2021-2022学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2.（单选题，4分）命题“∃x∈（0，+∞），lnx=x-1”的否定是（）A.∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1B.∀x∉（0，+∞），lnx=x-1C.∃x∈（0，+∞），lnx≠x-1D.∃x∉（0，+∞），lnx=x-13.（单选题，4分）下列函数中，是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的为（）A.y=B.y=ln|x|C.y=2-xD.y=1-|x|4.（单选题，4分）已知a=3-2，b=log0.52，c=log23，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞a＞b5.（单选题，4分）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为（）A.30B.60C.80D.286.（单选题，4分）函数的零点所在的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）7.（单选题，4分）向量“，不共线”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现v与成正比．当v=1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900．当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为（）A.1800B.2700C.7290D.81009.（单选题，4分）关于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[-1，3]B.（-∞，3]C.（-∞，1]D.（-∞，1]∪[3，+∞）10.（单选题，4分）已知函数f（x）=x，g（x）=ax2-x，其中a＞0，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立则a=（）A.B.C.D.11.（填空题，5分）=___．12.（填空题，5分）已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是___．13.（填空题，5分）已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是___，乙组数据的25%分位数是___．14.（填空题，5分）已知函数

①当a=1时，函数f（x）的值域是___；

②若函数f（x）的图象与直线y=1只有一个公共点，则实数a的取值范围是___．15.（填空题，5分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．

设t=|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|．

①当λ1=λ2=λ3=-1，λ4=λ5=λ6=1时，t=___；

②若λi∈{-1，1}，i=1，2，3，4，5，6，则t的最大值是___．16.（问答题，14分）已知向量=（3，4），=（1，2），=（-2，-2）．

（Ⅰ）求||，||的值；

（Ⅱ）若=m+n，求实数m，n的值；

（Ⅲ）若（+）||（-+k），求实数k的值．17.（问答题，13分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（Ⅰ）求出图中a的值；

（Ⅱ）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；

（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．18.（问答题，15分）已知函数（a＞0且a≠1）．

（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）当a=2时，求函数f（x）的值域；

（Ⅲ）若对任意x∈R，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．19.（问答题，14分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如表：空气质量指数0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率；

（Ⅱ）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；

（Ⅲ）记甲城市这6天空气质量指数的方差为s02．从甲城市12月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为a，若a=99，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为s12；若a=169，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为s22，试比较s02，s12，s22的大小．（结论不要求证明）20.（问答题，15分）已知函数f（x）=2x-2-x．

（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并用定义给出证明；

（Ⅱ）解不等式：；

（Ⅲ）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．21.（问答题，14分）设n是不小于3的正整数，集合Sn={（a1，a2，…，an）|ai∈{0，1}，i=1，2，…，n}，对于集合Sn中任意两个元素A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）．

定义1：A•B=n-（|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|）．

定义2：若A•B=0，则称A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）互为相反元素，记作，或．

（Ⅰ）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A•B的值；

（Ⅱ）若A，B∈Sn，证明：；

（Ⅲ）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合M⊆Sn，且对于集合M中任意两个不相同的元素A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn），都有A•B=n-k，试求集合M中元素个数的所有可能值．

2021-2022学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}【正确答案】：C【解析】：进行交集的运算即可．

【解答】：解：∵A={x|-1≤x≤2}，B={0，1，2，3}，

∴A∩B={0，1，2}．

故选：C．

【点评】：本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，4分）命题“∃x∈（0，+∞），lnx=x-1”的否定是（）A.∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1B.∀x∉（0，+∞），lnx=x-1C.∃x∈（0，+∞），lnx≠x-1D.∃x∉（0，+∞），lnx=x-1【正确答案】：A【解析】：利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．

【解答】：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1．

故选：A．

【点评】：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.（单选题，4分）下列函数中，是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的为（）A.y=B.y=ln|x|C.y=2-xD.y=1-|x|【正确答案】：B【解析】：根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可．

【解答】：解：y=为奇函数，不符合题意，

y=2-x为非奇非偶函数，不符合题意，

y=1-|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意，

y=ln|x|为偶函数，且x＞0时，y=lnx单调递增，符合题意．

故选：B．

【点评】：本题考查函数奇偶性的定义，以及基本初等函数的单调性，属于基础题．4.（单选题，4分）已知a=3-2，b=log0.52，c=log23，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞a＞b【正确答案】：D【解析】：容易得出0＜3-2＜1，log0.52＜0，log23＞1，从而可得出a，b，c的大小关系．

