2022年山东省菏泽市郓城第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年山东省菏泽市郓城第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的函数满足：成立，且上单调递增，设，则a、b、c的大小关系是（

）

A．B．C．D．参考答案：A2.若θ∈[，]，sin2θ=，则sinθ=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二倍角的正弦．【分析】由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．【解答】解：由θ∈[，]，得2θ∈[，π]，又sin2θ=，∴cos2θ=﹣=﹣，∵cos2θ=1﹣2sin2θ，sinθ＞0，∴sinθ==，故选：D．3.“函数在区间（0，＋∞）上为增函数”是“a=3”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B4.已知函数的部分图象如图所示，若，，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：A由题设中提供的图像信息可知，则，所以，结合图像可知，则，所以。则由题意，即，又因为，所以，即，所以，故，应选答案A。5.函数的最小正周期是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.6.已知向量＝（1，2），＝（2，0），＝（1，－2），若向量λ＋与共线，则实数λ的值为A．－2

B．－

C．－1

D．－参考答案：C7.复数（其中是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略8.（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表．f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列关于函数f（x）的命题：①函数y=f（x）是周期函数；②函数f（x）在[0，2]是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个参考答案：D【考点】：函数的单调性与导数的关系；函数的最值及其几何意义；函数的周期性；函数的零点．【专题】：压轴题；数形结合．【分析】：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：①为假命题，[﹣1，0]与[4，5]上单调性相反，但原函数图象不一定对称．②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；③为假命题，当t=5时，也满足x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2；④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点．综上得：真命题只有②．故选

D．【点评】：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．9.设是虚数单位，则等于（

）A、0

B、

C、

D、参考答案：D略10.已知则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在面积为2的正中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是___________。参考答案：12.从集合{1,2,3}中随机取一个元素，记为，从集合{2,3,4}中随机取一个元素，记为，则的概率为

．参考答案：；13.函数，的零点个数是

．参考答案：【知识点】函数零点个数.B9【答案解析】2

解析：当x≤0时，由f（x）=0得x2-2=0，解得x=?或x=（舍去），当x＞0时，由f（x）=0得2x-6+lnx=0，即lnx=6-2x，

作出函数y=lnx和y=6-2x在同一坐标系图象，

由图象可知两个函数只有1个零点，故函数f（x）的零点个数为2,故答案为：2【思路点拨】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．14.给出定义：若，则叫做实数的“亲密函数”，记作，在此基础上给出下列函数的四个命题：①函数在上是增函数；②函数是周期函数，最小正周期为1；③函数的图像关于直线对称；④当时，函数有两个零点.其中正确命题的序号是

参考答案：②③④本题主要考查新定义函数，函数的单调性、周期性、对称性以及函数的零点问题.要求能根据定义画出函数的图像，从中体会数形结合思想的应用.依题可知当时，；当时，；当时，，作出函数的图像，可知①错，②，③对，再作出的图像可判断有两个交点，④对.

15.将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_________;

参考答案：略16.已知曲线y＝3x2＋2x在点(1，5)处的切线与直线2ax－y－6＝0平行，则a＝

．

参考答案：417.直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

．参考答案：50π是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先将函数写成分段函数的形式，再由分类讨论的方法，即可得出结果；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，再由柯西不等式得到，进而可得出结果.【详解】（Ⅰ）由题意，，所以等价于或或.解得：或，所以不等式的解集为；（Ⅱ）由(1)可知,当时,取得最小值,

所以，即，由柯西不等式得，整理得，当且仅当时,

即时等号成立.所以的最小值为.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型.19.小明家订了一份报纸，暑假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示.（1）根据图中的数据信息，求出众数和中位数（精确到整数分钟）；（2）小明的父亲上班离家的时间在上午7:00至7:30之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率.参考答案：（1）由频率分布直方图可知即，解得分即.（2）设报纸送达时间为则小明父亲上班前能取到报纸等价于，如图：所求概率为：.20.已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为

（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；

（2）求的值。参考答案：Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率，，所以，故椭圆方程为，

┄┄┄┄┄┄3分则直线，，

故或，

当点在轴上方时，，

所以，

当点在轴下方时，同理可求得，

综上，为所求．

┄┄┄┄┄┄6分

(Ⅱ)解：因为，所以，，

椭圆方程为,,直线，设，

由消得，，

所以┄┄┄┄┄┄8分

故

①

由，及，┄┄10分得，将①代入上式得，┄┄13分注意到，得，┄┄14分所以为所求．

┄┄┄┄┄┄15分

21.(本小题满分13分)已知函数y=f(x)的定义域为R，其导数f'(x)满足0<f'(x)<1，常数a为方程f(x)=x的实数根。(1)

求证：当x>a时，总有x>f(x)成立；(2)

对任意x1、x2若满足|x1－a|<1,|x2－a|<1,求证：|f(x1)－f(x2)|<2.参考答案：(1)证明：令g(x)=x－f(x)则g'(x)=1－f'(x)∵

0<f'(x)<1∴

g'(x)=1－f'(x)>0∴

函数g(x)=x－f(x)为R增函数∴

当x>a时g(x)=x－f(x)>a－f(a)=0∴

当x>a时，总有x>f(x)成立

---------6分(2)证明：∵|x1－a|<1,|x2－a|<1∴

a－1<x1<a+1;a－1<x2<a+1又0<f'(x)<1∴

f(x)在R是增函数∴

f(a－1)<f(x1)<f(a+1);f(a－1)<f(x2)<f(a+1)∴

f(a－1)－f(a+1)<f(x1)－f(x2)<f(a+1)－f(a－1)∴

|f(x1)－f(x2)|<f(a+1)－f(a－1)由(1)知：f(a+1)<a+1；－f(a－1)<－(a－1)∴

|f(x1)－f(x2)|<f(a+1)－f(a－1)<2∴

|f(x1)－f(x2)|<2.

-----------13分22.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点。（I）记平面BEF与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PAC的位置关系，并加以证明。（II）设（I）中的直线与圆O的另一个交点为D，记直线DF与平面ABC所成的角为，直线DF与直线BD所成的角为，二面角的大小为，求证：。参考答案：（I）∵E，F分别是PA，PC的中点，∴EF∥AC，而AC平面ABC，EF平面ABC，∴EF∥平面ABC。又EF平面BEF，平面BEF平面ABC=∴EF∥，因此∥平面PAC。……4分（II）如图，过B作AC的平行线BD，由（I）知，交线即为直线BD，且∥