2023年高考数学一轮复习资料 第7讲 三角函数篇之三角函题型归纳1

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三角函数典型例题

第一节：三角函数概念命题方向：角的概念

例1（1）写出与?1840?终边一致的角的集合M；

（2）把?1840?的角写成k?360???（0????360?）的形式；（3）若角??M，且??[?360?,360?]求?；解：（1）

M?????k?360??1840?,k?Z?

（2）?1840???6?360??320?（3）∵??M且?360????360?

∴?360??k?360??1840??360?∴1480??k?360??2200?

3755?k?9又∵k?Z∴k?5,6∴9∴???40?或??320?

例2已知“?是第三象限角，则

?是第几象限角?3?的取值范围，再根据范围确定3分析由?是第三象限角，可得到?角的范围，进而可得到其象限即可也可用几何法来确定

?所在的象限33??k?Z?2解法一：由于?是第三象限角，所以2k??????2k??∴

2k??2k????????k?Z?33332∴当k=3m（m∈Z）时，

当k=3m＋1（m∈Z）时，当k=3m＋2（m∈Z）时，故

?为第一象限角；3?3为第三象限角，

?为第四象限角3?为第一、三、四象限角3?的终边所在的区域3解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则?原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为

由图可知，

小结：已知角?的范围或所在的象限，求

?是第一、三、四象限角3?n所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和

几何法，其中几何法具体操作如下：

把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，

认真爱心一心-1-

并循环一周，则?原来是第几象限的符号所表示的区域即为

?*

(n∈N)的终边所在的区域n

命题方向：三角函数符号的判断

4?3?例3.已知sin2=5，cos2=－5，那么α的终边在

A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限

24??解析：sinα=2sin2cos2=－25＜0，

7cosα=cos22－sin22=25＞0，∴α终边在第四象限.答案：D

变式．若sin??0且tan??0是，则?是（C）

A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角

sin（cos?）例4.若θ是其次象限的角，则的符号是什么?

cos（sin2?）剖析：确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.

π解：∵2kπ+＜θ＜2kπ+π（k∈Z），

2∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0.∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0.sin（cos?）∴＜0.cos（sin2?）命题方向：弧长公式的应用

例5、在复平面内，复数z?sin2?icos2对应的点位于

A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限解：D

例6已知一扇形的中心角是?，所在圆的半径是R，（1）若??60?，R=10cm，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。（2）若扇形的周长是一定值c(c?0)，当?为多少弧度时，该扇形有最大面积？

解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，由于??60?????3，R=10，所以l?10?(cm)31101?3???10??102?sin60??50(?)(cm2)23232c（2）由于扇形周长c?2R?l?2R??R，所以R?，

2??11c2c21c21c22)??????所以S扇???R??(

416222??224?4???24???S弓?S扇?S???c2所以当且仅当??，即??2（???2舍去）时，扇形面积有最大值

?164其次节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式

1、化简求值

认真爱心一心-2-

sin(?例1、已知f(?)?2??)cos(2???)tan(???3?)．tan(???)sin(?

2??)（1）化简f(?)；

（2）若?是第三象限的角，且cos(??3?2)?15，求f(?)的值；（3）若???18600，求f(?)的值．

解：（1）f(?)?cos?cos?(?tan?)tan?cos???cos?（2）?cos(??3?2)??sin??sin???15,又?是第三象限的角

?cos?=-1?sin2???1?12225??56,?f(?)?56

（3）????18600??6?3600?3000

?f(?)?f(?18600)??cos(?18600)

??cos(?6?3600?3000)??cos600??12

2．条件求值

例2、若tan??2，求（1）

sin??cos?cos??sin?的值；

（2）2sin2??sin?cos??cos2?的值．

解（1）cos??sin?1?tan?1cos??sin??1?tan???21?2??3?22（2）原式?2sin2??sin?cos??cos2?2tan2?sin2??cos2???tan??1tan2??1

?4?2?13?5?23例3、若sin?cos??18,????????4,2??,求cos??sin?的值．

解：(cos??sin?)2?cos2??sin2??2sin?cos??1?134?4

??????,???,?cos??

?42?sin?

?cos??sin???323、证明题

例2、证明：

2?cos??sin??1?sin??cos??cos?1?sin??sin?1?cos?

=cos??cos2??sin??sin2法一：右边??cos??sin???1?sin??cos???1?sin???1?cos????1?sin???1?cos??认真爱心一心

-3-

2?cos??sin???1?sin??cos??2?cos??sin???1?sin??cos???2?1?sin??cos??sin?cos??1?sin2??cos2??2sin??2cos??2sin?cos?2?cos??sin???1?sin??cos????右边2?1?sin??cos???法二：要证等式即证

?cos??sin???1?sin??cos??2?cos??sin??cos?sin?????1?sin???1?cos??1?sin??cos?1?sin?1?cos?2只需证2?1?sin???1?cos????1?sin??cos??

