2021-2022学年湖南省长沙市长沙县高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年湖南省长沙市长沙县高二(下)期末数学

试卷一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)1.对变量x,y有观测数据(如%)(i=1,2，…,10),得散点图(1)；对变量”，v,有观测数据(%，%)。=1,2，…,10),得散点图(2),由这两个散点图可以判断()30252015105O1234567« 6i234567u困(1) 图(2)A.变量A.变量x与y正相关，n与I;正相关B.变量x与y正相关，”与。负相关C.变量C.变量x与y负相关，a与V正相关D.变量x与y负相关，u与"负相关2.从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等2.于6,这样的三位数的个数为()A.7BA.7B.9C.10D.133.3.设随机变量X的分布列如表所示，且EX=1.6,则b-a等于()X0123P0.1ab0.1A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4.已知函数/(x) 在下列区间中，包含/(x)零点的区间是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4).已知直线a在平面口上，则“直线I1a”是“直线I1/?M的条件()A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要.设sin(：+0)= 贝I]sin28=()

.设向量W=（H,1）,b=（x,-3）.且Z_L由则向量W-石与五的夹角为（）A.30° B,60° C.120° D.150°.已知a,b为正实数,函数y=2ae'+b的图象经过点（0,1），则;+：的最小值为（）A.3+2V2 B.3-2V2C.4 D.2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）.在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=2、b=3、c=4,下面说法错误的是（）sinA：sinB：sinC=2：3：4△ABC是锐角三角形△ABC的最大内角是最小内角的2倍△ABC内切圆半径为g.下列命题正确的是（）A.若向量五，石满足五=—3石，则乙另为平行向量B.已知平面内的一组基底可，诙，则向量百+石，百-石也能作为一组基底C.模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等D.若△ABC是等边三角形，则〈加BC>=y.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A.BMA.BM与平行C.CN与BE是异面直线12.已知x,yCR且4x-4y<y3—》3,x<y B.x-3<y~34尸与CN垂直D.CN与BM成60。角则()lg(y-x)>0D.(5y<3-r三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为..已知(1+2x)n的展开式的各项系数之和为81,则兀=..在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N(〃r2),若P(X>90)=0.5,且P(X>110)=0.2,则P(70<X<90)=..若tan(2x-§W1,则x的取值范围为：.四、解答题(本大题共6小题，共70.0分).在二项式(/-x)n的展开式中，若展开式前三项的二项式系数的和等于46,求展开式的三次项..在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名.(1)从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表的不同的选法有多少种？(2)从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC三个内角4,B,C的对边，且bc=2asinC.⑴求4;(2)若a=V7,b=2,求c；(3)若cosB=I，求sin(2B-4)的值..某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是全且每题正确完成与否互不影响.(I)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；(口)求乙正确完成面试题数7/的分布列及其期望..很多人都爱好抖音，为了调查手机用户每天使用抖音的时间，某通讯公司在一广场随机采访男性，女性用户各50名，将男性，女性平均每天使用抖音的时间(单位，①分成5组：(0,2),(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计男性平均每天使用抖音的时间；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(2)若每天玩抖音超过4%的用户称为“抖音控”，否则称为“非抖音控”，完成如下列联表，判断是否有95%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关.抖音控非抖音控总计男性女性总计附表:P(x2>k)50.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635n{ad-bc')2(参考公式:X2=,其中n=q+b+c+d.)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).已知函数/(x)=/ogjax-1)(。>0，且aWl).(1)当a=：时，求函数/(x)的定义域:(2)当a>1时，求关于x的不等式/(x)<f(1)的解集；(3)当a=2时,若不等式/'(x)-log2(l+2Z)>m对任意实数x€[1,3]恒成立，求实数m的取值范围.答案和解析.【答案】C【解析】【分析】通过观察散点图得出：y随X的增大而减小，U随口的增大而增大，即可得出其相关性.本题考查了散点图的应用问题，通过读图来解决问题，是基础题.【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随"的增大而增大，各点整体呈上升趋势，”与v正相关.