数学竞赛人才的发现与培养

1、数学竞赛人才的发现与培养数学竞赛人才的发现与培养是一个有意思的话题，同时也是一个没有标准答案的长期探索的问题。事实上从1981年中国 数学会普及工作委员会相继举办了全国高中数学联赛以来每年都吸引了大批的学生参加。1985年我国又步入了国际中学生奥林匹克数学竞赛的殿堂，加强了中学数学教育的国际交流，而且短短的几年时间我国就跻身于IMO强国之列。我国选手所取得的成绩举世瞩目，显示了我国中学生的竞赛水平，同时激励了更多的学生的学习数学的兴趣，中间有各种政策的调整，但是直到现在中学生高中联赛任是中学生高中期间的重要一项活动。随着数学竞赛活动的发展，数学竞赛尖子生的发现与培养问题就摆眼前。为了谈谈这个问

2、题，我从国际数学竞赛、中国数学竞赛、数学竞赛的内容与方法、数学竞赛的特点等几个方面与大家进行交流：国际数学竞赛数学竞赛就是比解数学题，事实上掌握数学的一个重要标志就是善于解题。在解题活动中的有意识的比赛获无意识的竞争由来以久，但是专门以中学生为对象的数学竞赛确是现代的时尚，是匈牙利首开中学生数学竞赛之先河（这也与早期匈牙利为数学强国分不开的）1894年，匈牙利数学物理协会通过了再全国举办中学生数学竞赛的决议。自当年起，每年10月举行，每届3道题，限时4小时，可以使用参考书，试题常有高等数学的背景而解决方法完全是初等的。匈牙利的数学竞赛造就了一大批与其国土面积及人口数量都不成比例的数学大师，在早

3、期就有大明鼎鼎的费叶尔、冯.卡门等。继匈牙利之后，罗马尼亚于1902年由数学杂志组织过竞赛，这期间30年中没有其他的国家举办过大的中学生数学竞赛活动，直到匈牙利数学竞赛造就的大师们纷纷登台时，欧洲和其他国家才睁开惊奇的目光，产生盎然的兴趣，争相效仿。1934年，原苏联在列林格勒（今圣彼得堡）大学举办了中学生数学奥林匹克，首次把数学考试与公元前776年的古希腊奥林匹克体育竞赛联系起来，1935年又由莫斯科大学举办了中学生数学奥林匹克竞赛，这一活动深受广大师生的欢迎，以后逐年举行，1962年扩大到整个苏联（期间对苏联数学的发展起到了巨大的作用）1949年，保加利亚举办了数学竞赛1950年，波兰举办

4、了数学竞赛1951年原捷克斯洛伐克举办了数学竞赛1956年，中国举办了数学竞赛1958年，印度举办了数学竞赛此后还有东德、瑞典、南斯拉夫、荷兰、古巴、意大利等国家分别举办过数学竞赛，但从规模和成绩来看，竞赛主要还是集中在东欧，我国需要在1956年就举办了，但后来多方面原因使我们没有很好的发展。事实上情况表明20世纪50年代以来，世纪出现了一股举办中学数学竞赛的热潮，它继为国际数学奥林匹克的诞生准备了条件，又为国际数学奥林匹克的发展提供了动力。1956年经过罗马尼亚的罗曼教授的积极活动，东欧国际正式确定了开展国际数学竞赛的计划。第一届，IMO于1959年7月在罗马尼亚古都布拉索拉开帷幕，虽然只有

5、7个国家、52名选手（罗马尼亚8人，匈牙利8人，捷克斯洛伐克8人，保加利亚8人，波兰8人，东德8人，苏联4人），但这是首次数学竞赛的跨越国界，然后前几届参赛国家仅限于东欧的几个国家，实际上只有区域性而缺乏国际性，到20世纪60年代末逐步扩大，发展成真正的全球的中学生数学奥林匹克竞赛。1990年在中国举办已发展到54个对308人，现在已经发展到100多个对了，规模越来越大。国际数学奥林匹克的目的是激励和培养数学人才，促进各国的数学教育的交流与发展每年举办一届，时间是7月中旬参赛对象为中学生，每个国家6名选手举办地由参赛国提前申办试题由参赛国提供，经东道主精选后交主试委员会表决，产生6道题，试题范

