理论力学周衍柏习题答案-

第五章习题解答5.1解如题5.1.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角山所唯一确定。杆的自由度为1,由平衡条件:即变换方程TOC\o"1-5"\h\zI. I.—sina1 o'--sinay匚=2rcos^sin比-2 =rsin22 ②故(11_ 2rcos2^-—/cos 3a2J③代回①式即( 1 \2rcosi7-—Zcosa6a-0I 2 J因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：—COSCL

rcos2B-2 =0又由于cos值=2rcos2a= 2户代回④式得c5.2解如题5.2.1图三球受理想约束，球的位置可以由比确定，自由度数为1,故。X]=-2rsin，■=一口+『)而色町-2rsm，二口十r)sinax3=0为=1+7)CQS值%二口+r)cos电y&=Q4-r)cosd-2rcos产=一口+r)尔距-一口十广)sinaSa:班=-口+产)sin值百2^sm§字■氏史由虚功原理故耳齿1十鸟叁々十鸟加=0-(/+r)sin曳5曳一口+r)sin值5值-(1+r)sin@;5o1+2rsin ■白仃二。因」以在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须-3口+『)£tn以+2『sin6—=0' ' Sa故小比_2中sin产5尸3口+「)3m值②又由的二一%cos白用二又由的二一%cos白用二-口+r)cos函以得得:由②③可得tan§-3tanG解如题5.3.1图，即，31图

在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。去掉绳代之以力T,且视为主动力后采用虚功原理，叫一确定便可确定ABCD的位置。因此自由度数为1。选色为广义坐。由虚功原理：w酰-北氏+工/=0①xB=-1sin/工工=7sinR4=21g5a一厘cat比取变分得丞启-Tcosq(5o;出口-Zcosa-da讥=-21sin值吊工二 6值sina代入①式得:W-21W-21sina贝计smato+&化简得W-2Zsinfl4sintb=td=t因」以在约束条件下任意，欲使上式成立，须有:+277cos仃二。由此得T=限tan出解自由度日=1，质点位置为旧））产值y)=产值y)=储+/—户=o由已知得故约束方程联立②③可求得又由于七*尤十2/h-0用42秒=0②2, 2 2]③支二0y=±^R二千用5.5解如题5.5.1图题531题531图按题意仅重力作用，为保守系。因为已知/二门，故可认为自由度为1.选广义坐标日二寸，在球面坐标系中，质点的动能：北《港仔+&悔+/小鸟用国中成表指标&u©由于所以Ts=td=又由于日二0

L-T1匚-2cicos6T12叱/sin266J乎+Q1=sin3日）+2m2a2sin3的

取Ox为零势，体系势能为:V——2g□（%+掰2）CO£日故力学体系的拉氏函数为：L=T-V=阳］别声+Q3sm2旬+2m2=阳］别声+Q3sm2旬+2m2a2皿。日也"5.6解如题5.6.1图.题5b.i图⑴平面运动，一个自由度.⑵选广义坐标为弓二日，广义速度⑶因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程U-Ci牝①I丽二I丽二Z%%=QgS=L3-1广义力代入①得:dpT\_3T_^出1。@）羽②在极坐标系下:

+2a+2a1 ( 口 口=—m4ci2tEJ2cos2—十4M⑦0852一十/J将以上各式代入②式得ma&-2ma向sin6+网高Gsin&+^sin0=05.7解如题5.7.1图又由于所以7二15/=工附

