《初等数论》课程教学大纲

1、初等数论课程教学大纲 一、课程信息课程代码（COURSE CODE）316B1003课程名称（COURSE TITLE）初等数论课程性质（COURSE CHARACTER）专业必修课学分（CREDIT）3学时（CONTACT HOURS）48先修课程（PRE-COURSE）无课程负责人（COURSE COORDINATOR）适用专业数学与应用数学（师范）课程简介：初等数论是数学与应用数学专业的一门基础的专业必修课程，是用初等方法研究整数性质的基础课。本课程的主要内容包括数学归纳法、抽屉原理、一次不定方程、数的整除性、素数、同余式、中国剩余定理、Euler函数与Euler定理、二次剩余、二次互反

2、律、两平方和定理和四平方和定理。通过本课程的教学，使学生比较系统地掌握初等数论的基本概念、基本定理和基本方法，加深学生对整数性质和数学美的认识，训练学生的数学思维，提高学生解决整数问题的实际能力和数学修养。教学时注意介绍数论中有关问题的历史背景、现代发展和我国数论学家的成就，强调将数论定理和解题方法用于解中学数学竞赛中数的问题，注重培养学生的计算、猜想、论证和应用能力。二、课程目标通过本课程的学习，学生应达到以下几方面的目标： 1. 通过本课程的学习，学生掌握初等数论的基本概念、基本定理和基本方法，熟练掌握整数的整除理论和同余理论。2. 通过本课程的学习，学生加深对整数性质和数学美的理解和认识

3、，提高计算能力，为学习和理解其它邻近学科奠定基础。3. 通过本课程的学习，学生学会如何猜想和证明，训练数学思维和逻辑推理，提高解决整数问题的实际能力和数学修养。4. 通过本课程的学习，学生提高学习数学的兴趣与热情，养成良好的思考习惯，培养创新精神和创造能力。课程目标对毕业要求的支撑关系表毕业要求毕业要求指标点课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4毕业要求3毕业要求指标点3.2H毕业要求指标点3.4H毕业要求4毕业要求指标点4.1HH三、教学内容与预期学习成效知识单元对应课程目标知识点预期学习成效实现环节学时1.数学归纳法课程目标1、31. 第一数学归纳法2. 第二数学归纳法1. 了解第一和第

4、二数学归纳法原理2. 会用第一数学归纳法证明关于自然数的命题3. 会用第二数学归纳法证明关于自然数的命题1.课堂教学2.课后作业理论3学时课程思政：通过数学归纳法的学习，让学生掌握特殊到一般的归纳方法和演绎证明的思想。2.数的整除与一次不定方程课程目标1、21. 整除性质2. 辗转相除法3. 一次不定方程1. 会用辗转相除法求两个数的最大公因子2. 会求二元一次不定方程的一组解和所有解3. 掌握一般的一次不定方程有解的充分必要条件1.课堂教学2.课后作业理论4学时课程思政：通过学习最大公因子求法和一次不定方程解法，培养学生细心习惯与计算能力。3.素数课程目标1-41. 素数概念2. 素数无穷的

5、证明3. 素数判别4. 素数难题1. 理解素数概念及性质2. 会判别一个给定的自然数是否为素数3. 掌握整除性质4. 掌握Euclid关于素数有无穷多的证明1.课堂教学2.课后作业理论3学时课程思政：通过学习孪生素数猜想和Goldbach猜想，了解张益唐和陈景润的成就，增加民族自豪感和自信心。4.算术基本定理及其应用课程目标1、2、31. 算术基本定理2. 最大公因子与最小公倍数3. 除数函数d(n)与因子和函数(n） 4. 完全数1. 掌握算术基本定理2. 会求给定自然数的标准分解式3. 掌握d(n)和(n）性质及计算公式4. 掌握最大公因子与最小公倍数性质及求法5. 掌握偶完全数定义、构造

6、及性质1.课堂教学2.课后作业理论6学时课程思政：通过学习完全数，了解人们对完美境界的追求和探讨。5. 取整函数与抽屉原理课程目标2、31. 取整函数性质2. 阶乘中素数指数计算3抽屉原理1.掌握取整函数性质并会证明取整函数恒等式2掌握阶乘中素数指数计算公式3. 会对较小n求n!标准分解式4会对较小n求n!最后连续的0的个数5. 会用抽屉原理证明关于数的命题1.课堂教学2.课堂讨论3.课后作业理论4学时课程思政：通过学习抽屉原理，使学生认识到简单的基本原理的重要性。6. 同余性质与同余方程课程目标1-31. 同余概念及性质2. 同余方程3. 分数同余1. 掌握同余基本性质2. 熟练应用同余性质

