(新高考)高考数学一轮复习课时练习9.6《双曲线》(含解析)

1、第6讲双曲线最新考纲考向预测1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.命题趋势主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点以选择题、填空题为主，难度为中低档.核心素养数学运算、直观想象1双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1，F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距|MF1|MF2|2a2a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)t(t0)(2)过已知两个

2、点的双曲线方程可设为mx2ny21(mn0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2，y2前的系数的正负3关于双曲线离心率的取值范围问题，不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1，)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线()(2)椭圆的离心率e(0，1)，双曲线的离心率e(1，)()(3)方程eq f(x2,m)eq f(y2,n)1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq r(2).()答案：(1)(2)(3)(4

3、)2已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为2，其右焦点为F2(2eq r(3)，0)，则双曲线C的方程为()A.eq f(x2,3)eq f(y2,9)1 B.eq f(x2,9)eq f(y2,3)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,12)1 D.eq f(x2,12)eq f(y2,4)1解析：选A.因为双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为2，其右焦点为F2(2eq r(3)，0)，所以eq blc(avs4alco1(f(c,a)2，,c2r(3)，)解得aeq r(3).又c2a2b2，且b

4、0，所以beq r(c2a2)eq r(123)3.所以双曲线C的方程为eq f(x2,3)eq f(y2,9)1.故选A.3(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，点P是其中一条渐近线上的一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A双曲线C的渐近线方程为yxB以F1F2为直径的圆的方程为x2y21C点P的横坐标为1DPF1F2的面积为eq r(2)解析：选ACD.等轴双曲线C：y2x21的渐近线方程为yx，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|2eq r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2y22上，不妨设点P(

5、x0，y0)在直线yx上，所以eq blc(avs4alco1(xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)2，,y0 x0，)解得|x0|1，则点P的横坐标为1，故C正确；由上述分析可得PF1F2的面积为eq f(1,2)2eq r(2)1eq r(2)，故D正确故选ACD.4已知方程eq f(x2,m2)eq f(y2,m5)1表示双曲线，则m的取值范围是_解析：因为该方程表示双曲线，所以(m2)(m5)0，即m2或m5，即m的取值范围为(，5)(2，)答案：(，5)(2，)5(易错题)P是双曲线eq f(x2,16)eq f(y2,81)1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，

6、且|PF1|9，则|PF2|_解析：由题意知a4，b9，ceq r(a2b2)eq r(97)，由于|PF1|90，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq r(5).P是C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a()A1 B2 C4 D8解析：选A.通解：设|PF1|m，|PF2|n，P为双曲线右支上一点，则SPF1F2eq f(1,2)mn4，mn2a，m2n24c2，又eeq f(c,a)eq r(5)，所以a1，选A.优解：由题意得，SPF1F2eq f(b2,tan 45)4，得b24，又eq f(c2,a2)5，c2b2a2，所以a1.2已知双曲线C：eq f(

7、x2,16)eq f(y2,b2)1(b0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交双曲线C的左、右支于点A，B，且|AF1|BF1|，则|AB|()A4 B8 C16 D32解析：选C.由双曲线的定义知|AF2|AF1|2a，|BF1|BF2|2a，由于|AF1|BF1|，所以两式相加可得|AF2|BF2|4a，而|AB|AF2|BF2|，所以|AB|4a，由双曲线方程知a4，所以|AB|16，故选C.双曲线的标准方程 (1)(2020合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为yeq f(r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的方程为()A.eq f(x2,4)eq f(y2,2)1

8、B.eq f(x2,4)eq f(y2,8)1或eq f(y2,4)eq f(x2,8)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,8)1D.eq f(x2,4)eq f(y2,2)1或eq f(y2,4)eq f(x2,8)1(2)(多选)(2020新高考卷)已知曲线C：mx2ny21.()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为eq r(n)C若mn0，则C是两条直线【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为yeq f(r(2),2)x，a2，所以当焦点在x轴上时，eq f(b,a)eq f(r(2),2)，所以beq r(2)，所以双曲线的方程为eq f(x2,4)

9、eq f(y2,2)1；当焦点在y轴上时，eq f(a,b)eq f(r(2),2)，所以b2eq r(2)，所以双曲线的方程为eq f(y2,4)eq f(x2,8)1.综上所述，该双曲线的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,2)1或eq f(y2,4)eq f(x2,8)1，故选D.(2)对于选项A，因为mn0，所以0eq f(1,m)eq f(1,n)，方程mx2ny21可变形为eq f(x2,f(1,m)eq f(y2,f(1,n)1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为mn0，所以方程mx2ny21可变形为x2y2eq f(1,n)，该方程表示半径为eq r