2 2-2最b,二।牌X+——X3十的工1—m2取坐标原点为零势面拉氏函数3L…——=0代入保守系拉格朗日方程成I3L…——=0代入保守系拉格朗日方程成I数1班得代入保守系拉格朗日方程ddL—=0ddL—=0宓（一汨（一汨1H ；Aa.&X 2 工色+ —7- x+ms,—=04? 2a5.8解：如图5.8.1图.题3,题3,乩1国(1)由于细管以匀角速⑦转动，因此5=6可以认为质点的自由度为1.⑵取广义坐标x=J⑶根据极坐标系中的动能T二;制（非+尸铲）=（/+工口0°取初始水平面为零势能面，势能：V-mgxsm（改）拉氏函数(4)代入拉氏方程■当一■dt员赤得：mx一蹬凉x=-mgsin（戡）⑸先求齐次方程的解.E—G♦=。②X=国+%白一战特解为故①式的通解为了二匚声提舟一了二匚声提舟一在£=。时:2G⑤联立④⑤得口妥+沙卷将门巴代回式③可得方程的解为:5.9解如题5.9.1图.按题意为保守力系质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2.（1），（2）选广义坐标办二，将门巴代回式③可得方程的解为:5.9解如题5.9.1图.按题意为保守力系质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2.（1），（2）选广义坐标办二，在柱坐标系中:r=尸cotQ以°蒙面为零势能面，则:V-mgrcotor拉氏函数所以目为循环坐标，即（4）因为£不显含9更=-常 常数②对另一广义坐标代入保守系拉氏方程有网产4辟婢cot2or-朋产媛+mgcotOf=0游-府柒2%+嘤汕值C0£生二。④所以此质点的运动微分方程为㈤他加水。5出=口（工为常数）所以T二;喇12：+Hi一友1tan日］+；飞君5.10解如题5.10.1图.（1）体系自由度数为2.（2）选广义坐标处二句国口二町・（3）质点的速度4n君劈的速度T=TT=Ti+%=;网体系势能：信+/：）+!以久面为零势面，其中q为劈势能.拉氏函数L=T-V=口㈣+（左1_/Jtan2日卜工啊考-m1g（X]-x2）tan8-C22 」2 ①（4）az

dx、

dL=一叫gaz

dx、

dL=一叫gtan8响/]_+叫（X_花ytan2&代入拉格郎日方程得：的&(1+t血口药-刑遥㈤的&(1+t血口药-刑遥㈤*+啊gtanH=0②3L两=-m1(—x2)tan2日+%£口代入拉格郎日方程得—啊芯t一日+啊易Ui?日+々，厂啊gt旭日。。③联立②，③得5.11解如题5.11.1联立②，③得5.11解如题5.11.1图（1）本系统内虽有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动，自由度品二1（2）选取广义坐标0=1（3）根据刚体力学T=-Mv^+-1^+工酬得二之册为2+25户疔2172c 2 4其中绕质心转动惯量Ic=g■朋户，丁c=r&,vs=2vc选仍为零势面，体系势能：V=C-2mgr&

其中C为常数.拉氏函数L=T-^=-MPe2+2阴/铲+2mgr3-C(4)而一'而一2代入保守系拉氏方程d£\d&ji得:访汨+4加户百一2掰牛=0_Amg0四十日阿卜的二冲二」^3翻十如口 痴301=勿［= 3M+Zmmg-T—ma25.12解如题5.12.1图.y B一吓题5,12,1图（1）棒作平面运动，一个约束，故自由度£=2.（2）选广义坐标%二元4=&（3）力学体系的动能

