高中数学竞赛均值不等式讲义设计

232113nnii高中数学竞赛均值不等式讲义设计232113nnii均值不等式1.均不式知识点1:二元均值不等式可以推广到元，即：设aaa

为n非负实数，则a12n

n

n

a1

an

（等号成立当且仅当

a如何证明知识点,a

a

n

n个非负实数

an

,

an

,Ga

,

H

n1aa

1a

,则QH

(等号成立当且仅当a)更一般的平均值的定义:设正数

(i1,2,3...)i

,的幂平均=(i

i1)

,别的我们有:

f(

，

f)i

i)

为关于

的增函数.知识点3:重要结论

,,

2

abac

,,

bc).

a,c,3())a,,Rbc)2abc().a,,cR,(a)()()aabcba(a,b,c>0)b1abc2a()()(a,b,c>0)31(8)正实数a(i1,2,3...)则aiii

(当且仅当a1n

(

b

a)(ab

ca

)

b

a

)(b

)(c

)知识点4:加权平均值不等式已

知

w+wwi1,2.,,,n)1ni

，

则

对

任

意

正

实

数/

2高中数学竞赛均值不等式讲义设计2aa1122n

w

a

2

w

.....

n

w

均值不等式的使用前要注意两个方面,个是观察题目中不等式证明方向另外一个是取等条件据这些信息相应去选择均值不等式的技巧型断尝试终决问题二、习题训练．设实数,bc满a22，证：a2bc2

已知正数,b,明:

)

1000已知正数,b,证:()(b)(c已知x,...,,xxx...x,证明:1213

)i

i改编已知x,x,...,x且...证明:1n13n

()ani

(i已知x,,z

1,求:y22

xyz

已x,yz,

y求证:

y

x3312(xyyz)z3已知正数,b，满足

2

bca

2

ab

2

，求abc(

2

)(b

2

)(cab

2

)

最大值已正实数,证明:a

2

2

22

a

c(

cc

已知正,,满，明

)

类似题已正数,,cd满足，证明：

a

已知正数b满a求证:

c2c设于等于正整数n,实数x,满：1

ni

证明：i

1ii

x走IMO57)ij/

innnnni6n高中数学竞赛均值不等式讲义设计innnnni6n设xi

,i1,2,...,，求证：

nnn(nnin(1ixxx2xiii

13.设正整数n正实数a23

n

满足.....a，证明：23n(1)2

2(1)(1)4)n34

(2

n

预题已知0(i1,2,..,n,且证明iii

a)iiii()(1)ii

ni

i15.非实a,,..,求最大值121n12n1对于正整数n,知个xx,....,x的积为，证明：1nii

j

i

n2

n（2017年IMO7117.设n，....x,x,...,x，求xxx.....x的12nn3234大值17IMO114)已知

xi1,2,..,nn2i

，求最小的，使得

)i

x(2ijiji

j19.设负实数

x1

,..,x26

满足:

i

xxxi135246

1540

,若

xxxxxxxx34445

(p,)

,

p,q),

,计算

。20.设

a1

2

，满足

ai

，证明：inn

mi

,

2

a

a

.

min,21.已知

x,xxx0,且xxx，xx....x1212n34n/

的最大

nn129k高中数学竞赛均值不等式讲义设计nn129k值.22.设负实数

x1

23

n

满足

,i

求

xxx....xx1223n1n

的最大i值。23.定集合

Tj

，对于任意满

xxx1n

的非负实数x,,.......,x,12n

，求

xij

的最大值.(i,j)24.已

N，n2,

2

，求证：

xk

25.设

x1

x2n12

，求

xx(x)ijij

的最大值.ij26已知

nN

，

xx2n

，证明:

x22

n27.已

a1

2

2017

2018

，且

2018

ai

，求证：iaaa2017aa56

14

，并且指出等号成立的条件。28.已知非负实数

2.....

,证:

aa

a

122529.设负实数

x1

,....,满足证明：x22i1i

2

2

3n

2

1

29.设负实数

x1

,....,212

满足

i

，求

Sxiiii

最大值。i

i30.

设正实数

xx1

求证：

11(x..x)2xx)x(1x)x)xx...2nn31.求大的正实数，使得下述不等式对一切正整数及正实数

(in)i

均成立：n11+12221112

n

2

)32.求大的正实数，使得下述不等式对一切正整数及正实数

(in)i

均成立：k

1akk

1)s

)s33.设整数大等于，

ttt，1n

2

t)(1n

)tt1

，证明：对于满足

1

j

所有的i,j,k正实数

tttij

总能构成三角形的三边长/

nn4高中数学竞赛均值不等式讲义设计nn434.定义

,a,..,，用12

n

表几平均，利用

A,12n

表的算术A

1k

(kn)，G表示A,An12n

的几何平均，证明：

n

GgnGn

，并且确定等号成立的条件35.求满足以下条件的最小实数

m(n)

：对于任意的

x2)，i2

，不式i

nii

i

r

对于一切

rm(n成36.已知.123

非负实数，且对于i1,2,3.,,,,,100

，有xi

x

(i

01

1

100和xii

的最大i对整数(n2)，确定最大实数使得任意正实数,a有n212

2

2n2n)2()n

2设正整数求常数(n的大值，使得对于所有满足x)i

；1)(1(1j实数x,x,..,x均ij2

(iij

(2x)ijij设a,,c，5a4b490，53的大值求ysinsin2x的大值.已知y，x，f(,y求f(x)x的大值.

1xy

1的小值x2y设,bc,d，明：3

3

cd

3

(a)(b)设x,x,..,x求1n1n

i

(

1x

)

的最小值.确定最小的自然数k，得对于任意的/

及任意nN，有a(1

(

iixkinnnnnnn高中数学竞赛均值不等式讲义设计iixkinnnnnnnn46.设(in2),且(为正常数求cos2ii

i

的最大设,b,cd满足acd，为实数，求证：设xxx，1n

i

ikN,2，求证：1ii

k设..这个数都是正实数x1

证1

(1n)iiii

1

i

)

i已知aaa，证：aaaaa1221351.已a,a，证：a...131

1j

ij

已知实数数列，明：niii22iii

2

c2(ciiii

2

iii

ii已知n是定的正整数，,a，于任意的，有aaa...a!；1n12k求证：

3!(1)!a)(2)(1)(2)(3)....()12123n

已知