10、(f(1,n)的圆，错误；对于选项C，因为mn0，所以该方程表示双曲线，令mx2ny20y eq r(f(m,n)x，正确；对于选项D，因为m0，n0，所以方程mx2ny21变形为ny21yeq r(f(1,n)，该方程表示两条直线，正确综上选ACD.【答案】(1)D(2)ACDeq avs4al()求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：c2a2b2；双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法一般步骤1已知圆C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1和圆C2相外

11、切，则动圆圆心M的轨迹方程为()Ax2eq f(y2,8)1 B.eq f(x2,8)y21Cx2eq f(y2,8)1(x1) Dx2eq f(y2,8)1(x1)解析：选C.设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|1r，|MC2|3r，|MC2|MC1|26，所以点M的轨迹是以点C1(3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a2，a1，c3，则b2c2a28，所以点M的轨迹方程为x2eq f(y2,8)1(x1)2经过点P(3，2eq r(7)，Q(6eq r(2)，7)的双曲线的标准方程为()A.eq f(x2,25)eq f(y2,75)1 B.e

12、q f(y2,25)eq f(x2,75)1C.eq f(x2,2)eq f(y2,7)1 D.eq f(y2,2)eq f(x2,7)1解析：选B.设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，因为所求双曲线经过点P(3，2eq r(7)，Q(6eq r(2)，7)，所以eq blc(avs4alco1(9m28n1，,72m49n1，)解得eq blc(avs4alco1(mf(1,75)，,nf(1,25).)故所求双曲线标准方程为eq f(y2,25)eq f(x2,75)1.故选B项3若双曲线的渐近线方程为yeq f(1,2)x，且经过点(4，eq r(3)，则双曲线的标准方程为_解析：

13、方法一：因为双曲线的渐近线方程为yeq f(1,2)x，所以可设双曲线的方程为x24y2(0)因为双曲线过点(4，eq r(3)，所以164(eq r(3)24，所以双曲线的标准方程为eq f(x2,4)y21.方法二：因为渐近线yeq f(1,2)x过点(4，2)，而eq r(3)0，b0)由已知条件可得eq blc(avs4alco1(f(b,a)f(1,2)，,f(16,a2)f(3,b2)1，)解得eq blc(avs4alco1(a24，,b21，)所以双曲线的标准方程为eq f(x2,4)y21.答案：eq f(x2,4)y21双曲线的几何性质角度一双曲线的渐近线问题 (2020湖

14、南长沙明德中学月考)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cosF1MF2eq f(1,4)，|MF1|2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为()Ayeq r(3)x Byeq f(r(3),3)xCyx Dy2x【解析】由题意，得|MF1|MF2|2a，又|MF1|2|MF2|，所以|MF1|4a，|MF2|2a，所以cosF1MF2eq f(16a24a24c2,24a2a)eq f(1,4)，化简得c24a2，即a2b24a2，所以b23a2，又a0，b0，所以eq f(b,a)eq r(3)，所以此双曲线

15、的渐近线方程为yeq r(3)x，故选A.【答案】Aeq avs4al()求双曲线渐近线的方法求双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)或eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)0，得yeq f(b,a)x或令eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)0，得yeq f(a,b)x.反之，已知渐近线方程为yeq f(b,a)x，可设双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)(a0，b0，0)说明两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关

16、于x轴，y轴对称 角度二双曲线的离心率问题 (1)(多选)已知双曲线M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则下列说法正确的是()AM的离心率为eq f(2r(3),3)BM的标准方程为x2eq f(y2,3)1CM的渐近线方程为yeq f(r(3),3)xD直线xy20经过M的一个焦点(2)(2020高考全国卷)已知F为双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_【解析】(1)依题意，a2b24，因为两条渐近线的夹角为60

17、，ab0，所以渐近线的倾斜角为30与150，所以eq f(b,a)eq f(r(3),3)，所以eq blc(avs4alco1(ar(3)，,b1，)所以ACD正确，B错误故选ACD.(2)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1上的点，所以eq f(c2,a2)eq f(yeq oal(2,B),b2)1，所以yeq oal(2,B)eq f(b4,a2).因为AB的斜率为3，所以yBeq f(b2,a)，eq f(f(b2,a),ca)3，所以b23ac3a2，所以c2a23ac3a2，所以c23ac2a20，解得ca(舍去)或c2a，所以C的离