故选：C..【答案】C【解析】解：从1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复），其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1,1,4三个数字组成的三位数：114,141,411共3个；②由1,2,3三个数字组成的三位数：123,132,213,231,312,321共6个；③由2,2,2三个数字可以组成1个三位数，即222.*共有3+6+1=10个，故选：C.分情况讨论其中各位数字之和等于6的三位数，计算其可能的情况数目即可求出结论.本题考查排列、组合的综合应用，涉及古典概型的计算，解题时需分类讨论，注意要按一定的顺序，做到不重不漏..【答案】C【解析】解：由题意得：{a+b+0.2=1E(X)=a+2b+3x0.1=1.60<a<l '0<b<l解得a=0.3,b=0.5,：・a—b=-0.2.故选：C.利用离散型随机变量分布列及其数学期望的性质，列方程组求出a",由此能求出b-a.本题考查离散型随机变量分布列及其数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题..【答案】D【解析】解：/(1)=6-log2l=6>0,f(2)=3-log22=2>0,/(3)=2-log23>0,/(4)=1-2<0,•••f(3)/(4)<0,.♦•函数/(x)在(3,4)内存在零点.故选。.计算各区间断点的函数值，利用零点的存在性定理判断.本题考查了函数零点的存在性定理，属于基础题..【答案】B【解析】解：直线a在平面0上，则“直线I_La"成立时，"直线110”不一定成立；“直线110”="直线11a”，・••直线a在平面£上，则“直线l_La”是“直线的必要非充分条件.故选：B.“直线a”成立时，“直线，10”不一定成立；“直线，10”="直线，la"，由此能求出结果.本题考查充分条件、必要条件的判断，考查空间中线与面的位置关系等基础知识，考查空间立体感和推理论证能力，属于中档题..【答案】A［解析】解：由sin(：+0)=sin：cos。+cos：sin。=*(sin0+cos0)=7两边平方得：1+2sin6cos3=^2sin0cos9=-则sin29=2sin6cos9=-g.故选：A.根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin20的值.此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的第6页，共14页三角函数值化简求值，是一道基础题..【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式以及向量垂直的条件，属于基础题.先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出.【解答】解：向量五=(6,1)，b=(x,—3)»且五_Lb，••V3x-3=0»解得x=V3»a-b=(V3,1)-(V3,-3)=(0,4)，|a-K|=4»|a|=2,(a-b)a=4»设向量五一石与日的夹角为0，TOC\o"1-5"\h\z介(a-b)H4 1ACOSt/=_-_= =-»|a-b||a| 4x2 2・・0°<0<180°,・・e=60°.故选：B..【答案】A【解析】解：,函数y=2ae"+b的图象经过点(0,1),・•・1=2q•e0+b,BP2a+b=l(a>0,b>0)..q+\=(W1=G+$•(2a+b)=(2+1+T+韵N3+2夜(当且仅当b=/a=&-1时取到“=”).故选：A.将点(0,1)的坐标代入y=2aex+b,得到a,b的关系式，再应用基本不等式即可.本题考查基本不等式，将点(。,1)的坐标代入y=2ae》+b,得到a,b的关系式是关键，属于基础题..【答案】BCD【解析】解：因为q=2,b=3,c=4,asinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4,故4正确；可得c为最大边，。为最大角，由余弦定理可得cosC= ="竺=-1<0,TOC\o"1-5"\h\z2ab2x2x3 4可得C为钝角，即△ABC的形状是钝角三角形.故8错误；对于C,由cosA=史巴贮=上至型=Z,2bc 24 8由cos24=2cos2A-1=2x(-)2-1=—*-i=cosC,故24HC,故C错误；8 32 4由cosC=~~tsinC=—**•Sa.apr=-cibsiTiC=—x2x3x——=———»4 4 3以2 2 4 4设AABC内切圆半径为r,・・・；(Q+b+c)-r=SMBc，・・・丁=正，故。错误；故选：BCD.利用正弦定理可判断4由已知可得C为最大角，由余弦定理可得cosC<0,可得C为钝角，即可判B.求得cos24HcosC,可判断C；利用：(a+b+c)•r=Saabc，可求r,可判断D.本题考查正余弦定理的应用，考查内切圆的半径的求法，属中档题..【答案】ABD【解析】解：对于4,若向量苍了满足方=-3反根据向量平行的充要条件，满足倍数关系，则五万一定平行，故A正确；对于8,因为耳，行为平面内的一组基底，所以可，石为非零向量，且不共线，所以向量瓦+石，瓦•-行为一组非零且不共线向量，可以作为一组基底，故B正确；对于C,向量有大小与方向，单位向量大小相等，方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故C错误；对于。，如图所示：B'