【解答】：解：∵0＜3-2＜1，log0.52＜log0.51=0，log23＞log22=1，

∴c＞a＞b．

故选：D．

【点评】：本题考查了对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.（单选题，4分）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为（）A.30B.60C.80D.28【正确答案】：C【解析】：根据分层抽样原理计算B等级应抽取的人数．

【解答】：解：根据分层抽样原理知，B等级应抽取200×40%=80（人）．

故选：C．

【点评】：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．6.（单选题，4分）函数的零点所在的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【正确答案】：B【解析】：求出函数的定义域，判断函数的单调性，根据零点判定定理进行判断．

【解答】：解：f（x）定义域为{x|x≠0}，

∵在（0，+∞）上是减函数，y=2x在（0，+∞）上是增函数，

∴在（0，+∞）上是减函数．

∵f（1）=4-2=2＞0，f（2）=2-4＜0，

函数在（0，+∞）连续，根据函数的零点判定定理可知，

∴f（x）的零点所在的区间是（1，2）．

故选：B．

【点评】：本题考查了函数的零点判定定理，属于基础题．7.（单选题，4分）向量“，不共线”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据向量三角形的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】：解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，

反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，

即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量三角形的性质是解决本题的关键，是基础题、8.（单选题，4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现v与成正比．当v=1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900．当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为（）A.1800B.2700C.7290D.8100【正确答案】：D【解析】：根据正比例函数关系设v=k，代入v=1，Q=900可求出k，进而可求出v=2时，Q的值

【解答】：解：根据题意设v=k，把v=1，Q=900代入可得k=，

所以v=，

当v=2时，代入得2=，解得Q=8100，

故选：D．

【点评】：本题考查函数模型的实际应用，运用待定系数法进行解析式的求解是关键，属于基础题．9.（单选题，4分）关于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[-1，3]B.（-∞，3]C.（-∞，1]D.（-∞，1]∪[3，+∞）【正确答案】：B【解析】：由题意，分x=0与x≠0两类讨论，后者可分离参数a，利用基本不等式求得a的范围，最后取交集可得答案．

【解答】：解：∀x∈R，x2+|x|≥a|x|-1恒成立，

①当x=0时，0≥-1成立，a∈R；

②当x≠0时，原不等式可化为a≤|x|++1，

∵|x|++1≥2+1=3，当且仅当|x|=，即x=±1时取等号，

∴a≤3，

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，3]，

故选：B．

【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，属于中档题．10.（单选题，4分）已知函数f（x）=x，g（x）=ax2-x，其中a＞0，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立则a=（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由题意可得ax1-1=成立，判断当0＜a≤1时不成立，考虑a＞1，由题意可得在[1，3]内，ax1-1的值域为的值域的子集，解a的不等式可得a的值．

【解答】：解：∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立，

即为=，即ax1-1=成立，

显然当0＜a≤1时，y==ax-1在[1，3]的值域为[a-1，3a-1]，而a-1∈（-1，0]，

即y=ax-1的函数值中出现0，不成立，0＜a≤1舍去；

则a＞1，可得ax1-1在[1，3]的值域为[a-1，3a-1]．

在[1，3]的值域为[，]，

由题意可得在[1，3]内，ax1-1的值域为的值域的子集，

可得≤a-1＜3a-1≤，

可得（a-1）（3a-1）=1，解方程可得a=，

故选：B．

【点评】：本题考查函数的值域求法，以及恒成立与有解问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）=___．【正确答案】：[1]【解析】：根据幂指数及对数运算性质计算即可．

【解答】：解：=+log3=-1=-．

故答案为：-．

【点评】：本题考查幂指数及对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是___．【正确答案】：[1]0.38【解析】：利用独立事件的概率乘法公式求解．

【解答】：解：设甲运动员命中为事件A，乙运动员命中为事件B，

则P（A）=0.7，P（B）=0.8

所以恰有一人命中的概率P=P（A）+P（）P（B）=0.7×（1-0.8）+（1-0.7）×0.8=0.38，

故答案为：0.38．

【点评】：本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．13.（填空题，5分）已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是___，乙组数据的25%分位数是___．【正确答案】：[1]45;[2]35【解析】：根据茎叶图中的数据，分别找出甲组数据的中位数和乙组数据的25%分位数．

