整体法对一道柔链题的全方位解答

1、整体法对一道柔链题的全方位解答摘 要 本文就一道柔链题目，用整体法给出了四种解法：两种常见的方法以及从功能原理出发的易错 的两种解法，其中有一种解法错得很诡异，极其不容易找到错误%本文详细分析了学员们容易 出错的根源，其意义主要体现在加深了对平动意义的理解，以及用功能原理解题的注意事项 最后给出了关于柔链问题的动能定理，且对其中的能量关系给出解释关键词柔链；平动;质心;功能原理ALL-ROUND UNDERSTANDING OF A FLEXIBLE CHAI-PROBLEM ON INTEGRAL METHODAbstract Four ways to a flexible chain pr

2、oblem was demonstrated in this paper, especially two kinds of wrong methods on study. One of the two ways was very hard to find out the mistake. The origin of the wrong lied in the msunderstanding of the translation and functional principle in the flexible chain probG lems. The inner action between

3、the flexible chain was always ignored. In the end, the correct funct i onal prncple was deducted and expressed for the flexble chans.Key words flexible chain； translation； center of mass； functonal principle大学物理经典力学中涉及柔链、火箭发射等变 质量问题口-N&这里的变质量是相对于柔链的一部分 而言，它们的质量一直有增加或者减少&这个变质量 给学生们的认知带来很多混乱-这里的变质量不同于

4、 相对论中由于物体运动速度的变化而带来的质量变 化&在解题过程中，以质点系整体为研究对象成为便 捷处理问题的方法&本文对大学物理（上册）（第三版，康颖主编）一 道变质量问题!作一剖析，展示了质点力学中处理问 题的方法，便于学生进一步掌握知识体系的内涵，选择 自己熟悉的角度入手解题&本文给出了四种解题方 法，其中包括了两种错误的功能原理解题的方法&1具体分析过程题目：一柔链条长为L,单位长度的质量为*链 条放在有一小孔的桌面上，一端由小孔稍伸下来，其余 部分堆在小孔周围&由于某种扰动，链条因自身重量 开始下落&求链条下落速度与落下距离之间的关系& 设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开（见

5、 图1）&图1柔链放置图分析：这是一道典型的变质量问题&质点力学题 目的解决方法一般从以下三方面展开，它们之间层层递进升华：（1）牛顿第二定律;（2）冲量定理；（3）功能原 理（动能定理或者机械能守恒定律）%在教学中为降低解题难度，将质点系整个链条看成 一个系统，这样避开了难处理的内力部分，因为内力不 影响链条的整体运动情况 一般的教材中会展示法一 或法二中的之一，鲜见用功能原理解决类似题目，但学 员们往往会尝试用功能原理解答选桌上一点为坐标 原点。，竖直向下为Oy轴正向，下落部分质量和桌面 部分质量分别计为9! 92,长度部分计为y和（L y）% 由题意知，两部分链条间的作用力为内力，忽略所

6、有的 摩擦，桌上部分的重力和桌面的支持力相平衡，链条所 受的合外力为mlg%以下用四种方法解答了本题均 选整个链条作为研究对象作为一个综合题目，很多学员自然想到用功能原 理来解答此题且在忽略所有摩擦的情况下很容易犯 错，认为链条的机械能守恒多见以下两种错误解法% 尤其是解法三，其结论和解法一、二没有异同，更增加 了过程分析的诡异性2.3解法三：机械能守恒定律1由题目可知，整个过程中的摩擦力都不计，依据机 械能守恒定律过程中正确表达重力做功或者系统的 动能和势能是关键通过质心表达更为直观所受合外力仍是下落部分的软链的重力，见 式（2）,做功表示为2四种解法dA =#ygdyc系统动能的增量即为质

7、心动能的增量dEk =d（；LAt；2）由动能定理2.1解法一：牛顿第二定律该种方法研究的是物体在每一瞬时受到的合外力 与运动状态P间的关系由牛顿第二定律dAG = dEk 将式（8）、（9）带入式（10）得#ygdyc = d (-1 LAw2)dPF =dt其中(!)其中是系统受到的合外力,P是系统任意时刻的 动量%由题设条件知F =9： Xygdp = d（#yw = （/ y） X 0） = #d（yw）将式（2）和（3）带入式（1）,得到、 d#y-）#ygT-y。=（12）微分得到( 2 )(3)(4)带入式（11）得积分得两边同乘以ydy ,则yy-g ydy = y-d(y-)

