高中数学新课标典型例题 离散型随机变量的期望与方差

22222222例

开次的学望方有把看上去样子相同的钥匙中有一把能把大门上的锁打开它们去试开门上的锁设取钥匙是相互独且等可能的每把钥匙试开后不能放回求开次数数学期望和方差．分：

)

时，由题知前

k

次没打开，恰第次开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如

，发现规律后，推广到一般．解可取值为，2，，„．1n11n1);nnn11n1))nnnn

;11nnP)))))nnnnnnn；所以分列为：

„

k

„

P

111„„nnn

11nnn

；D

nn1))2))2)2n22

1n

)

n)2

1n(2n(nn(nn62412说：杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．次个的望

例

某批数量较大的商品的次品率是％，从中任意地连续取出0件

为所含次品的个数，求

．分：量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是，能取值是：，1，„次取看成10次立重复试验，所以抽到次品数

服从二项分布，由公式E

np

可得解．解由题，

，所以

0.050.5

．说：机变量的率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题

(

)k10

(0.05)

0.05)10

，应觉察到这是

~

．根分列期和差例设

是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求

值，并求

．

－P

12

1

2分：据分布列的两个性质，先确定的值，当分布列确定时，须按定义代公式即可．解离型随机变量的分布满足（1（2

i,2,3,i1322所以有qq2

解得

q

12

故分列为

2323

－1P

12

2

32

1E22132.22D

2)]

12)2

2

2)]

212)22222小结：解题时不能忽视条件

)i

i

时，

pi

，

i

否则取了

q1的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．产中品分列期值例一产品共100件中有10件是次品为了检验其质量从以随机的方式选取5件求抽取的这5件品中次品数分布列与期望值说明5中有以（括）为次品的概率确到0001）分：据题意确定随机变量及其取值对于次品在以上的概率是种情况的和．解抽取的次品数是一个随机变量设为然以从0到的整数．抽样中，如果恰巧有

个（

k0,1,2,3,4,5

）次品，则其概率为P)

Ck90C按照这个公式计算，并要求精确到．001则有0.340,P(0.070,0.07,P(故分列为P

0.5830.0700.0070.501.由分布列可知，

0.007这就是说，所抽取的品中3件上次品的可能性很小，只有7％．评两护的理平例甲两野生动物保护区有相的自然环境野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：

10.30.20.2乙保护区：

10.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．分：一要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小然，亦可计算其标准差，同样说明道理解甲保护区的违规次数的数学期望和方差为：

0.21.3;D

1

2

1.3)

2

0.31.3)

2

(31.3)

2

1.21;乙保护区的违规次数

的数学期望和方差为：0.50.41.3;D

2

(01.3)

2

1.3)

2

(21.3)

2

0.40.41

；因为

EDD1

所以两个保护区内每季度发生违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．（标准差

D

这两个值在科学计算器上容易获得，显然，

）说：数期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道值大小还是不够

的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等就需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．射练中用弹的布、望方例某手进行射击练习每射击5发弹算一组一命中就停止射击并进入下一组的练习否则一直打完5发弹后才能进入下一组练习该手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为，求在这一组练习中耗用子弹数

的分布列，并求出期与差

D

（保留两位小数分：据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方的定义求解．解该练习耗用的子弹数

为随机变量，

可以取值为1，34，．

＝1表示一发即中，故概率为

0.8;

＝2表示第一发未中，第二发命中，故0.20.8＝3表示第一、二发未中，第三发命中，故220.8＝4表示第一、二、三发未中，第四发命中，故

3

0.80.2

3

0.8

＝5表示第五发命中，故0.8)

4

4

0.0016.因此，分布列为P

0.8

0.160.80.320.0081.25,

D

0.8(20.032(41.25)1.25)0.090.0980.31.说：决这类问题首先要确定随机变量的有可能取值后根据概率的知识求解对应的概率．准礼的数例某呼台共有客户人若寻呼台准备了100份礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为％．问：寻呼台能否向每位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分：能来多少人，是一个随机变．显是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．解：

设

来

领

奖

的

人

数

(k

，

所

以(

)k(0.04)3000