7、计算关于给定模的最小非负剩余3. 会解一次同余方程1.课堂教学2.课后作业理论6学时课程思政：通过学习同余概念及性质，使学生了解到引入一个好的记号就可导致一个数学分支。7. 中国剩余定理课程目标1、2求解一次同余式组1. 掌握中国剩余定理2. 会解一次同余式组1.课堂教学2.课后作业理论2学时课程思政：通过学习以中国命名的定理，增强学生的民族自豪感和自信心。8. Fermat小定理与Wilson定理课程目标1-4Fermat小定理Wilson定理1. 掌握Fermat小定理与Wilson定理2. 会计算一个整数幂和阶乘关于指定模的最小非负剩余3. 会利用组合数性质、Fermat小定理与Wils

8、on定理证明同余式1.课堂教学2.课堂练习3.课后作业理论4学时课程思政：通过学习Fermat小定理与Wilson定理，让学生认识到数学美和什么是简单而深刻的真理。9. Euler函数与Euler定理课程目标1、2、4完全剩余系与简化剩余系2. Euler函数3 Euler定理1. 掌握完全剩余系，简化剩余系概念及性质2. 掌握Euler函数性质及计算公式3. 掌握Euler定理4. 会用Euler定理求一个整数幂的末两位数字1.课堂教学2.课堂练习3.课后作业理论4学时课程思政：通过学习Euler定理，使学生了解特殊到一般的认识过程。10. 二次剩余与二次互反律课程目标1-41. 二次剩余概

9、念2. Euler 判别条件3. Legendre符号4. 二次互反律5. Jacobi符号1. 掌握二次剩余概念与模p平方剩余求法2. 掌握平方数末位数特征3. 掌握并会运用Euler判别条件4. 掌握Legendre符号性质与二次互反律5熟练计算Legendre符号和Jacobi符号6. 会判别给定的模为素数的二次同余式是否有解 1.课堂教学2.课堂练习3.课后作业理论8学时课程思政：通过学习二次互反律，提高学生对数学美的认识，并使学生了解事物是相互联系的哲学观点。11. 两平方和定理与四平方和定理课程目标2、3、41. 两平方和定理2. 四平方和定理1. 掌握两平方和定理和四平方和定理2

10、. 会判断和证明哪些数不能表成两整数平方和1.课堂教学2. 课堂练习理论4学时课程思政：通过学习两平方和定理和四平方和定理，使学生懂得欣赏数学美，并认识到伟大的真理具有简单直观的特点。四、成绩评定及考核方式知识单元对应课程目标考核方式成绩评定1.数学归纳法课程目标1、3平时表现平时表现(考勤+作业)占20%,期末考试占80%2.数的整除与一次不定方程课程目标1、2平时表现+期末考试3.素数课程目标1-4平时表现+期末考试4.算术基本定理及其应用课程目标1、2、3平时表现+期末考试5. 取整函数与抽屉原理课程目标2、3平时表现+期末考试6. 同余性质与同余方程课程目标1-3平时表现+期末考试7.

11、 中国剩余定理课程目标1、2平时表现+期末考试8. Fermat小定理与Wilson定理课程目标1-4平时表现+期末考试9. Euler函数与Euler定理课程目标1、2、4平时表现+期末考试10. 二次剩余与二次互反律课程目标1-4平时表现+期末考试11.两平方和定理与四平方和定理课程目标2、3、4平时表现五、课程目标达成度评价依据课程目标考核环节(评价依据)期望值平均得分达成度计算课程目标1考核环节1考核环节1期望值A1=a1=考核环节1实际平均得分 考核环节2考核环节2期望值B1=b1=考核环节2实际平均得分课程目标2考核环节1考核环节1期望值A1=a1=考核环节1实际平均得分 考核环节2考核环节2期望值B1=b1=考核环节2实际平均得分课程目标3考核环节1考核环节1期望值A1=a1=考核环节1实际平均得分考核环节2考核环节2期望值B1=b1=考核环节2实际平均得分课程目标4考核环节1考核环节1期望值A1=a1=考核环节1实际平均得分考核环节2考核环节2期望值B1=b1=考核环节2实际平均得分注：Ai、Bi、Ci是指各考核环节在总评成绩中所占的比例。六、课程建议教材及主要参考资料 1. 建议教材 1 ，数和数列，北京：科学出版社，2016.2. 主要参考书 1 蔡天新，数论从同余的观点出发，北京: 高等教育出版社，2012. 2