【解答】：解：根据茎叶图知，甲组数据按从小到大排列为28，31，39，42，45，55，57，58，66；排在中间的一位是中位数，是45；

乙组数据从小到大排列为29，34，35，42，46，48，53，55，67；计算9×25%=2.25，所以25%分位数是第3个数，为35．

故答案为：45；35．

【点评】：本题考查了中位数与百分位数的定义与应用问题，是基础题．14.（填空题，5分）已知函数

①当a=1时，函数f（x）的值域是___；

②若函数f（x）的图象与直线y=1只有一个公共点，则实数a的取值范围是___．【正确答案】：[1]（-∞，1];[2]（-1，1]【解析】：①a=1，代入解析式可求出f（x）的值域；

②根据f（x）的图象与直线y=1只有一个公共点，则有2-a≥1且20-a＜2，进而可求出a的取值范围

【解答】：解：①当a=1时，f（x）=，

则此时当x＞1时，f（x）=2-x＜1，当x≤1时，f（x）≤1，所以f（x）的值域为（-∞，1]；

②根据解析式可知，当x＞1时，f（x）=2-x＜1；

当x≤1时，f（x）=2x-a≤2-a，

若函数f（x）的图象与直线y=1只有一个公共点，

则2-a≥1且20-a＜2，解得-1＜a≤1，

则实数a的取值范围是（-1，1]．

故答案为（-∞，1]；（-1，1]．

【点评】：本题考查分段函数值域问题，涉及函数单调性等知识点，属于中档题．15.（填空题，5分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．

设t=|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|．

①当λ1=λ2=λ3=-1，λ4=λ5=λ6=1时，t=___；

②若λi∈{-1，1}，i=1，2，3，4，5，6，则t的最大值是___．【正确答案】：[1]0;[2]【解析】：建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可．

【解答】：解：建立如图所示坐标系：

则A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），

故=（2，0），=（0，1）=（-2，0），=（0，-1），=（2，1），=（-2，1），

①当λ1=λ2=λ3=-1，λ4=λ5=λ6=1时，=-（2，0）-（0，1）-（-2，0）+（0，-1）+（2，1）+（-2，1）=（0，0），

所以t=0；

②由题意若使模长最大，则λ1-λ3=±2，λ2-λ4=±2，

不妨设为λ1-λ3=2，λ2-λ4=2，

则=（4+2λ5-2λ6，2+λ5+λ6），

当λ5+λ6=2，λ5-λ6=0时模长最大为，

故答案为：①．

【点评】：本题考查了平面向量的坐标运算，模长的最值问题，属于中档题．16.（问答题，14分）已知向量=（3，4），=（1，2），=（-2，-2）．

（Ⅰ）求||，||的值；

（Ⅱ）若=m+n，求实数m，n的值；

（Ⅲ）若（+）||（-+k），求实数k的值．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）根据坐标运算求出||，||的值即可；

（Ⅱ）分别求出，m和n的坐标，根据向量相等得到关于m，n的方程组，解出即可；

（Ⅲ）根据共线向量的定义得到关于k的方程，解出即可．

【解答】：解：（I）∵=（3，4），=（1，2），

∴|a|==5，，

（II）∵=m+n，

∴（3，4）=m（1，2）+n（-2，-2）=（m-2n，2m-2n），

∴，得，

故m=1，n=-1；

（III）-+k=（-1-2k，-2-2k），+=（4，6），

∵（-+k）||（+），

∴6（-1-2k）=4（-2-2k），

解得．

【点评】：本题考查了求向量的模，考查共线向量的定义以及向量的坐标运算，是基础题．17.（问答题，13分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（Ⅰ）求出图中a的值；

（Ⅱ）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；

（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．【正确答案】：

【解析】：（I）由频率分布直方图列方程，能求出a．

（II）由图求出该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率，由此能求出40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数．

（III）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．

【解答】：解：（I）由频率分布直方图得：

（a+0.040+0.050+0.045+0.030+0.015）×5=1，

解得a=0.020．

（II）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为：

（0.03+0.015）×5=0.225，

则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为40×0.225=9．

（III）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．

【点评】：本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，15分）已知函数（a＞0且a≠1）．

（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）当a=2时，求函数f（x）的值域；

（Ⅲ）若对任意x∈R，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用偶函数的定义f（-x）=f（x）可判断函数f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）当a=2时，，由及对数的性质可求得函数f（x）的值域；

