利用轴对称求最短距离问题教程文件

1、此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除利用轴对称求最短距离问题基此题引入 : 如图（ 1）,要在大路道a 上修建一个加油站,有,两人要去加油站加油；加油站修在大路道的什么地方,可使两人到加油站的总路程最短？你可以在 a 上找几个点试一试 , 能发觉什么规律 . B B B A A A a a aN M M A A图 1 图 2 图 3 思路分析： 如图 2,我们可以把大路 a 近似看成一条直线,问题就是要在 a 上找一点 M,使 AM与 BM的和最小；设 A 是 A 的对称点,本问题也就是要使 AM与 BM的和最小；在连接 AB 的线中,线段 AB 最短；因此,线段 AB 与直线 a 的

2、交点 C的位置即为所求；如图 3,为了证明点 C的位置即为所求, 我们不妨在直线 a 上另外任取一点 N,连接 AN、BN、 AN；由于直线 a 是 A,A 的对称轴,点 M,N 在 a 上,所以 AM= AM,AN= AN；AM+BM= AM+BM= AB 在 ABN中,AB AN+BN AM+BMAN+BN 即 AM+BM最小；点评： 经过复习同学豁然开朗、面露微笑, 不一会不少同学就利用轴对称学问将上一道中考题解决了；思路如下：BC9（定值）, PBC的周长最小,就是 PBPC最小 . 由题意可知,点 C关于直线 DE的对称点是点 A,明显当 P、A、B 三点共线时 PBPA最小 . 此

3、时 DPDE,PBPAAB.由 ADF FAE, DFA ACB 90 ,得 DAF ABC. EF BC,得 AEBE1 AB15,EF9 . AFBCADAB,即 69AD15. AD 10. Rt ADF2 2 2中, AD10,AF 6, DF8. DEDF FE8925 . 当 x25 时, PBC的周长2 2 2最小, y 值略；数学新课程标准告知我们：老师要充分关注同学的学习过程,遵循同学认知规律,合理只供学习与沟通此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除组织教学内容, 建立科学的训练系统；使同学不仅获得数学基础学问、基本技能, 更要获得数学思想和观念, 形成良好的数学思维品

4、质；同时每年的中考题也千变万化,为了提高同学的应对才能,除了进行专题训练外,仍要多归纳多总结,将一类问题集中出现给同学；一、 两条直线间的对称题目 1 如图,在旷野上,一个人骑马从 A 动身,他欲将马引到河 a1 饮水后再到 a2 饮水,然后返回 A地,问他应当怎样走才能使总路程最短；点评： 这道题同学拿到时往往无从下手；但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了；作法：过点 A 作 a1 的对称点 A ,作 a2 的对称点 A, 连接 A所经过路线如图5： A-B-C-A, 所走的总路程为AA；A交 a1、a2 于 B、C,连接 BC.A A a1 a2 A D E B B C C A第 1 题图

5、第 2 题图二、三角形中的对称题目 2 如图 , 在 ABC中,AC=BC=2,ACB=90 ,D 是 BC边上的中点 ,E 是 AB边上的一动点 , 就 EC+ED的最小值是_ AB看成燃气管道a,问点评： 此题只要把点C、D看成基此题中的、两镇,把线段题就可以迎刃而解了,此题只是转变了题目背景,所考察的学问点并没有转变；三、四边形中的对称题目 3 如图,正方形ABCD的边长为8, M 在 DC上,且 DM=2,N是 AC上的动点,就DN+MN的最小值为多少？点评： 此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特别性质,点 D关于直线 AC的对称点正好是点 B,最小值为 MB10；只供学习与沟通此文