即证

2?2sin??2cos??2sin?cos??1?sin2??cos2??2sin??2cos??2sin?cos?22即1?sin??cos?显然成立

所以原等式成立。注：证等式常用方法：（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则）（2）两边向中间证（3）分析法4．综合应用

2?x?1?0的两个根中较小的根，求?的值．cos?1117??解：tan??且tan??得??2k???,k?Z

tan?tan?cos?63?1[例5]已知π＜x＜，sinx－cosx＝.

25例4、已知tan?是方程x?2(1)求sinx＋cosx的值；(2)求

的值．

第三节:三角函数的图象

1．三角函数线的应用

认真爱心一心-4-

??1cosx?0例1：解三角不等式组?

?sinx?0??2思路分析：利用三角函数线和单调性求解。

解：如图：

1?cosx?0且sinx?2?2k??6?6

π0yπ466πx?2?x?2k??(k?Z)知

函

2．三角函数图象的变换例2．已

7π65π数4πy?13cos2x?sinxcosx?1,x?R22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合

（2）该函数的图象可由y?sinx,x?R的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？思路分析：利用三角变换，将f(x)化为y?Asin(?x??)求解。

131351?5cos2x?sinxcosx?1?cos2x?sin2x??sin(2x?)?22444264???7当2x??2k??(k?Z)即x?k??(k?Z)时,ymax?

6264????所求集合为xx?k??,k?Z??6????②1）将函数y?sinx的图象向左平移得函数y?sin(x?)的图象；

661?2)将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得函数y?sin(2x?)的图象,

2611?3)将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的2倍(横坐标不变),得函数y?sin(2x?)的图象,

2651?54)将所得图象向上平移个单位长度,到得函数y?sin(2x?)?的图象,

4264解：①y?3．由图象写解析式或由解析式作图

例3如图为某三角函数图象的一段

（1）用函数y?Asin(?x??)写出其中一个解析式；

（2）求与这个函数关于直线x?2?对称的函数解析式，并作出它一个周期内简图。

思路分析：由T定?，由最值定A，由特别值定?，用五点法作简图。解：（1）

T?13??2?1??4?,????,又A?3,33T21令y?3sin(x??)由图它

2?1??(,0),?0?3sin(???)???（为其中一个值）3236认真爱心一心

-3过

?313?3-5-

（2）令(x,y)为y?3sin(1?x?)上任意一点，该点关于直线x?2?对称点为(4??x,y)261?1??与y?3sin(x?)关于直线x?2?对称的函数解析式是y??3sin(x?)

2626列表：x1?x?26y作图：

??3002?35?3?2-3?08?33?2311?32?0

3-π3-3yπ235π38π311πx3

4．三角函数的综合应用

例4已知函数f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)(0???π,??0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

（Ⅰ）求f（

π2π）的值；8（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移

π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原6来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（Ⅰ）f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)

?3?1sin(?x??)?cos(?x??)?＝2?22??π＝2sin(?x??-)

6由于f(x)为偶函数，

所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，

ππ）＝sin(?x??-).66ππππ即-sin?xcos(?-)+cos?xsin(?-)=sin?xcos(?-)+cos?xsin(?-),

6666ππ整理得sin?xcos(?-)=0.由于?＞0，且x∈R,所以cos（?-）＝0.

66πππ又由于0＜?＜π，故?-＝.所以f(x)＝2sin(?x+)=2cos?x.

622因此sin（-?x??-

认真爱心一心-6-

2?由题意得??2??2,所以?＝2.

故f(x)=2cos2x.由于f()?2cos??48?2.

??个单位后，得到f(x?)的图象，再将所得图象横坐标伸（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个66长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f(??4?6)的图象.

所以g(x)?f(????????4?6)?2cos??2(4?6)???2cosf(2?3).当2kπ≤

?2??3≤2kπ+π(k∈Z),

即4kπ＋≤2?3≤x≤4kπ+8?3(k∈Z)时，g(x)单调递减.