（Ⅲ）依题意，得恒成立，对对数的底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，即可求得对任意x∈R，f（x）≥1恒成立时，实数a的取值范围．

【解答】：解：（I）因为函数f（x）的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R．………（1分）

又因为，

所以是偶函数．……（4分）

（II）当a=2时，．

因为|x|≥0，

所以|x|+2≥2．

所以…………（7分）

所以，，即f（x）≤-1．……（8分）

所以当a=2时，函数f（x）的值域为（-∞，-1]，…………（9分）

（III）因为f（x）≥1恒成立，即恒成立，

所以恒成立．………………（10分）

①当a＞1时，即恒成立．

因为，

所以当a＞1时不合题意，…………（11分）

②当0＜a＜1时，即恒成立．

因为，所以．………（14分）

所以对任意x∈R，f（x）≥1恒成立时，实数a的取值范围为．……（15分）

【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查了转化与化归思想和分类讨论思想的应用，考查运算能力，属中档题．19.（问答题，14分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如表：空气质量指数0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率；

（Ⅱ）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；

（Ⅲ）记甲城市这6天空气质量指数的方差为s02．从甲城市12月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为a，若a=99，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为s12；若a=169，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为s22，试比较s02，s12，s22的大小．（结论不要求证明）【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）根据甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，即可得到答案；

（Ⅱ）先确定总的基本事件数，再求出符合条件的基本事件数，利用概率的计算公式求解即可；

（Ⅲ）直接比较即可．

【解答】：解：（Ⅰ）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，

则估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率为．

（Ⅱ）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，

因为（48，80），（48，67），（48，108），（48，150），（48，205），（48，62），

（65，80），（65，67），（65，108），（65，150），（65，205），（65，62），

（104，80），（104，67），（104，108），（104，150），（104，205），（104，62），

（132，80），（132，67），（132，108），（132，150），（132，205），（132，62），

（166，80），（166，67），（166，108），（166，150），（166，205），（166，62），

（79，80），（79，67），（79，108），（79，150），（79，205），（79，62），

所以基本事件数一共有36种，

A表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，

则A={（104，108），（104，150），（132，108），（132，150）}，包含4个样本点，

则．

（Ⅲ）．

【点评】：本题考查了概率和统计的综合应用，涉及了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是正确表示出总的基本事件数．20.（问答题，15分）已知函数f（x）=2x-2-x．

（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并用定义给出证明；

（Ⅱ）解不等式：；

（Ⅲ）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）根据题意，利用作差法分析可得结论；

（Ⅱ）由函数的解析式可得，则有⇔，结合函数的单调性分析可得答案；

（Ⅲ）根据题意，原问题等价于方程有且只有一个实数解．利用换元法分析可得答案．

【解答】：解：（I）根据题意，f（x）在R上单调递增；

证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则=；

又由x1＜x2，则有，f（x1）＜f（x2）．

故函数f（x）在R上单调递增；

（II）根据题意，函数f（x）=2x-2-x．则，

⇔，

又函数f（x）在R上单调递增，则有

故不等式的解集为．

（Ⅲ）根据题意，若关于x的方程只有一个实根，

即方程有且只有一个实数解．

令t=2x，则t＞0，问题转化为：

方程有且只有一个正数根，

①当m=1时，，不合题意，

②当m≠1时，

（i）若Δ=0，则m=-3或，

若m=-3，则，符合题意；

若，则t=-2，不合题意，

（ii）若Δ＞0，则m＜-3或，

由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得m＞1；

综上，实数m的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．

【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数与方程的关系，属于中档题．21.（问答题，14分）设n是不小于3的正整数，集合Sn={（a1，a2，…，an）|ai∈{0，1}，i=1，2，…，n}，对于集合Sn中任意两个元素A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）．

定义1：A•B=n-（|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|）．

定义2：若A•B=0，则称A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）互为相反元素，记作，或．

（Ⅰ）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A•B的值；

（Ⅱ）若A，B∈Sn，证明：；

（Ⅲ）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合M⊆Sn，且对于集合M中任意两个不相同的元素A