18、心率eeq f(c,a)2.【答案】(1)ACD(2)2eq avs4al()(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法求a，b，c的值，由eq f(c2,a2)eq f(a2b2,a2)1eq f(b2,a2)直接求e.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：keq f(b,a)eq f(r(c2a2),a) eq r(f(c2,a2)1)eq r(e21). 1由点(1，2)是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)上一点，则其离心率的取值范围是()A(1

19、，eq r(5) B.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(5),2)C(eq r(5)，) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，)解析：选C.由点(1，2)是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)上一点，得eq f(1,a2)eq f(4,b2)1，即eq f(b2,a2)b24，所以eeq f(c,a)eq r(1f(b2,a2)eq r(b25)eq r(5)，所以eeq r(5).2已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)eq f(1,2

20、)(a0，b0)的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()Ayeq f(r(3),3)x Byeq f(r(2),2)xCyx Dyeq f(2,3)x解析：选A.依题意椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)eq f(1,2)(a0，b0)即eq f(x2,f(a2,2)eq f(y2,f(b2,2)1(a0，b0)的焦点相同，可得a2b2eq f(1,2)a2eq f(1,2)b2，即a23b2，所以eq f(b,a)eq f(r(3),3)，可得eq f(f(b,r(2),f(a,r(2)eq f(r(3),3)，所以双

21、曲线的渐近线方程为yeq f(f(b,r(2),f(a,r(2)xeq f(r(3),3)x.3(多选)(2020山东滨洲期末)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的条件是()A双曲线的离心率为eq f(5,4)B双曲线过点eq blc(rc)(avs4alco1(5，f(9,4)C双曲线的渐近线方程为3x4y0D双曲线的实轴长为4解析：选ABC.由题意可得焦点在x轴上，且c5，A选项，若双曲线的离心率为eq f(5,4)，则a4，所以b2c

22、2a29，此时双曲线的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)1，故A正确；B选项，若双曲线过点eq blc(rc)(avs4alco1(5，f(9,4)，则eq blc(avs4alco1(f(25,a2)f(f(81,16),b2)1，,a2b225，)得eq blc(avs4alco1(a216，,b29，)此时双曲线的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x4y0，可设双曲线的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)m(m0)，所以c216m9m25，解得m1，所以此时双曲线的方程为eq f(x2,16)eq f(

23、y2,9)1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a2，所以b2c2a221，此时双曲线的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,21)1，故D错误故选ABC.高考新声音系列6高考新成员多项选择题多项选择题，又称多选题，是一种正确选项数目多于一个的选择题题型若考生选出了一个或几个正确选项，但没有选出全部的，给3分，选错一个就不得分在做多选题时，每一个选项都可能是满足题意的，所以需要逐一计算验证，出现拿不准的选项，可以采用保守策略，此项不选，以免造成错选得0分多项选择题，依据其考查内容有下列几类类型一概念辨析型概念辨析型多项选择题就是利用相关概念、定义、性质等逐项进行辨析，解读此类题目的

24、关键如下：(1)明概念，巧借选项所给信息，正确理解概念，明确辨析点；(2)辨问题，结合概念的内含和外延，对题中所述概念再进一步深层次辨析；(3)定选项，利用概念对选项作选择，也可借助反例法、特值法求解 (多选)(2020新高考卷)已知曲线C：mx2ny21.()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为eq r(n)C若mn0，则C是两条直线【解析】对于选项A，因为mn0，所以0eq f(1,m)eq f(1,n)，方程mx2ny21可变形为eq f(x2,f(1,m)eq f(y2,f(1,n)1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为mn0，所以

25、方程mx2ny21可变形为x2y2eq f(1,n)，该方程表示半径为eq r(f(1,n)的圆，错误；对于选项C，因为mn0，所以该方程表示双曲线，令mx2ny20y eq r(f(m,n)x，正确；对于选项D，因为m0，n0，所以方程mx2ny21变形为ny21yeq r(f(1,n)，该方程表示两条直线，正确综上选ACD.【答案】ACD类型二运算求解型运算求解型问题就是根据题中已知条件，通过运算求得结果，然后进行判断的问题，此类问题实质就是一个定量的分析问题其解题关键如下：(1)定问题，即根据选项明确所求解的问题，建立相应的求解目标；(2)析条件，即分析题中与所求目标相关的条件，确定计算