根据运动合成+建即-TGsinn；=产+/熊+2948£8设化为绕质心的回转半径，代入①得动能T--mi2+，掰M庐+maii^cos日+工次北］启口②（4）r£=（工+2W5in日，+23eg中由瓯=日,询*=£艮&*=0③（其中用二阳口豆二货则（5jy=F（（St+2岸cos电日）一mgasm459=严加+（2口尸cqs&-mgasm日）b日=0④因为命、百日在约束条件下任意且独立，要使上式成立，必须：Qi=巴色二如FwG一网即即白⑤（5）代入一般形式的拉氏方程得:弥+将凸£日-*H⑥——=-max日sm6as条=制（『启+值/cog句+幽/日代入一般形式的拉氏方程得：加一日+-+一间=2曲C。--刑中2日⑦⑥、⑦两式为运动微分方程（6）若摆动角很小，则，代入式得：皿ST81css71,代入⑥⑦式得:¥+R自一Q铲H——m砒■+（g。+1）由十改8二2e"防⑧又故代入⑧式得:（因为白角很小，故可略去一以尹日项）5.13解如题5.13.1图（1）由于曲柄长度固定，自由度6=1.⑵选广义坐标中二巴受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程:⑶系统动能（4）由定义式（5）代入①得:得(1)因体系作平面平行运动，一个约束方程:5.14.解如题5.14.1图.⑵体系自由度品二2,选广义坐标心二包巴二巴虽有摩擦，但不做功，为保守体系(3)体系动能:7二F轮平动动能+F轮质心转动动能+$轮质心动能+3轮绕质心转动动能.以地面为零势面，体系势能+3轮绕质心转动动能.以地面为零势面，体系势能V-mg{a+h)co£8-\-Mga则保守系的拉氏函数

(1)因为(1)因为£不显含w,得知中为循环坐标.故—+ 一雁金Qt+3)枭。£日+ma2q)=常= 2 2 二常数③开始时：0=B-0则彳盘酎@十得掰£8+；尚」产.函一制R｛产+b)S8£&=0又广。时，代入”》又广。时，&=(p=0所以5.15解如题5.15.1图卢题11二】图（1）本系统作平面平行运动，干限制在球壳内运动，自由度x2；选广义坐标％工元外二白，体系摩擦力不做功，为保守力系，故可用保守系拉氏方程证明dL（2）体系动能二球壳质心动能+球壳转动动能+杆质心动能+杆绕中心转动动能T=CM^+二乙*+1功/+1心回2 2 2 ②其中_ x3COSGSUL白场啊.=一,斗=3

tF代入②得—M+mx+—ma9i 、-i L ~i ■COSsillG十口加HcQSac0s日3以地面为零势面，则势能:叫即客£加：口源+,（其中G为常数）i/s AiZ=7-r=——M+mx1+-ma2131 、Q1.2

cosa+-sin+

3*南加3-(mgacos值gs6+CJ⑶因为了是循环坐标，故常熟③aL弟aL羽代入①式得又由于当8.0,则日：户故常数二-阻（5M十常熟③aL弟aL羽代入①式得又由于当8.0,则日：户故常数二-阻（5M十3间5.16解如题图5.16.1.-61图（1）由已知条件可得系统自由度s=L联立③、④可得（先由③式两边求导，再与④式联立）⑤试乘滂并积分得:dL5 }2--M+mx+•日日3/3=-max启cos①sin0+cos值win日部图4cos2S+—sin2df+rnxcosiTcos9-部geos架in8"■ l '-I8—9aml：os'a'cos&(2)取广义坐标g=1.(3)根据刚体力学，体系动能:又TOC\o"1-5"\h\zI111-i«I'l/卞 卞.1^ /11Jr 5将以上各式代入①式得：1=5烟［汽一『］皆+—mr —='港伊一厅疔设原点Q为零势能点，所以体系势能体系的拉氏函数体系的拉氏函数L-T-V-得加(尺一『丫 一日cos日(1)因为体系只有重力势能做工，因而为保守系，故可采用d(dLydLd(dLydL署=一他或&-v)£in8=-mg[R一『)日(因为微震动，百艮小，所以sin日日9)代入③式得即代入③式得即5掰(尺-『y@十网虱民一产)日二o呜自二。（5）解方程得5.17解如题5.17.1图（1）由题设知系统动能COS+/口4 +g/口&asin81十乙&sin埒「避+:也腐+S/Mc◎咽-％厂2 2 ①取K轴为势能零点，系统势能v=一场创］cos同一%或］cos司+白cosa）拉氏函数（2）体系只有重力做功，为保守系，故可采用保守系拉氏方程.