6、围集中在代数、几何、初等数论、组合数学初步考试分两天进行，每天连续4.5个小时，考3道题，同一国家的6名选手分在6个不同考场，选手独立答题，不得使用参考书和计算器。中国的数学竞赛虽然有过一些历史竞赛记录，但有很大意义的中国中学生数学竞赛正式开始于1956年，可以说与国际IMO同步，后来由于一些特殊原因中断，1978年恢复，并逐步从国内成熟走向国际。中国数学竞赛活动发展曲折 1956年至1964年为第一个阶段，1978至今为第二个阶段，在第二个阶段有1978至1985的国内恢复时期与1985至今的走向世界并取得辉煌成果时期，就是在取得辉煌成果的时期也有对数学竞赛不同的政策调整，但中学生全国高中联

7、赛中学生冬冷营，国际集训队等数学竞赛活动一直没有在开展，在工作实践中，中国数学会普及委员会不断总结经验开展数学竞赛研讨工作，创造性结决竞赛中遇到的理论和实际问题明确了竞赛活动的目的与原则坚持普及与提高相结合的方针（联赛分一试与二试）调动中学与大学的积极性（中学学生的兴趣大学招生的一种方式）完善了中国中学生的竞赛工作程序，贯穿“省、市预赛-全国联赛-冬冷营考试-国家集训队考试-参加IMO”全过程完成了命题工作的规范化制定了数学竞赛大纲建立了等级教练员制度（国家一、二，三级教练员）早在1978年，我国就接到过IMO的邀请，但受各方面条件的限制，直到1985年才第一次以观察员的身份参加了第26届IM

8、O（赫尔辛基）领队是中科院王寿仁和裘中沪研究员，后来裘老师一直坚持发展中国中学生奥林匹克竞赛工作。学生是上海向明中心吴思皓和北京大学附中的王峰同学。通过这次IMO活动了解了一些基本情况，增强了信心，在中国数学会成立50周年的纪念大会上（1985年12月）决定中国正式派队参加1986年波兰举行的27届IMO，并且自此后参加了所有的IMO，而且成绩突出。此后中国选手不断获得金牌，且多次总分第一，经常获得其他国家的邀请赛成绩优异，我带过学生参加保加利亚国家中学生数学奥林匹克邀请赛，罗马尼亚数学大师赛，这些竞赛不仅是获得金牌，数学竞赛在我国的开展，至少在以下几个方面作出了突出贡献：我国中学生在各类国际

9、竞赛中屡次取得优异成绩，为祖国增光，为学生增强了自信数学竞赛使大批有才华的学生在中学时代受到了高等思维训练，为高校输送了一批尖子人才数学竞赛的广泛开展推动了中学教学的改进国际数学竞赛已经得到全世界认同，中国数学竞赛也得到国人的认知（这里有很多起伏我就不说了），但实事求是的讲在国内数学竞赛要处理好“普及性”与“高标准”之间的平衡处理好课内与课外的关系处理好普及与提高的关系处理好大多数与少数尖子的关系，以保护大多数为基本出发点，分层次，分阶段进行合理的选拔坚持能力发展与趣味并存（事实上这也是很多成功教练的工作方法）竞赛数学的内容与方法首先我国竞赛对一般学生来说主要就是高中联赛，高中联赛分一试与二试

10、，一试就是为了考虑数学竞赛的普及性，一试的内容基本上与高考接轨，二试是选拔与提高，四道题基本就是代数、几何、数论和组合数学。二试的问题突出在考察学生的思维能力，综合知识的运用能力，要求有很高的数学素养，二试的问题不是单靠记忆和模仿能解决的问题，通常是需要更多的探究，表现为一种创新性活动（这也为我们需要竞赛达到什么样层次就需要学生具备相应的能力）中学生数学竞赛的特点数学竞赛所涉及到的核心内容不能直接归为中学数学，因为它常有大学数学的背景，用到大学的思想方法，而且有些内容中学教材不直接讲。同时，竞赛数学又不能简单地并入大学数学，毕竟中学数学竞赛题全是用中学数学方法可以处理的，就是普通大学生参加国际

