高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式讲义含解析新人教A版选修4-5

bccaababca＋＋≥＋＋b111ccbccaababca＋＋≥＋＋b111ccb三排不式1．顺序和、乱序和、反序和设≤≤≤≤≤≤b两组实数c，为bb，…的任一nn排列，称a＋＋＋为这个实数组的顺序积之(简称顺序和)，称a＋bnn＋…＋这两个实数组的反序积之和(简称反)．称ac＋＋＋ac为这个实数组的乱序积之(简称乱序和)2．排序不等式(排序原理)定理排序原理称排序不)设≤≤…≤a≤…≤为组实数，nc，，，c为，的任一排列，则有ab＋a＋…＋≤＋＋…＋nac≤b＋＋…＋，号(反序和等于顺序)a＝＝…＝或＝＝…＝nnnb排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[点睛]排不等式也可以理解为两实数序列同向单调时得两两乘积之和最大向单调一一)时，所得两两积之和最小．用排序不等式证明不等式(所证等式)中字母大小顺序已确定[例1]已a，为正数，且≥≥c，求证：a111＋＋≥＋＋.[思路点拨分析题目中已明确≥，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．11[证明]∵≥>0，于是≤，a11又>0，从而≥，bc11111同理≥，而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和，故可得acbccaabccab＝＋＋≥≥，≥≥cabca111111≥＋＋＝＋＋＝＋＋.1

证明：∵0<α<β<γ证明：∵0<α<β<γ，＝sin在为增函数，＝cosx∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察析要证明的式子的结构而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．π11．已知0<α<β<γ<，证：cosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα>(sin22＋sin2β＋2γ)．πππ222数，∴0<sinα<sin<sinγ，>cosβ>cos>0.∴sinαcosβ＋sinβcos＋sinγcosα>sinαcos＋sinβcos＋sinγcosγ1＝(sin2α＋2β＋sin2γ)．22．设≥，证：1＋＋＋…＋x≥(2＋1).证明：∵≥，≤x≤≤≤x.由排序原理得1＋＋x＋…＋n≥1·＋·＋x·＋x·1即1＋＋x＋…＋≥＋x.①又因为x，，…，1为1，，…x一个排列，由排序原理得1·＋·x＋…＋··1≥1·＋·＋x·＋x·1

为减函即＋

＋…＋

＋≥(n＋x.②将①②相加得1＋＋＋＋≥(2＋1).用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设[例2]设a，，c为数，求：abc＋＋≥＋＋bcab[思路点拨本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出，c个数的大小顺序，且，，在不等式中的地位”是对等的，故可以设a≥≥，2

bcababbcaacbcababbcaac利用排序不等式加以证明．111[证明]由称性，不妨设≥b≥，是a≥≥，≥≥，bcca故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得abcacac＋＋≥＋＋＝＋＋.111又因为a≥b≥，≤≤.a再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得abcac＋＋≤＋＋.②ac所以由①②得＋＋≥＋.bc在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系于没有给出大小关系的情况根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．bcca3．设，，都正数，求证：＋＋≥＋＋.ab证明：由题意不妨设≥＞0，111由不等式的单调性，知≥bc，≥≥.c111由排序不等式，知×＋×＋bccb111≥×＋×＋bc×＝＋＋，babcca即＋＋≥＋＋.abcaaa4．设，a，为数，求证：＋＋≥＋.aa证明：不妨设≥a≥，是111≤≤，≤≤，aa由排序不等式：顺序和≥乱序和得aaa1＋＋≥·＋·＋·aaaa＝＋＋.3

2即

aaaa＋＋≥a＋.aa1．有两组数：1,2,3与10,15,20它们的顺序和、反序和分别()A．100,85C．95,80

B．100,80D．95,85解析：选B由序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.2．若0<<a0<b<，aa＝＋1，则下列代数式中值最大的是()A．＋

B．＋1C．＋D.解析：选A因0<aa0<<，以由排序不等式可知ab＋最．a＋＋3．锐角三角形中，设P＝，＝acosC＋cosB＋cosA，则P，Q的大小关系2为)A．≥C．≤

B．＝D．不能确定解析：选C不设≥≥C，则≥b≥，cosA≤cosB≤cos，则由排序不等式有Q＝cosC＋cos＋cos≥acosB＋cosC＋cos＝(2sinAcos＋2sincos＋2sinCcos)＝[sin(＋＋sin(＋)sin(＋C)]＋b＋＝(sinC＋sinA＋B)P＝.24．儿子过生日要老爸买价格不的礼品1件2件及3，现在选择商店中单价为13元、元和10元的品，至少要()A．76元C．84元

B．20元D．96元解析A设1(＝件3(件＝元＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花＋＋＝×20＋×＋×＝76()．5．已知两组数1,2,3和4,5,6若c，，是4,5,6的一排列，则c＋c的最大值是_______，小值是_______解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，小值为28.答案：284

aaaaa6设正实数aa…的任排列为′…a则＋＋…＋′a′a′n的最小值为________．解析：不妨设0<≤a…≤，111则≥≥≥.a其反序和为＋＋…＋＝，an则由乱序和不小于反序和知aa＋≥＋＋…＋＝，aa′a′ann∴

aaa＋＋…＋的小值为n.a′′答案：7a是的个排序a＋＋＋a的值范围是________．解析：＋＋＋a的最值为12＋＋＝30，最小值为1×＋×＋×＋×＝，∴＋＋＋a的值范围是20,30]．答案：[20,30]＋b＋8．设，，是实数，用排序不等式证明ab≥abc).3证明：由所证不等式的对称性，不妨设a≥≥>0，则lga≥b≥，据排序不等式有：alga＋lgb＋lg≥blga＋lgb＋lg，alga＋lgb＋lg≥clga＋lgb＋lg，以上两式相加，再两边同加lga＋lgb＋lg，整理得3(lga＋lgbclgc)≥a＋＋)(lg＋lgb＋)，a＋＋即ac)·lg(abc)，3a＋＋故b≥abc).39．某学校举行投篮比赛，按规每个班级派三人参赛，第一人投m分，第二人投分钟，第三人投p分，某班级三名运动员，，每分钟能投进的次数分别为a，，，已知m＞＞，＞＞，如何派三人上场能取得佳成绩？解：∵＞＞p，＞c，且由排序不等式知顺序和为最大值，5

aca＋a＋cb＋＋aca＋a＋cb＋＋＋＋a＋a＋cb＋＋b＋cc＋∴最大值为＋＋，此时