高考数学(理数)二轮复习专题14《大题专项》练习06 (含答案详解)

1、大题专项训练6圆锥曲线1已知椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,16)1.(1)求椭圆C的长轴长及离心率；(2)已知M为椭圆C的左顶点，直线l过(1,0)且与椭圆C交于A，B两点(不与M重合)，求证：AMB90.【解析】(1)椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,16)1，a4，b2，c2eq r(3)，椭圆C的长轴长为8，离心率eeq f(c,a)eq f(r(3),2).(2)证明：由(1)知M(2,0)当直线l的斜率不存在时，A(1,2eq r(3)，B(1，2eq r(3)，eq o(MA,sup6()(3,2eq r(3)，eq o(MB,sup6()(3，

2、2eq r(3)，eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()30.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq o(MA,sup6()(x12，k(x11)，eq o(MB,sup6()(x22，k(x21)联立直线l与椭圆的方程，消去y，得(4k2)x22k2xk2160，x1x2eq f(2k2,4k2)，x1x2eq f(k216,4k2).eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()(x12)(x22)k(x11)k(x21)eq f(3k2,4k2)0.综上，eq o(MA,sup6()eq o(MB

3、,sup6()90.2(山东烟台期末)已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(0，eq r(3)，(0，eq r(3)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m0)(1)求顶点C的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；(2)当meq f(3,4)时，设点P(0,1)，过点P作直线l与曲线交于E，F两点，且eq o(FP,sup6()eq f(1,3)eq o(PE,sup6()，求直线l的方程【解析】(1)令C点坐标为(x，y)，则直线AC的斜率k1eq f(yr(3),x)，直线BC的斜率k2eq f(yr(3),x).k1k2eq f(yr(3),x)eq f(yr(3),x)eq f(y23

4、,x2)m，化简得eq f(m,3)x2eq f(y2,3)1(x0)当m1时，轨迹表示以(0,0)为圆心，eq r(3)为半径的圆，除去(0，eq r(3)，(0，eq r(3)两点；当m1时，轨迹表示焦点在y轴上的椭圆，除去(0，eq r(3)，(0，eq r(3)两点；当1m0时，轨迹表示焦点在x轴上的椭圆，除去(0，eq r(3)，(0，eq r(3)两点；当m0时，轨迹表示焦点在y轴上的双曲线，除去(0，eq r(3)，(0，eq r(3)两点(2)当meq f(3,4)时，曲线为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1(x0)当直线l的斜率不存在时，不符合题意设直线l的方程为yk

5、x1，代入椭圆方程，整理得(34k2)x28kx80.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由eq o(FP,sup6()eq f(1,3)eq o(PE,sup6()，得x13x2.x1x2eq f(8k,34k2)，x1x2eq f(8,34k2).x2eq f(4k,34k2)，xeq oal(2,2)eq f(8,334k2)，消去x2，解得keq f(r(6),2).直线l的方程为yeq f(r(6),2)x1.3(湖南湘潭模拟)已知抛物线C1：x22py(p0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.(1)若A(2,1)，求p的值以及圆C2

6、的方程；(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)【解析】(1)A(2,1)在抛物线C1上，42p，解得p2.又圆C2的圆心为eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，半径为eq f(|OA|,2)eq f(r(5),2)，圆C2的方程为(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)2eq f(5,4).(2)设Aeq blc(rc)(avs4alco1(x1，f(xoal(2,1),2p)，Beq blc(rc)(avs4alco1(x2，f(xoal(2,2),2p)，则eq o(OB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x2，f(x

7、oal(2,2),2p)，eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x2x1，f(xoal(2,2)xoal(2,1),2p).由eq o(OB,sup6()eq o(AB,sup6()0，得x2(x2x1)eq f(xoal(2,2)xoal(2,2)xoal(2,1),4p2)0.x20，且x1x2，xeq oal(2,2)x1x24p2.x1eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(4p2,x2).xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)eq f(16p4,xoal(2,2)8p22eq r(16p4)8p216p2，当且仅当xeq oal(2

8、,2)eq f(16p4,xoal(2,2)，即xeq oal(2,2)4p2时取等号又|OA|2xeq oal(2,1)eq f(xoal(4,1),4p2)eq f(1,4p2)(xeq oal(4,1)4p2xeq oal(2,1)，注意到xeq oal(2,1)16p2，|OA|2eq f(1,4p2)(162p44p216p2)80p2.而Seq f(|OA|2,4)，S20p2.S的最小值为20p2，当且仅当xeq oal(2,2)4p2时取得4如图，已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右顶点为A，离心率为e，且椭圆C过点Eeq blc(rc)(a

9、vs4alco1(2e，f(b,2)，以AE为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直线l(直线l不过原点且斜率存在)与椭圆C交于P，Q两个不同的点，且OPQ的面积S1，若N为线段PQ的中点，则在x轴上是否存在两个定点E1，E2，使得直线NE1与NE2的斜率之积为定值？若存在，求出E1，E2的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)连接EF，则EFFA，c2eeq f(2c,a)，解得a2.Eeq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b,2)，代入椭圆方程，解得ceq r(3).b2a2c21.椭圆的方程为eq f(x2,4)y21.(2)设直线l的方程

10、为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,f(x2,4)y21，)整理得(14k2)x28kmx4m240，x1x2eq f(8km,14k2)，x1x2eq f(4m24,14k2).则|PQ|eq r(1k2)|x1x2|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq f(4r(1k2)r(14k2m2),14k2)，原点到直线l的距离deq f(|m|,r(1k2)，OPQ的面积SOPQeq f(1,2)|PQ|d1，整理，得14k22m2.设N(x，y)，则xeq f(1,2)(x1x2)eq f(2k,m)，yeq f(1,2)(y1y2)eq f(1,2m)，结合14k22m2，消去k，m，得eq f(x2,2)2y21.假设x轴上存在两定点E1(s,0)，E2(t,0)，st，则直线NE1的斜率k1eq f(yN,xNs)，直线NE2的斜率k2