高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量学案北师大版必修4课件

2.3

从度倍到乘量知梳1.向数乘（）义：一般地，实数λ与向量的是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.λa的长度与方向规定下|λλ||a|当λ＞时λa的向与a的向相同；当λ＜时，λ的方与a的向相反；当=0时，a=0.（）量数乘的运算律设λ、μ是实数，则有λ(μλμ)a；(λμ)a=μa；λ(a+b)=λa+λb.（）量数乘的几何意义：λ的何意义就是把向量a沿着a的向或a的方向扩大或缩小λ|倍.2.向的线性运算（向的加法减法和向量数的综合运算做向量的线性运.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量可用一些向量线性表.（向的线性运算也叫向量初等运.它们的运算法则在形式上很像实数加减法乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同.过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使.3.向共线的判定定理和性质定判定定理：如果a=λb，则∥；性质定理：如果a（≠0一定存在一个实数λ，使得a=λ4.平向量基本定理如果和e是面的两个不共线的向量么该平面内的任一向量a在唯一的一对实数a，，使a=ae＋ae我们把不共线向量e、叫表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e，e＋e叫向量关于底e，e｝分解式5.直的向量参数方程式已知AB是直l上意两点O一点，则对于直线l任一点P，存在实数ｔ，使OP

=(1-t)

OA

+t

OB

,这个等式又称为直线l的量数方程.知导1.一向量用其他向量的线性运来表示是解决这一类问题的关键化与化归的思想应用.2.灵、适当地选择一组平面向基底来表示其他未知向量是正确解决向量问题的前3.在决问题时，一定要自觉作草图来寻找解题思路，重视数形结合思想的运.疑突1.向共线定理有何应用？剖：习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫.其破方法是对平行向量基本定理的结论的理解不够彻.下分三方面来讨.（）定定理的结论是a，么平行向量基本定理可以证明两向量共.例如：设=a，OB=b，OC=

12

（a+b,求证：AB∥.证：题意得

=b-a，

=

OC

-

OB

=

1（）-b=（a-b21

∴=-

12

.∴

AB

∥

.由此可见，证明向量a，需找到足a=λb的实数的个值即可.（）定定理的结论是ab则有当A=aOB时，有O、、三共线，即用平行向量基本定理可以证明三点共.例如：设

OA

=a，

OB

=b，

OC

=

12

（a+b,求证：、、三点共线证明：由题意得

AB

=b-a.11OC-OB=（）（a-b,22∴

=

12

.∴

∥

.∴A、、三点共线.由此可见，三点共线问题通常转化为向量共线问.（）定定理的结论是a，a和b所在的直线分别是直线m和时则直线、n平行或重合即平行向量基本定理可以证明两直线平.例如：如图2-3-1，知△ABC中，D、分别边ABAC上点，并且AD=xAB，AE=xAC,0＜＜图2-3-1求证：∥BC且DE=xBC.证明：∵，AE=xAC，∴

AD

=x

AB

，

AE

=x

.∴=AE-=x(AC-AB)=x.∴∥.∴∥BC且DE=xBC.由此可见，证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共（4）性质定理的结论是λb，则有|a|=||·|b|，当

OA

=a，

OB

=b时，|OA|=|λ|·||，而λOB,用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长关系.例如：如图2-3-2，行四边形OACB，BD=

13

BC，OD与BA相于E.2

图2-3-21求证：BA.41证明：设′是线段BA上一，且BE′=BA.4设

OA

=a，

OB

=b，则

BD

=

1，OD=b+a.3∵'-b′A=a-，'=E′A,-b)=a-

OE'

.∴

OE

=

1(a+3b)=(b+a).44∴

OE

=

34

OD

.∴O、E′、D三共线，即E，E重.∴BE=

14

BA.由此可见，证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共.2.如正确认识平面向量基本定？剖：点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理么作用？突破口是从定理的条件和结论来分析.平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸面内任一向量a都可分解成两个不共线向量e，e（基底）唯一线性组合形式e＋e因此平面向量基本定理也是是向量正交分解的依据向坐标运算的基础解该定理能很好的掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问.例如回知边形ABCD是菱形对角线AC不括端点A等于（）

APA.λ(

AB

+

AD

),λ∈(0,1)λ(

AB

+BC),λ∈(0,

22

)C.λ(-AD),λ∈(0,1)λ(AB-BC),∈(0,