26、所需的基本量，如圆锥曲线方程中的参数、数列中的通项公式和项数、三角函数中的角等；(3)求数值，即通过目标建立相关问题的模型，然后利用相应的数学知识求解相关数值；(4)定选项，根据所求解的结果判断选项的正误，从而得到正确的结果 (多选)设椭圆C：eq f(x2,2)y21的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A|PF1|PF2|2eq r(2)B离心率eeq f(r(6),2)CPF1F2面积的最大值为eq r(2)D以线段F1F2为直径的圆与直线xyeq r(2)0相切【解析】对于A选项，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a2eq r(2)，所以A选项正确对于B

27、选项，由椭圆C可知aeq r(2)，b1，c1，所以eeq f(c,a)eq f(1,r(2)eq f(r(2),2)，所以B选项不正确对于C选项，|F1F2|2c2，当P为椭圆短轴端点时，PF1F2的面积取得最大值为eq f(1,2)2cbcb1，所以C选项错误对于D选项，线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c1，圆心到直线xyeq r(2)0的距离为eq f(r(2),r(2)1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线xyeq r(2)0相切，所以D选项正确综上所述，结论正确的为AD.【答案】AD类型三逻辑推理型逻辑推理型多项选择题就是根据已知条件，利

28、用相关的定理、性质等逐项进行推理论证的多项选择解决此类问题的关键如下：(1)判断类型，即判断选项涉及的数学问题类型，确定数学模块归属；(2)确定依据，即根据选项确定解决此类问题的模块理论依据，如不等式的性质、空间线面关系的判定定理、函数的性质等；(3)逻辑推理，即利用相关的定理、推理、性质等对选项进行逐项判断，然后选出正确选项 (多选)已知m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A若m，n且，则mnB若mn，m，n，则C若mn，n，m，则mD若mn，n，则m【解析】对于A，若m，n且，则mn或m，n异面或m，n相交，所以A错误对于B，若mn，m，则n.又n，所以，所

29、以B正确对于C，若mn，n，则m或m.又，m，所以m，所以C正确对于D，若mn，n，则m.又，所以m或m，所以D错误故选BC.【答案】BC类型四数据分析型数据分析就是根据统计图表，提取相关数据，并根据数据的特征以及变化进行分析判断，从而得到相关结论解题关键如下：(1)提取数据，即根据选项研究的问题，从统计图表中读取相应的数据；(2)分析数据，即分析提取数据的特征，如变化率、变化趋势、最值等，根据选项研究的问题进行简单分析；(3)确定选项，即根据数据分析的结果逐项判断选项的正误，从而得到正确结果 (多选)(2021武汉部分学校高三起点质检)2020年7月，有关部门发布在疫情防控常态化条件下推进电

30、影院恢复开放的通知，规定低风险地区电影院在各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业一批影院恢复开放后，统计其连续14天的相关数据得到如图所示的统计图其中，日期编号为1的那天是周一，票房指电影院门票销售金额，观影人次相当于门票销售数量由统计图可以看出，这连续14天内()A周末日均票房和观影人次高于非周末B电影院票房，第二周相对于第一周同期呈上升趋势C观影人次在第一周的统计中逐日增长量大致相同D每天的平均单场门票价格都高于20元【解析】由题意，根据统计图可得当编号为6，7，13，14时，电影院门票销售金额分别为3 022万元，3 238万元，3 736万元，4 842万元，观影人次分别

31、为121.5万人次，132万人次，140.2万人次，177.8万人次，票房和观影人次高于非周末，所以A是正确的；根据统计图可得电影院票房第二周相对于第一周同期呈上升趋势，所以B是正确的；根据统计图可得第一周的观影人次逐日增长量(单位：万人次)分别为5.1，5.8，3.5，45，45.6，10.5，所以观影人次在第一周的统计中逐日增长量有明显差别，所以C不正确；由统计图可得第4天的平均单场门票价格为eq f(569,30.9)18.414(元)20元，所以D不正确故选AB.【答案】AB类型五综合型综合型多选题就是同一道选择题中，定量、定性问题都出现，此类问题既需要利用相关理论进行逻辑推理，又必须