因此g(x)的单调递减区间为???4k??2?8??3,4k??3??(k∈Z)

（备选例5）、已知函数f(x)?cos(2x??)?2sin(x??)sin(x?34?4)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数f(x)在区间[???12,2]上的值域

解：（1）?f(x)?cos(2x??)?2sin(x??)sin(?34x?4)

?12cos2x?32sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx)?1cos2x?3sin2x?sin222x?cos2x

?12cos2x?32sin2x?cos2x?sin(2x??6)

∴周期T?2?2??由2x??6?k???2(k?Z),得x?k?2??3(k?Z)∴函数图象的对称轴方程为x?k???3(k?Z)

（2）?x?[?????5?12,2],?2x?6?[?3,6]由于f(x)?sin(2x??????6)在区间[?12,3]上单调递增，在区间[3,2]上单调递减，所以当x??3时，f(x)取最大值1

又?f(??312)??2?f(?2)?12，当x???312时，f(x)取最小值?2

认真爱心一心

-7-

所以函数f(x)在区间[?3,]上的值域为[?,1]1222??

第四节:三角函数的性质

1、定义域问题：三角不等式用三角函数线或图象上求之。例1、求以下函数的定义域：（1）y?2?log1x?tanx；

2（2）y?lg(2sinx?2)?1?2cosx．

?2?log1x?0?2?0?x?4?tanx?0???解(1)x应满足?,即为?所以所求定义域为

??k??x?k??k?zx?0??2???x?k???k?z???2????0,????,4??2??2sinx?2?0?3??2k?(2)x应满足?，利用单位圆中的三角函数线可得?2k??x?34?1?2cosx?0?3???所以所求定义域为?2k??,2k???k?z??34??2、求单调区间：

例2、求以下函数的单调区间.

11??2x??2x??cos???(2).y?sin???22?43??33???????解:（1）????3k?,?3k??上单调递增，??3k?,2??3k?,?上单调递减。

2???2?2x?1?2x???,则只需求y?sinu的单调区间即(2).原函数变形为y??sin???令u?342?34??2x????2k??,(k?Z)上可.?y?sinu在2k???u?23423?9??x?3k??即3k??,(k?Z)上单调递增,88?2x?3???2k??,(k?Z),上y?sinu在2k???u?23429?21?x?3k???,(k?Z),上单调递减即3k??881??2x?3?9???故y?sin??,3k???,?的递减区间为:?3k??2?43?88??9?21??递增区间为:?3k??,3k????,(k?Z).

88??(1).y?1?2x??2x??[思维点拔]1、要注意子函数的单调性,若函数为y?1cos??????则变形为y?cos?234?243???即可.2、在Asin??x???中我们总是通过令?x???u先求出u

认真爱心一心

-8-

3、写成区间而不是不等式。注意取一个周期上求解。

3、求最小正周期

例3、求以下函数的最小正周期:

(1),y??sinx?cosx?2

(2).y?1

tanx?1tanx解：（1）T??，（2）T??2

指出求周期的一般方法：

1）化为y?Asin(?x??)?B或y?Acos(?x??)?B或y?Atan(?x??)?B2）图象法：y?sinx,y?sinx,

3）定义法：y?sinx?cosx?1?sin2x,T??2

探讨练习：

求以下函数的最小正周期:

（1）y?2cosxsin??x????3???3sin2x?sinxcosx解：y?2cosxsin???x???23???3sinx?sinxcosx

?2cosx??1?sinx?3cosx??22???3sin2x?sinxcosx???cosxsinx?3cos2x?3sin2x?sinxcosx

?sin2x?3cos2x?2sin?????2x?3??

所以，T??

（2）y?2sin?????4x?3??

解：由于y?2sin???4x????????3??的周期T?2，所以，y?2sin??4x?3??的周期T?44、值域问题：

例4、求以下函数的值域：

（1）y?2sinxcos2x1?sinx；

（2）y?log3?sinx23?sinx；

（3）y?1?sinx3?cosx．

解：由题意1?sinx?0，

∴y?2sinx(1?sin2x)1?sinx?2sinx(1?sinx)??2(sinx?112)2?2，认真爱心一心-9-

∵?1?sinx?1，∴sinx?11时，ymax?，但sinx??1，∴y??4，

22∴原函数的值域为(?4,]．

（2）∵?1?sinx?1，又∵∴函数y?log2

123?sinx613?sinx??1，∴??2，∴?1?y?1，

3?sinx3?sinx23?sinx3?sinx的值域为[?1,1]．

3?sinx1?sinx2得sinx?ycosx?3y?1，∴y?1sin(x??)?3y?1，

3?cosx1?y这里cos??，sin??．

221?y1?y32∵|sin(x??)|?1，∴|3y?1|?y?1．解得0?y?，

43∴原函数的值域为{y|0?y?}．

4（3）由y?5、奇偶性问题：

例5：探讨：（1）已知函数y?2sin??x???为偶函数，0????，其图象与直线y?2的交点的横坐标为x1,x2，若x1?x2的最小值为?，则??，??.解：???2，