2=_河工区百包2=_河工区百包sin(Z +Mj0de11sin8]——=(21+区 +MJJ我 _82)代入拉氏方程dLdtl、dLdtl、d&/3L人 =0得：M+圾啥十%格司8幽-幻-时川鸟如（4-耳旭-E）心耳务sm（A-%）+Wi+峪）鲂sin日］=Q又Af］—M2=附工］=4=1,&=&-01

8£（日1-唠二1,汕）二日］（因为是微震动）代入上式得2以尸耳+刑］。自;+2以川日1—0羽+通+2购=0③同理31寸二MJ次+MJJ抠co4西-%)O&2dL -, 『 、TT—=电电^岛sin回一 Sin%照（4・冬）收_司）_（4・冬）收_司）_S1?2M，：工抬8£(4一区)一版一必iS1?2JtjStjJt 1.jitX '■X 上■•' JiXJiX■y心&&£欣-日②)+/口g/2sin=0弧-M2=腐3-12=，A-g—Onsiti~%J0£(2—%)=1代入上式得场+琅+典：口④日］二代入③④式得：4②乎十2£）+4洸=o4浅+4（£才+目）=。欲使4,4有非零解，则须有2（M3+g）沅=QU2 ］才1+宫-解得才=-40士•」2土返~2P-S11」「-2千五［］'兄二zb---g人'）_周期5.18解如题5.18.1图限5.1乱1写（1）系统自由度日二1（2）取广义坐标七=元电二九阴二.广义速度/二二.4二凡（3）因为是微震动，体系动能：COG日i巨C0£%白L血日］口%就区法％I『二，2间/；掰（£+?&『[(1+闻+⑷以◎耳为势能零点，体系势能/=-2mglcos白i-mglcos可拉氏函数ll二T-y二忌2+；4+(/+/&)+?同『+2相0C0£西+掰磔C0£弓(4)=2mx十烟（N十21）十疝/十f囱）十/自］f目匚、 .. ..——_4跳，十2波/司十/燃-0轨+2璃+码=。①同理匹吃丝阻"--2mglsin%匹吃丝阻"--2mglsin%-港，（土十『a）十工十旭）十『口3£耀3k+1自;）+如［（，+1自;）+屹

笈+2弭+成+2骋=。②同理5璃+泡+会”。③设x—♦/二囱二工=达才/，，昌=4才”，电=4方都代入①②③式得4d无十24上加十兄口=0 "24方+24。1+/+4/下=0>+%［乩。+g)=0欲使儿右耳有非零解，必须4才 2?才 比2才2(?才+官)?对二口

j Ij?+g解之4成/+g^2+4g)=0又乂w0故可得周期5.19解如题5.19.1图(1)体系自由度三二2(2)取广义坐标T-T-:掰+；5:1二;M(均一句)一寸广义速度(3)体系动能体系势能体系的拉氏函数(4)体系中只有弹力做功，体系为保守系，可用将以上各式代入①式得:网1艺］+上外-kx2+方修二。m2z2+后勺一七万一出口二0先求齐次方程设代入③式得必须要使有非零,即叫叫才■!■阳］兄++加口下上二口通解为:X]=j4+%+G向&[+£1)[x2=A4-C2sin(v£+r)其中又存在特解有②③式可得加遥+烟1玛=0勺二工+选+Csin（M4~£）x2=A--Csin（y£+s）式中式昌C及皆为积分常数上为倔强系数%= 解：以速度我广义速度4二卡，根据定义3atip-——=汹+p-——=汹+gA-v的 ①根据公式（5.5.10）五二NPg•九-E（/v'十］A），v-（7一4中?十?A，v）+q华又有①得H--m=丁6洛7中