11、IMO也未必占优，情况表明，数学竞赛是高等数学的深刻思想与初等数学精密技巧相结合，主要体现在有很高的数学素养（数学素养一方面靠培养，更需要自身有很高的天赋）数学竞赛题不仅常常使用现代化的数学语言而且体现现代数学的发展成果，数学竞赛题代表了活的数学，解竞赛题虽离不开一般的思维规律、数学知识，还有很多方法与技巧，但大多数没有常规模式可套用，亦无万能范本可循，且赛题内容不断更新，重要的是整体全局的洞察力，敏锐的直觉和独创性的构思如：在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和为负数，而任意连续11项和为正数，试问这样数列最多有多少项解法：将数列排成数阵从而按行计算和小于0，而按列求和大于0，则数列项数小

12、于17.另一方面6,6，-15,6,6,6，-16,6,6,6，-16,6,6,6-15,6,6适合题意，从而最多项就16项。（这里构造不是一般人可以完成的！）（1983年24届IMO试题）设是三角形的三边长，求证（并给出等号成立的条件）该问题是一道代数题，通常展开然后进行适当变换分解因式可以证明（但运算量分解因式都有一定的难度）本次竞赛种，原联邦德国选手伯恩哈德.李给出了一个非常巧妙的解法，首先由于代数式关于具有“轮换对称”性，从而可以假设则从而原式大于等于0，且等号成立充分必要条件是。（这一证明方法非常巧妙，一般人没法思考！）今有7种颜色的珍珠，共14颗，其中每种颜色的珍珠各2颗；今把这些

13、珍珠分装在7个珠盒中，使得每个珠盒中各有一个不同颜色的珍珠。证明：不论各盒的珍珠怎样搭配，总可以将这7个珠盒分别放置在一个正7边形的7个顶点上，使得7边形的任意两个相邻顶点处放置的盒中四颗珍珠互不同色。分析：这是一个复杂的组合问题，首先是不管怎样组合，都可找到符合题目要求的一种排列，所以解决问题的关键是对所有的组合情况进行分类考虑，得出相应的结论。证明：（1）由题目条件，用点分别表示这7种颜色，如果一个和色的珍珠放置在一个盒子中，则在和间连边，这样得到一个图。由于同一色的珍珠有两颗，每一颗珍珠都与另一色的一个珍珠放置在同一个盒子中，则图中的每点恰好发出两条边。从中的任意一点出发，沿一条边到，再

14、由沿另一条边到，依次下去，最后必回到出发点，这样在图中必有圈。去掉这个圈，若剩下还有点，依上方法知又将得到新的圈，若称两点圈为“两边形”，则图的结构只有如下四种情况： 一个7边形；一个5边形，一个两边形；一个4边形，一个三角形；一个三角形，两个两边形。对每种情况进行编号分析：表明每盒珍珠的颜色搭配是：， 则依次将，放置在正7边形的7个顶点上是符合题目要求的放置；表明每盒珍珠的颜色搭配是：， 则依次将，放置在正7边形的7个顶点上是符合题目要求的放置；表明每盒珍珠的颜色搭配是：， 则依次将，放置在正7边形的7个顶点上是符合题目要求的放置；表明每盒珍珠的颜色搭配是：， 则依次将，放置在正7边形的7个

15、顶点上是符合题目要求的放置。综上可得所证结论成立。求最小正整数 ，使得平面内任意无3点共线的个点中，必有3点是一个非等腰三角形。解: 首先若平面内6点是一个正五边形的5个顶点和它的中心时，以这6点为顶点的所有三角形都是等腰三角形，故所求正整数 。 其次，若存在平面7点（其中任意3点不共线），使以这7点为顶点的所有三角形都是等腰三角形。记这7点的集合为 。不妨设 中距离最大的两点为。分别以 为中心，为半径画弧相交于 两点。记， 线段。任取 ，,由于 为等腰三角形，于是下列三种情况至少有一个成立：1，；2，；3，。 所以 。因中无三点共线，故 上至多有中两个点，于是弧（不含端点）内至少有中个点。不妨设弧上有中一点，且在弧内无中的点。再分别以为中心，以为半径作圆弧交于两点。记，线段，同理中的点全部属于。所以，且弧内无中的点。所以，其中是，是，是。记，则上至少有中不同于的3个点。所以或上至少有中不同于的两个点。不妨设中有不同于的两个点在上，则只有下列两种情形：（1）。因为为等腰三角形，且，所以 。同理由是等腰三角形，得。所以，即在的中垂线上，但的中垂线只通过而不通过，矛盾。（2），同一可得。又为等腰三角形，且，所以，所以。在与中，。所以，这与矛盾。可见平面内不存在7点（其中任意三点不共线），