AB=BB7.所以=<而，耳？>=g,故。正确.故选：ABD.对于力，根据向量平行的充要条件判断即可；对于B,根据基底向量的定义判断即可;对于C,根据相等向量的定义判断即可：对于。，数形结合，求角即可.本题考查基底向量，相等向量及向量夹角，属于基础题..【答案】BD【解析】解：把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，与ED异面且垂直，故4错误；易得EB//CN,又EB14F,所以4F1CN,故8正确.CN与BE平行，故C错误：连接BE,贝IJBE〃CN,"BM为CN与BM所成角，连接EM,可知ABEM为正三角形，则NEBM=60°,故O正确.故选：BD.把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案.本题考查异面直线，直线与平面的位置关系，几何体的折叠与展开，属基础题..【答案】AD【解析】解：根据题意，4x-4y<y3-x3=>4(x-y)+(x3-y3)<0=>(x-y)(4+x2+xy+y2)<0,又由4+/+4,+y2=J+今2+平+4>0,必有x-y<o,即x<y,则4正确；对于B,当*=0、y=-l时，/没有意义，8错误；对于C,当y=2,x=l时，y-x=1时，lg(y-幻=0,C错误；对于C,由指数函数的性质，当x<y时，有。正确;故选：AD.根据题意，利用作差法分析可得x<y,可得4正确，利用特殊值法举出反例，可得8c错误，由指数函数的性质可得。正确，即可得答案.本题考查不等式的性质以及应用，涉及指数、对数的运算性质，属于基础题..【答案】16人【解析】【分析】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中.根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数.【解答】解：•••高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，二本校共有学生150+150+400+300=1000(人)，••用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，••每个个体被抽到的概率是焉=2，••丙专业有400人，要抽取400X£=16人故答案为：16人.【答案】4【解析】解：令x=1得各项系数和为(1+2尸=3n=81,得n=4,故答案为：4.x=l得各项系数和，建立方程进行求解即可.本题主要考查二项式定理的应用，利用变量等于1可得各项式系数和是解决本题的关键，是基础题..【答案】0.3【解析】解：由P(X290)=0.5,知”=90,因为P。>110)=0.2,所以P(90<X<110)=0.5-0.2=0.3,由对称性知，P(70<X<90)=P(90<X<110)=0.3.故答案为：0.3.易知〃=90,再根据曲线的对称性，由P(70<X<90)=P(90<X<110),即可得解.本题考查正态分布曲线的性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题..【答案】怎一看,？+曲,kez【解析】解：由tan(2x-，)41,可得时一]<2x-牌kw+彳，kEZ,求得把-巴<xW竺+四，...x的取值范围为(包一二也+二],kez,2 6 2 24 2 62 24故答案为：(y-;,y+g],keZ.由tan(2x—勺41,可得"一三<2x—W"+三kez,由此求得x的范围.本题主要考查正切函数的图象特征，解三角不等式，属于基础题..【答案】解：••・展开式前三项的二项式系数的和等于46,=46,an2+n—90=0,n=9或几=一10(舍去)，••(^-X)n=七一”)9的展开式的通项公式为：Tk+1=C^9-k(-X)k=C怨)9-k(_l)O2k-9,令2k-9=3,则k=6,二展开式的三次项为璘G)3(_1)6x3=弓》3.【解析】先求出n=9,再求出二项展开式的通项公式，再令2k—9=3,求出k即可.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题..【答案】解：(1)根据题意，从7人中选2名志愿者代表，有G种选法，从中选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法有废=6种，所以从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者的不同选法共有片-量=21-6=15(种)答：必须有女志愿者的不同选法有15种.(2)根据题意，分3种情况讨论：第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，有以外=240种.第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，有底外=240种；第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，有盘用=240种；由分类计数原理得N=240+240+240=720种；共有720种不同选法.【解析】(1)根据题意，利用间接法分析：先计算“从7人中选2名志愿者代表”的选法，排除其中“没有女志愿者”的选法，即可得答案；(2)根据题意，分3种情况讨论：第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，由加法原理计算可得答案.本题考查排列组合的实际应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题..【答案】解：(1)因为Kc=2asinC，则由正弦定理可得：y/3sinC=2sinAsinC>sinCH0,所以sin4=—，又因为4e(。5)，2 4所以(2)由余弦定理可得：a2=h2+c2—2bccosAf则7=44-c2—2c,ac2—2c—3=0,・•・解得(c-3)(c+1)=0,解得c=3或c=一1(舍去)；(3)因为cosB=I，所以cos2B=2x(1)2-1=-i又2B6(0,7T),所以sin2B=小-(十=¥，所以sin(2B-A)=sin2Bcos--cos2Bsin-=-xi-(--)x—='国百.' ' 3 392、9， 2 18【解析】(1)利用正弦定理即可求解；(2)利用余弦定理即可求解：(3)利用已知求出cos2B,进而可以求出sin2B,进而可以求解.本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属中档题..【答案】解：(I)甲恰好完成两道题的概率p=21=31一戏_5(II)设乙正确完成面试的题数为小则〃取值分别为0,1,2,3,PS=。)=*PS=1)=Cjx©)2x(=*P(L2)=废x(孑xi=g,P(j;=3)=守=/考生乙正确完成题数7/的分布列为：0123p1276271227827F(f?)=0x±+lxA+2xg+3x^=2.【解析】(I)利用超几何分布概念计算即可；(口)找出随机变量??取值分别为0，1,2,3,利用二项分布公式计算分布列即可.本题主要考查利用随机事件的概率及二项分布的分布列，属于中档题.21.【答案】解：(1)由男性的频率分布直方图，可得2(0.04+a+0.14+2x0.12)=1,解得a=0.08；可知男性用户平均每天使用抖音的时间为0.08x