2022-2023学年安徽省淮北市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年安徽省淮北市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设f(x)在点x0处取得极值，则()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定为零

2.若y=ksin2x的一个原函数是(2/3)cos2x，则k=

A.-4/3B.-2/3C.-2/3D.-4/3

3.A.A.

B.

C.

D.

4.（）。A.

B.

C.

D.

5.设f(x)为连续函数，则等于()A.A.

B.

C.

D.

6.

7.

8.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

9.曲线的水平渐近线的方程是（）

A.y=2B.y=-2C.y=1D.y=-1

10.函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是()。A.(-5，5)B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)

11.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

12.

13.f(x)在x=0有二阶连续导数，则f(x)在x=0处()。A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.以上都不对

14.

15.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

16.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

17.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.椭球面B.锥面C.柱面D.平面

18.

19.。A.2B.1C.-1/2D.020.下列命题中正确的有（）A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.22.23.函数的间断点为______．

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.31.cosx为f(x)的一个原函数，则f(x)=______．

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.求39.y'=x的通解为______．40.三、计算题(20题)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.求曲线在点(1，3)处的切线方程．43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．45.证明：46.

47.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．48.

49.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

50.

51.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．52.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．53.54.

55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

56.求微分方程的通解．57.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.已知f(x)在[a，b]上连续且f(a)=f(b)，在（a，b)内f''(x)存在，连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，试证在（a，b)内至少有一点ξ使得f''(ξ)=0.

63.

64.

65.求微分方程y"+4y=e2x的通解。

66.67.68.求方程(y-x2y)y'=x的通解.

69.

70.求fe-2xdx。五、高等数学(0题)71.

则f(x)=_________。

六、解答题(0题)72.将f(x)=1/3-x展开为(x+2)的幂级数，并指出其收敛区间。

参考答案

1.A若点x0为f(x)的极值点，可能为两种情形之一：(1)若f(x)在点x0处可导，由极值的必要条件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值，但f(x)=|x|在点x=0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选A。

2.D解析：

3.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

4.D由所给二次积分可知区域D可以表示为0≤y≤l，y≤x≤1。其图形如右图中阴影部分．又可以表示为0≤x≤1，0≤y≤x。因此选D。

5.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式．

可知应选D．

6.D解析：

7.A

8.B本题考查了函数的单调性的知识点，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的，故在[-1,1]上单调增加。

9.D

10.C本题考查的知识点为判定函数的单调性。

y=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)。

当x＞0时，y'＞0，y为单调增加函数，

当x＜0时，y'＜0，y为单调减少函数。

可知函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+∞)，故应选C。

11.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

12.C

13.B；又∵分母x→0∴x=0是驻点；；即f""(0)=一1<0，∴f(x)在x=0处取极大值

14.A

15.C

16.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

17.B对照二次曲面的标准方程可知，所给曲面为锥面，因此选B．

18.A解析：

19.A

20.B

21.

22.

本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

23.本题考查的知识点为判定函数的间断点．

仅当，即x=±1时，函数没有定义，因此x=±1为函数的间断点。

24.2/3

25.(e-1)2

26.

本题考查的知识点为隐函数的微分．

解法1将所给表达式两端关于x求导，可得

从而

解法2将所给表达式两端微分，

27.

28.

29.x+2y-z-2=0

30.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

31.-sinx本题考查的知识点为原函数的概念．

由于cosx为f(x)的原函数，可知

f(x)=(cosx)'=-sinx．

32.+∞(发散)+∞(发散)

33.

34.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

35.[01)∪(1+∞)

36.

37.

38.=0。

39.本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程．

由于y'=x，可知

40.1/2

本题考查的知识点为计算二重积分．

其积分区域如图1—1阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知

41.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

42.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

43.

列表：

说明

44.由二重积分物理意义知

45.

46.

则

47.函数的定义域为

注意

48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.由等价无穷小量的定义可知

50.

51.

52.

53.

54.

55.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

56.

57.

58.

59.

60.

61.62.由题意知f(a)=f(b)