平面向量及其应用 2.2 向量的减法

一、课时教学内容《从位移的合成到向量的加减法》2.2向量的减法二、教学目标（1）通过将向量运算与数的运算进行类比，掌握向量减法及其几何意义，并会进行向量计算，提升学生的逻辑推理素养；（2）在向量减法概念形成过程中，理解向量减法概念，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养；（3）在概念教学的具体应用中，培养学生的数学建模、直观想象素养。三、重点与难点教学重点：向量减法运算及其几何意义；建构向量减法概念与法则的探究过程。教学难点：对向量减法定义的正确理解。四、教学过程流程本节课以“问题引导学习”为教学原则，将教学过程分为四个环节，即“复习引入、建构新知、应用强化和回顾提升”，并通过8个主要问题将“四环节”有机联系起来.依据概念课教学的基本要求，在“建构新知”的环节里，按照概念发现、形成和深化三个阶段展开，旨在引导学生充分经历和体验“发现定义”的全过程，发展学生的思维能力。研究路径：五、教学过程环节一：复习引入师：“运算使数的力量威力无比”，要让“向量也能威力无比”，就要继续学习“运算”.今天，要借助“实数的减法”“向量的加法”中的研究经验，学习“向量的减法运算”（注：教师同时在黑板上板演这句话）师：请大家思考：首先应该怎么向“加法运算”借经验，来研究新的“减法运算”呢？生：要下定义.师：对！在明确“研究对象”之后，就要考虑“怎么研究”，设计“研究路径”“路”在哪里呢？生：“路在脚下”（师生均开心一笑）.师：确实“路就在脚下”！因为已经有了研究“加法运算”的路径，所以，可以先向“向量的加法运算”借……（声音拉长等待）“研究路径”（生答）。师：那具体的研究路径是什么？生：（师板演）定义——法则——性质——应用.之后PPT演示研究“加法运算”的详细完整过程图1.师：在数的运算中，减法是加法的逆运算。类比数的减法，可以猜想向量的减法与加法也有类似的关系，请同学们再想想除了可以借“向量加法”的研究路径，还可以借什么？生：研究的所有项目、类别。师：对！还可以借助“加法运算”的研究结构，这样，就可以先设计研究“向量减法运算”的路径与结构，用PPT演示图2.设计意图：教师直接点明并且板演：借助“实数的减法运算”“向量的加法运算”中的研究经验，研究“向量的减法运算”，让学生的思维有方向、有起点，使学生迅速明确研究的对象，快速设计好研究路径与研究结构.引导学生学“研究问题”的路径设计。环节二：建构新知概念发现师：请类比“实数的减法”“向量的加法”定义，给“向量的减法”下定义。生：求两个向量差的运算。生：已知两个向量的和与其中一个向量，求另一个向量的运算.师：很好！运算的结果是向量还是数量呢？生：是向量。师：请用字母来表示“向量的减法”定义.生：师：这个等价式也是向量的移项法则，与实数的移项法则一样，体现了数学的和谐与统一。设计意图：类比“实数的减法”“向量的加法”定义，从两个角度定义“向量的减法”，既可以从不同的角度描述定义，又可以让向量的移项法则自然地展现出来.引导学生学“概念表述”的角度。（二）概念形成师：实数减法的运算法则是：“减去一个数等于加上这个数的相反数”，即.类比实数减法的运算法则，向量减法是否也具有类似法则？生：有！“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”，即.师：对！前一节课学习了求“和向量”的两个法则：“三角形法则”，其物理模型是“合位移”；平行四边形法则，其物理模型是“合力”既然向量的减法由向量的加法而来，那么，如何借助“和向量”的作法，作出“差向量”，进而概括出向量减法法则呢？活动一：用有向线段表示向量，构建差向量的“几何表示”探究：非零不共线向量的差向量的作法问题1.如图3，已知，如何作出？探究：非零共线向量的差向量的作法问题2.改变图3中的方向，使得，如图4，图5,怎样作出差向量？问题3.问题1、问题2分别探究了“非零不共线向量”“非零共线向量”的差向量作法，从分类的完备性看，还须考虑什么情况呢？能自己完成吗？