2m解取在转动坐标系的速度为广义速度「二甲，则在固定坐标系中的速度：¥二干+口父「，自由质点的动能2 ，设质点势能为‘，则质点的拉氏函数

根据定义:在转动坐标系中:=-mv2一幽-(Qxr)-p+—p2-Q(rxp)+,2 2m 2海上式中「为质点的位矢，P=掰匕V为质点相对于固定坐标系的速度。解：取在广义坐标％二民初二.见二亚根据教材(3.9.21)和(3.9.19)式得动能:势能：落或gsJ1为原点距离根据定义式因为故所以"二a为第一积分.又得「产二冬为第二个第一积分.同理即得％二Q为第三个第一积分.5.23解如题5.23.1图,§5,23.1图由5.6题解得小球的动能根据定义得根据哈密顿函数的定义代入③式后可求得:由正则方程得:代入⑤得整理得24. 5.24如题5.24.1图,⑴小球的位置可由8确定，故自由度日二1⑵选广义坐标@二日，广义速度寸二J⑶小球动能又由u=卜+、猊^=—=°十△a代入①式得设小球势能为V,取固定圆球中心O为零势点,则小球拉氏函数根据定义

n=p,e-L⑷根据正则方程瓦=普=霆W值十口也Q

技FC⑤对式两边求时间导得:5mg{c十占)sin日_5gsln6口痴pt6丫 lm[c4-Z?)2 %+3)故小球球心切向加速度5.25解根据第二章§2.3的公式有:根据泊松括号的定义:所以同理可知:由②得:同理可得：[，4__JF[4，JIT.-Jp解由题5.25可知人的表达式因为同理可求得:

国了」=4，［乙产」二一%［4/外.=一「胃n声r.=。［/£n2#.=%n［4,汽］=Q即H广？1」二尸苫，口尸口」二Pr，〃3，/」二/］【几，尸』二一［勺，中］二一「品，［4,户"二一证取广义坐标二8？%:二H应五=%/=L2?3…./因为九=JP…外弼二即：+如R+加"（K+y；+4+乩/外+了?/?”+马7裔）+47?，+白：+户：）又因为=2cpi^bxiJ--=2邙2蛔厚％ 年％所以M二期小器层条才谅即'肛相小欣,=£［（2碉+切立）（一M）—小（2斗淑+妣）+（2研+他J西一（2诏+加X—外力=2-1解如题5.28.1图（1）小环的位置可以由角8唯一确定，因此体系的自由度吕=1,取广义坐标4二日，广义速度寸：白。小球的动能：T--ma1d1+sin38出2 2以◎为势能零点，则小环势能V=mgacos&所以拉氏函数L=T-V=:掰/铲 sin'6苏-mgacos&（2）由哈密顿原理3/Ldt=04-was2sin9cos+mgasin=0所以又由于所以『信♦4*sin&cos9+mgasin日—=0因为4日是任意的，所以有被积式为0,即冽/切口sin日二。£8+刈g』sin8-mc^8—0化简得ma目-maaPsinHc凸s日+mgsin85.29解参考5.23题，设厂=0,体系的拉氏函数根据哈密顿原理故因为讪二喘也静叫一曲*o*=-d-

dt1+msS2dt5.29解参考5.23题，设厂=0,体系的拉氏函数根据哈密顿原理故因为讪二喘也静叫一曲*o*=-d-

dt1+msS2dt2dt所以又因为5（sine+日）；=（g§班日+』日）|：=0[is因为』日是任意的，所以有百十处。工in日二05.30解如题5.30.1图，复摆位置可由角度日唯一确定，自由度吕=1,取广义坐标守=日，设为复摆重心守与悬点◎之间的距离。复摆的动能:取久为势能零点，则势能：V=-mgicos&复摆的拉氏量：L-T-V——]0铲+掰磔cos&2 ①由哈密顿原：「理由=0故又因为= =—1朋由-esedtdtv1『口初同：-j：。口目十昭0sin。既=0阚产现二0因为』日的任意性所以有:I^S-耀Hsin日二0根据已知日很小，sin9日日『滔+何日二。③可求得：其中W为初相位。周期5.31解如