福建省中考数学专题突破篇专题五二次函数的综合第45课时二次函数位置关系的综合应用课堂讲本课件

专题五二次函数的综合第45课时

二次函数位置关系的综合应用专题突破篇福建考法1全国考法2福建考法1·类型一

对称问题·类型二

共线问题·类型三

过定点问题类型一

对称问题(2)若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点(P在Q的左侧)关于原点对称．①求a的取值范围；分别作PD⊥l于点D，QE⊥l于点E，若P，Q位于直线l异侧，如答图1，连接PQ，交直线l于点C，由已知得PD＝QE，又∵∠PDC＝∠QEC＝90°，∠PCD＝∠QCE，∴△PDC≌△QEC，∴CP＝CQ，∴C为PQ的中点．∵O为PQ的中点，但直线l不经过点O，∴不存在这种情况．类型二

共线问题例2【2021·莆田质检·14分】已知函数y1＝mx2＋(1－m)x和y2＝nx2＋(1－n)x(m>0，n<0)的图象在第一象限内的交点为A，且函数y1，y2的图象分别与x轴正半轴交于点B，C.(1)求点A的坐标；(2)若∠BAC＝90°，①求证：mn＝－1；②函数y1，y2图象的顶点分别为M，N，设△ABC的外心为点P，△OMN的内心为点Q.问是否存在m，n的值，使得O，P，Q三点共线？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．例3【2019·福建·14分】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b<0)与x轴只有一个公共点．(1)若抛物线与x轴的公共点的坐标为(2，0)，求a，c满足的关系式；解：由题意得抛物线与x轴的公共点坐标即为抛物线顶点坐标，故y＝ax2＋bx＋c＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，则c＝4a.(2)设A为抛物线上的一个定点，直线l：y＝kx＋1－k与抛物线交于点B，C，直线BD垂直于直线y＝－1，垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；解：由y＝kx＋1－k＝k(x－1)＋1，易知直线l过定点(1，1)，当k＝0时，直线l为y＝1，与y轴的交点为(0，1)，假设点B在点C左侧，则点B(0，1)．又∵△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点．∴A(1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，∵B(0，1)在抛物线上，∴a＝1，∴y＝(x－1)2＝x2－2x＋1.②证明：对于每个给定的实数k，都有A，D，C三点共线．例4【2021·泉州质检·13分】已知顶点为D的抛物线y＝a(x－3)2(a≠0)交y

轴于点C(0,3)，且与直线l交于不同的两点A

，B(A，B不与点D重合)．(1)求抛物线的解析式；类型三

过定点问题(2)若∠ADB

＝90°，①试说明：直线l必过定点；证明：设A(x1，y1)，B(x2,y2)，y1

y2≠0，由条件易得D(3，0)．如答图4，过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，∴∠APD＝∠DQB＝90°.∵∠ADB＝90°，∴∠ADP＋∠QDB＝90°.又∵∠ADP＋∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠QDB.∴△APD∽△DQB.∵y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝k2(9－3b)＋kb(3k＋6)＋b2＝9k2＋6kb＋b2＝(3k＋b)2，∴(3k＋b)2＝3(3k＋b)，即(3k＋b)(3k＋b－3)＝0,∴3k＋b＝0(舍去)或3k＋b－3＝0.当3k＋b－3＝0，即b＝3－3k时，y＝kx＋3－3k＝k(x－3)＋3，令x－3＝0，则x＝3，y＝3，∴直线l必过定点E(3，3)．②过点D作DF⊥l，垂足为点F

，求点C到点F的最短距离．·类型四

平行问题全国