32、根据条件进行定量分析，所以思考量比较大解决此类问题的基本思路是先分类，再逐项进行检验其解题步骤如下：(1)合理分类：即根据选项研究的问题类型进行合理分类，将其分为定性型问题(如空间中的线面关系、函数的性质的判断等)与定量型问题(如求角、距离、面积、体积等)两大类(2)逐类判断：即对归类后的问题进行逐类分析，对于定性型问题，可利用相关的定理、性质等进行逻辑推理，进而判断正误；对于定量型问题，如几何体的体积、平面图形的面积、圆锥曲线的离心率等的求解，可根据已知条件代入求值，进而判断正误(3)确定选项：即根据判断结果得到正确选项 (多选)(2020山东烟台高二期末)已知F1，F2分别是双曲线eq f

33、(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点若|PF1|2|PF2|，且PF1F2的最小内角为30，则()A双曲线的离心率为eq r(3)B双曲线的渐近线方程为yeq r(2)xCPAF245D直线x2y20与双曲线有两个公共点【解析】A因为|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，所以|PF1|4a，|PF2|2a.又因为2c2a，4a2a，所以PF1F230，所以cos PF1F2eq f(16a24c24a2,24a2c)eq f(r(3),2)，所以ceq r(3)a，所以eeq r(3)，故结论正确；Be2eq f(c2,a

34、2)eq f(a2b2,a2)3，所以eq f(b2,a2)2，所以eq f(b,a)eq r(2)，所以渐近线方程为yeq r(2)x，故结论正确；C因为2c2eq r(3)a，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF2F190，又因为|AF2|ca(eq r(3)1)a，|PF2|2a，所以|AF2|PF2|，所以PAF245，所以结论不成立；D因为eq blc(avs4alco1(x2y20，,f(x2,a2)f(y2,2a2)1，)所以2(22y)2y22a2，所以7y216y82a20，所以16247(82a2)3256a20，所以直线x2y20与双曲线有两个公共点，所以

35、结论正确故选ABD.【答案】ABDA级基础练1(2020武汉部分学校质量检测)已知双曲线E：eq f(x2,16)eq f(y2,m2)1的离心率为eq f(5,4)，则双曲线E的焦距为()A4 B5 C8 D10解析：选D.因为a4，离心率eeq f(c,a)eq f(5,4)，所以c5，所以双曲线的焦距2c10，选D.2(2020广东广州增城区调研)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6eq r(2)，则该双曲线的实轴长为()A3 B6 C9 D12解析：选B.因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以eq blc(rc)(avs4a

36、lco1(f(b,a)eq sup12(2)1.又因为焦距为6eq r(2)，故2c6eq r(2)，结合a2b2c2，解得a3，b3，c3eq r(2)，故实轴长2a6.故选B.3(2020高考天津卷)设双曲线C的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.eq f(x2,4)eq f(y2,4)1 Bx2eq f(y2,4)1C.eq f(x2,4)y21 Dx2y21解析：选D.由题知y24x的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b)的直线

37、方程为xeq f(y,b)1，而eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的渐近线方程为eq f(x,a)eq f(y,b)0和eq f(x,a)eq f(y,b)0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a1，b1，故选D.4(多选)已知双曲线C上的点到点(2，0)和(2，0)的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是()A双曲线C的标准方程为x2eq f(y2,3)1B双曲线C的渐近线方程为y2xC双曲线C的焦点到渐近线的距离为eq r(3)D圆x2y24与双曲线C恰有2个公共点解析：选AC.根据双曲线的定义得c2，2a2，所以a1，beq r(c2a2)eq r(41)eq r(

38、3)，所以双曲线C的标准方程为x2eq f(y2,3)1，A正确由双曲线C的方程为x2eq f(y2,3)1，得双曲线C的渐近线方程为yeq r(3)x，B错误双曲线C的一个焦点坐标为(2，0)，则其到渐近线的距离deq f(|2r(3)|,r(13)eq r(3)，C正确圆x2y24的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端点坐标为(1，0)，所以圆与双曲线的公共点有4个，D错误故选AC.5已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2y2a2的切线，交双曲线右支于点M.若F1MF245，则双曲线的渐近线方程为()Ayeq

39、r(2)x Byeq r(3)xCyx Dy2x解析：选A.如图，作OAF1M于点A，F2BF1M于点B.因为F1M与圆x2y2a2相切，F1MF245，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2eq r(2)a，|F1B|2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|F2M|2a2b2eq r(2)a2a，整理得beq r(2)a.所以eq f(b,a)eq r(2).所以双曲线的渐近线方程为yeq r(2)x.故选A.6(2020高考全国卷)设双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1 (a0，b0)的一条渐近线为yeq r(2)x，则C的离心率为_解析：由双曲线的一条渐近线