设计意图：将差向量从“形式建构”转入“意义建构”的本质探索，按照分类标准发展的逻辑顺序设置3个问题，严谨且全面地思考与推导，引导学生学“概念几何意义”的建构.活动二：用字母表示向量，构建差向量的“代数表示”。师：前面探究了向量减法的几何意义，得到向量减法的三角形法则.向量除了有几何表示还有代数表示，而向量的每一种表示方法，都建立了一种语言，从而，向量的运算也可以用不同的语言来运算.探究：用字母表示向量，求差向量【问题4】.设，怎样求出差向量？设计意图：向量既是代数对象又是几何对象，集数形于一身，是数学中数形结合思想的典范.借助数学语言（文字、图形、符号），从“数”“形”两个方面“数学地”思考.引导学生学“概念代数意义”的建构.活动三：向量减法法则的解读测一测反应速度：填空：设计意图：运算是向量的核心内容，对向量减法法则从正向、逆向、变向多方向解读，用文字、符号、图形多方式表征，从代数意义、几何意义多维度解析，“数学地”观察法则；同时，与向量的加法法则进行对比，让新知长在旧知上，让向量运算的知识树自然生长，体会减法与加法是对立又统一的两种运算，二者相互协调和补充.引导学生学“辨析公式法则内涵”的思维层次。（三）概念深化师：同学们会算减法了，对“算”还有什么“要求”或“希望”呢？生：想“算得快”“算得简单……师：对！所以要继续研究运算性质，这样就可以提高运算的效率.向量的加法满足加法交换律和结合律，减法有什么运算律呢？生：把加法转化为加法就可以用加法交换律和结合律了师：对！将减法与加法统一。活动三：探绝对值三角不等式的向量减法形式问题5.向量既有方向又有大小，如果只考虑被减向量、减向量、差向量的大小，即这三者之间有什么关系？请简要说明理由.生：从前面差向量的作图中看出当不共线时，;当同向时,;当反向时，生：在绝对值三角不等式的向量加法形式中换成“”师：非常好！用代换更棒！通过以上两种方法都可以得到绝对值三角不等式的向量减法形式：其中，当同向时，；当反向时，设计意图：向量既有大小，又有方向，具有数形双重身份.引导学生学“研究角度”的寻找，学“公式法则”的应用方式（正用、逆用、变用，代换用）.活动四：总结“向量的减法运算”研究成果PPT演示图8.设计意图：将知识与研究问题的经验联结，体验研究的喜悦，建构知识体系，形成新的整体.环节三：应用强化例1.化简：（1）（2）提炼向量加减混合运算常用方法：（1）借助相反向量全部化加，“再接龙”；（2）依据加减三角形规则重组搭配，再加减；（3）全部表示成共起点两个向量的差，再加减。设计意图：体会想要“算得好”“算得快”，要注意运用运算性质，还要选择适当的方法，明确运算的方向.因选择方向不同，运算过程的长短就有差异，引导养成“先思后算，多思少算”的思维习惯.例2.如图，在平行四边形，，请用表示变式1.已知点是四边形所在平面上任意一点，且满足，则四边形的形状是变式2.已知向量，①若，则的取值范围；再若，则吗？此时=②若，则=③若是相反向量，且，则；=④若是相等向量，且，则；=提炼规律方法：设计意图：向量的恒等变换是向量的核心技能，而向量的加法与减法是实现向量恒等变换的重要依据，也是向量几何运算的主体内容.引导学生树立“见向量思其形，见形思其向量”的思维意识.环节四：总结提升本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：（一）课堂小结知识总结：向量减法的定义、减法运算的三角形法则（向量减法的几何意义、代数意义）、减法运算的性质（运算律、三角不等式）、减法运算的作用：解法总结：加减混合运算的方法、用向量法解几何问题、用几何法解向量问题：思法总结：树立“见向量思其形，见形思其向量”的思维意识：养成“先思后算、多思少算”的思维习惯：明确运算问题的思维程序：算什么？（算的对象）——依何算？（算的依据）——怎么算？（算的法则）——算得快准？（算的方向、算的性质、算的方法）——算的作用（算的力量）.研法总结：积累研究问题的一般方法：提出问题——设计路径——构建概念——寻找方法——提出假设——验证猜想——语言表述.设计意图：既重视知识方法积累，又重视思考方法、研究方法的积累，才能通过“类比”的方法研究结构相似的内容，实现方法迁移，教学生学“