8、J 0J 0(5)积分得到变形得到y = y#2y2AL=2L(质心定义)gy2dy = yd (yy)2$gy3 =万(yy)2w = （3$gyY2.2解法二：动量定律该种方法解决的是合外力积累一段时间的作用效 果和运动状态变化间的关系法一研究的是某时刻瞬 时量的关系，本方法研究的是一段过程受力分析 相同(6)-=y=&3gy9)10)11)12)13)14)15)16)乍看这个结论和前面两种方法计算得到的结论一 致，所以想当然认为机械能守恒没有问题但其实质 发生了错误后面详细分析2.4解法四：机械能守恒定律2选整条链质点系为研究对象，重力所做的功等于 系统动能的增加量：每一个微过程，满足

9、动量定理Fdt =dP(7)#yg17)其中dP的表达见式（3）,F的表达见式（2）,将式（2）、 （3）带入式（7）中，等式两边同乘以ydy,且积分后同 式（5）、（6）%法一和法二结论一致，且一般没有任何争 议之处变形得到-=gy1/2 %（1）显然这个结论不同于前面的结论，这个结论比之 前的稍大显然也是错误的后面详细分析等式左侧即为变质量系统动能的增量(20)(20)3错误分析法三和法四都是在根据过程遵守机械能守恒定律 计算出来的。其实质到底是什么？能量的变化源于何 处？我们可以通过特殊值验证。假设整条软链刚好全 部下落，选取桌面所在的水平面为势能零点面，此时：1/ 9TA = #L($

10、gy)#Lg , 万=_: (19)显然能量损失了过程中机械能不守恒。法三的解法和结论看似完美，在过程中详细体现 了质点系质心的概念，然而忽略了质心概念的应用前 提是质点系做平动运动！而此题中一部分软链总静止 在桌面上直到链条全部落下！这里是对质点系平动概 念的误解所致的错误！如果将本题目改为绳子自由平 躺放在桌面上，一端从桌面边缘自由下垂，此时整个质 点系做平动，解法三即正确！同理，解法四也是忽略了质点和质点间具有相对 速度的问题，也不遵守机械能守恒定律！O正确的功能关系那么，此题正确的功能关系是什么？直接的原因 可以由变质量体系的动力学方程推导其动能定理可 以得到，.-d .dDM =F

11、=u dtdt其中M是质量主体，F是系统受到的合外力，u是放出 或者加入的质量相对质量主体的速度，-是质量主体的 绝对速度，假设减少或者增加的质量的绝对速度为-，则 u = - (21)将式(20)各项乘以dr,dr = -dz,得到Mv d = F dr = - ( -)dM,(22)变形得到d(；m-2) = ；-2dm - , -dm = F , dr (23)式(23)即是变质量系统动能定理的微分表达形式 继续变形为d/ 12 I 1/、1|1/21(-m-)= 2- dm (- & - ) dm = - dmdA电 =(m = dm) (- + d)2m-2u2dm(27) 略去高阶

12、项的结果即系统动能的改变量为系统合外 力做功与-|u2dm的差值，该项一1u2dm即表示增加 质量/减少质量时，动能的变化进一步可以导出动能 定理的积分形式： TOC o 1-5 h z 111 r1 rx2工2工|/21厂 1x 2 1m2-2m 1-1 -dm = F dr u dm2222(28) 所以法四中的解题过程式(17)应写为2 ；ju2#d(= ；#(-2，(29)两边乘以y,得到式(6),同法一和法二的结论表明非 平动的过程中，微元和主体的相互作用力不是保守力, 两者间发生的是完全非弹性碰撞，有能量损耗，所以题 中的机械能不守恒2一4( 若本题目中软链变为伸展自 由放置，整体平动，微元和主体间的相对速度为0,整个 过程遵守机械能守恒定律3(所以解决变质量等柔链 问题，谨慎用机械能守恒定律 5结论从本文可以看出解决柔链等变质量问题，选质点系 为系统解题比较容易，如选择牛顿第二定律和动量定理 来解决，即法一和法二尽量避免用功能原理解题。从 功能角