40、为yeq r(2)x可知，eq f(b,a)eq r(2)，即beq r(2)a.在双曲线中，c2a2b2，所以c23a2，所以eeq f(c,a)eq r(3).答案：eq r(3)7已知点P为双曲线eq f(x2,16)eq f(y2,9)1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为PF1F2的内心，若SPMF1SPMF28，则MF1F2的面积为_解析：由题意知a4，b3，则c5，设PF1F2内切圆的半径为R，因为SPMF1SPMF28，所以eq f(1,2)(|PF1|PF2|)R8，即aR8，所以R2，所以SMF1F2eq f(1,2)2cR10.答案：108如图，F1和F

41、2分别是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_解析：设F1F22c，连接AF1，因为F2AB是等边三角形，且F1F2是O的直径，所以AF2F130，F1AF290，所以|AF1|c，|AF2|eq r(3)c，2aeq r(3)cc，eeq f(c,a)eq f(2,r(3)1)eq r(3)1.答案：eq r(3)19已知椭圆D：eq f(x2,50)eq f(y2,25)1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线

42、恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解：椭圆D的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)，因而双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，所以渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为3.所以eq f(|5a|,r(b2a2)3，得a3，b4，所以双曲线G的方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1.10已知双曲线：x2eq f(y2,b2)1(b0)(1)若的一条渐近线方程为y2x，求的方程；(2)设F1，F2是的两个焦点，P为上一点，且PF1PF2，PF1F2的面积为9，求b的值

43、解：(1)因为双曲线：x2eq f(y2,b2)1(b0)的一条渐近线方程为y2x，所以eq f(b,a)2，所以b2.因此的方程为x2eq f(y2,4)1.(2)由双曲线定义可得|PF1|PF2|2a2.又PF1PF2，PF1F2的面积为9，所以|PF1|PF2|18，且|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以4c2|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|40，故c210，所以b21019，因此b3.B级综合练11(多选)已知抛物线y24x的准线过双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦点F，且与双曲线交于A，B两点

44、，O为坐标原点，且AOB的面积为eq f(3,2)，则()AC的方程为eq f(x2,f(1,4)eq f(y2,f(3,4)1BC的两条渐近线的夹角为60C点F到C的渐近线的距离为eq r(3)DC的离心率为2解析：选ABD.由题意易知，抛物线y24x的准线方程为x1，所以双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦点F的坐标为(1，0)，c1，从而b21a2.把x1，b21a2代入eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，整理得yeq f(1a2,a)，所以|AB|eq f(2（1a2）,a)，SAOBeq f(1,2)|AB|ceq f(1,2)eq

45、 f(2（1a2）,a)1eq f(3,2)，得aeq f(1,2)，所以双曲线C的方程为eq f(x2,f(1,4)eq f(y2,f(3,4)1，故A正确；C的渐近线方程为yeq r(3)x，所以两条渐近线的夹角为60，故B正确；F(1，0)到yeq r(3)x 的距离deq f(r(3),2)，故C错误；C的离心率eeq f(c,a)2，故D正确12已知M(x0，y0)是双曲线C：eq f(x2,2)y21上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点若eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()0，则y0的取值范围是_解析：由题意知aeq r(2)，b1，ceq r(3)，设

46、F1(eq r(3)，0)，F2(eq r(3)，0)，则eq o(MF1,sup6()(eq r(3)x0，y0)，eq o(MF2,sup6()(eq r(3)x0，y0)因为eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()0，所以(eq r(3)x0)(eq r(3)x0)yeq oal(2,0)0，即xeq oal(2,0)3yeq oal(2,0)0.因为点M(x0，y0)在双曲线C上，所以eq f(xeq oal(2,0),2)yeq oal(2,0)1，即xeq oal(2,0)22yeq oal(2,0)，所以22yeq oal(2,0)3yeq oal(2,0)0

47、，所以eq f(r(3),3)y00，b0)的离心率为eq r(3)，点(eq r(3)，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解：(1)因为双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq r(3)，点(eq r(3)，0)是双曲线的一个顶点，所以eq blc(avs4alco1(f(c,a)r(3)，,ar(3)，)解得c3，beq r(6)，所以双曲线的方程为eq f(x2,3)eq f(y2,6)1.(2)双曲线eq f(x2,3)eq f(y2,6)1的右焦点为F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为yeq f(r(3),3)(x3)联立eq blc(avs4alco1(f(x2,3)f(y2,6)1，,yf(r(