) C T T T V const.对于具有定常约束的保守系统有：22012-2-2823kf nii 1 xi理论力学9-3日方程的首次积分解：系统的主动力为有m2 gB

13、系统的动能和势能分别为AB 2L123x m2xL cos 2m2 , m2gL(1 cos )&m2(x&,& 日函数L T 中不显含广义坐标x和时间tTx&T &x m L cosp&系统的水平动量守恒2x系统的机械能守恒2012-2-2824Axm1 g例：给出系统日方程的首次积分。理论力学9-3日方程的首次积分vA解：系统的主动力均为有分析系统的动能和势能xAv111212J A 22AB &2m vmvTJCA222cB &mg x& / rv Av Cx&v AmgAA Bv C Ax(& & , 5 m & 2 1 1 mx& co&s,V Lcos& )(m1g)Tm TL46

14、2(x&,& 2日函数L T 中不显含广义坐标x和时间t则系统存在循环积分（广义动量守恒）和广义能量积分（机械能守恒）2012-2-2825例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑柱与圆盘连接。求系统的守恒量。AB=L理论力学9-3日方程的首次积分Tx&512& cos Cmm&系统的什么广义动量守恒？2研究圆盘：研究整体：FAyv112Ar2AmLm x&AxFA2 FvArF&rCAAxAcmgFL&rmgFA F （2）Bmg rFNN d L&rLrx& pxA 0 xAABCxAp& xdr12(x L&cos 52m m)2（1）1rr cos Cm & &pL&x2012-2-2826理论力学9-3日方程的首次积分zAyO d L j B,L, k )jdt q&xj2012-2-2827问题：1：系统有几个度2：如何选取广义坐标3：如何求杆的动能和势能4：系统存在哪些守恒量思考题：长为 L 质量为 m 的均质细杆的 A 端被约束在铅垂滑道上（z轴），B 端在水平面上滑动，不计摩擦和套筒质量，试建立杆的动力学方程（运动微分方程）；系统存在哪些守恒量？理论力学9-3日方程的首次积分zzA&xy121 Ovr2viBiiaia2xv v