6、档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除A N 第 3 题图D 第 4 题图B M C 四、圆中的对称题目 4 已知：如图,已知点A 是 O上的一个六等分点,点B 是弧 AN的中点,点P 是半径 ON上的动点,如O的半径长为1,求 AP+BP的最小值；点评： 这道题也运用了圆的对称性这一特别性质；点B 的对称点 B 在圆上, AB 交 ON于点 p, 由 AON 60 , BON 30 , AOB 90 ,半径长为1 可得 AB 2 ；当点 P 运动到点 p 时,此时AP+BP有最小值为2BE H B h A B A F 第 5 题图 2 C 第 5 题图 1 G 五、立体图形中的对称 题目

7、5 如图 1 是一个没有上盖的圆柱形食品盒,一只蚂蚁在盒外表面的 A 处,它想吃到盒内表面对侧中点 B 处的食物, 已知盒高 h10cm,底面圆的周长为 32cm,A 距离下底面3cm请你帮小蚂蚁算一算,为了吃到食物,它爬行的最短路程为 cm点评： 如图 2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决,将圆柱的侧面展开得矩形 EFGH,作出点 B 关于 EH的对称点 B, 作 AC GH于点 C,连接 A B ；在 Rt A BC中, AC 16, B C 12, 求得 A B 20,就蚂蚁爬行的最短路程为 20cm；通过变式训练既解决了一类问题,又归纳出了最本质的东西,以后同学再遇到类似

8、问题时同学就不会不知所措；同时变式训练培育了同学思维的积极性和深刻性,进展了同学的应只供学习与沟通此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除变才能；综上所述, 引导同学在娴熟把握书本例题、习题的基础上,进行科学的变式训练,对巩 固基础、 提高才能有着至关重要的作用；更重要的是, 变式训练能培育和进展同学的求异思 维、发散思维、逆向思维,进而培育同学全方位、多角度摸索问题的才能,有助于提高同学 分析问题、解决问题的才能；题目 6 长方体问题如图, 一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 动身,沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱长如下列图）,问怎样走路线最短？最短路线长为多少？析：绽开图如下列图

9、,25 29 37 C1 路线 1 即为所求；D1 A1 D B1 C 1 长、宽、高中,较短的两条边的和作为一条直角边,最 长的边作为另一条直角边,斜边长即为最短路线长；2 A 4 BD D1 C1 D1D C1C 12 A1A 4 B1B 2 C1C 1 A 1 A 1 4 B1 2A 4 B AC1=42+32=25; AC1=62+12=37; AC1=52+22=29 .只供学习与沟通此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除由同学引申总结以下 14：1、 已知：如图, A、B 两点在直线 l 的同侧,点 A 与 A 关于直线 l 对称,连结 A B交 l 于 P点,如 A B =

10、a,（1）求 AP+PB；（2）如点 M 是直线 l 上异于 P 点的任意一点,求证：AM MB AP PB . A BlMPA2、 已知： A、B 两点在直线 l 的同侧,试分别画出符合条件的点 M；（1）在 l 上求作一点 M,使得 AM BM 最小；BA（2）在 l 上求作一点M,使得 AMBM 最大；lBA（3）在 l 上求作一点M,使得 AM+BM最小；lAB3、 如图, AD为 BAC的平分线, DEAB于 E,DFAC于 F,那么 l点 E、F 是否关于 AD对称？如对称,请说明理由；AEFBDC只供学习与沟通此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除4、 已知：如图,点 p

11、1 , p 分别是 P 点关于 ABC的两边 BA、BC的对称点,连接 p p ,分别交 BA、BC边于 E、D点,如 p p =m,（1）求 PDE的周长；（2）如 M是 BA边上异于 E 的一点, N是 BC边上异于 D的一点,求证：PMN的周长PDE的周长；P2NCDP轴对称在此题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情形下转变BEMA位置, 要留意体会轴对称在这方面的应用；以此作为模型我们可以解决P1以下求最小值的问题；5. 如图, 菱形 ABCD中,AB=2,BAD=60 ,E 是 AB的中点, P 是对角线 AC上的一个动点,就 PE+PB的最小值是 _；分析：第一分解此图形,构建如图 5 模型,