2????,??2

（2）已知a?R，函数f(x)?sinx?|a|,x?R为奇函数，则a＝（）

（A）0（B）1（C）－1（D）±1解：A提醒：由题意可知，f(?x)??f(x)可得f(0)?0得a=06、对称性问题：

例6、（1）以下坐标所表示的点不是函数y?tan(?)的图象的对称中心的是（）

6x2?（A）（

?5?4?2?，0）（B）（?，0）（C）（，0）（D）（，0）3333解：Ｄ提醒：令

x?k????,即x?k??(k?Z)，函数图象的对称中心为2623(k???3,0)(k?Z)

(2)假使函数y?sin2x?acos2x的图象关于直线x??解：-1提醒:根据f(0)?f(??8对称，则a?．

?4)

（3）将函数y?sin(x??)的图象F向右平移轴是直线x?A.

?个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称3?4,则?的一个可能取值是

511511?B.??C.?D.??

12121212认真爱心一心

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如（1）若方程sinx?3cosx?c有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；

（2）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：

?3)；2（3）假使f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?=(答：－2)；（4）求值：

31??64sin220??________(答：22sin20?cos20?32)

15、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y?sinx和余弦函数y?cosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，

?2,?,3?,2?的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就2y1得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

y=sinxo-1y1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1?2?3?4?5?6?x-6?-5?-4?-3?-2?-?y=cosx?2?3?4?5?6?x16、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质：（1）定义域：都是R。

（2）值域（有界性）：都是??1,1?，

对于y?sinx，当x?2k??

?2?k?Z?时，ymax?1，当x?2k??3??k?Z?时，2ymin??1；

对于y?cosx，当x?2当x?2k?k??时，ymax?1，k???k??时，ymin??1。?Z?Z?31如1）若函数y?a?bsin(3x?)的最大值为，最小值为?，则a?__，b?＿

2261（答：a?,b?1或b??1）；

2??2）函数f(x)?sinx?3cosx（x?[?,]）的值域是____（答：

22[－1,2]）；

3）若2?????，则y?cos??6sin?的最大值和最小值分别是____、_____（答：7；－5）；

xsinx(?4）函数f(x)?2cos__________

?3?)?sinxcoxs的最小值是_____，此时x＝32sixn（答：2；k???12(k?Z)）；

认真爱心一心-16-

5）己知sin?cos??1，求t?sin?cos?的变化范围（答：2?11?；?,?）?22??6）若sin2??2sin2??2cos?，求y?sin2??sin2?的最大、最小值

（答：ymax?1，ymin?22?2）。

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你注意到正余弦函数的有界性了吗？

（3）周期性：①y?sinx、y?cosx的最小正周期都是2?；

②f(x)?Asin(?x??)和f(x)?Acos(?x??)的最小正周期都是T?如1)若f(x)?sin2?。|?|?x3，则f1)(?2()f3()?f?2(003)??f＝___（答：0）；

42)函数f(x)?cos4x?2sinxcosx?sinx的最小正周期为____（答：

；?）

3)设函数f(x)?2sin(x???52)，若对任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立，则

（答：

|x1?x2|的最小值为

2）

（4）奇偶性与对称性：

正弦函数y?sinx(x?R)是奇函数，对称中心是?k?,0??k?Z?，对称轴是直线

x?k???2?k?Z?；

??余弦函数y?cosx(x?R)是偶函数，对称中心是?k????,0??k?Z?，对称轴是直线2?x?k??k?Z?

（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与

。x轴的交点）如1）函数y?sin?偶函数）；

?5??（答：?2x?的奇偶性是______

?2?3)?______2）已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5（答：

－5）；

x(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、3）函数y?2cos____________

k??k???,1)(k?Z)、x??(k?Z)）；2828?的值。（答：4）已知f(x)?sin(?x??)3cos(?x?为偶函数，求)（答：(??k???6(k?Z)）

5）假使函数y＝3cos?2x＋??的图像关于点??4??，0?中心对称，那么|?|的最小值为?3?认真爱心一心-17-

（A）

????（B）（C）(D)（答：6432C）

（5）单调性：

????3????y?sinx在?2k??,2k????k?Z?上单调递增，在?2k??,2k????k?Z?单

22?22???调递减；

y?cosx在?2k?,2k?????k?Z?上单调递减，在?2k???,2k??2???k?Z?上单调

递增。

特别提醒，别忘了k?Z！

如1）已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)，y?f(x)的图像与直线y?2的两个相邻交点的距离等于?，

则f(x)的单调递增区间是（答：

??[k??,k??],k?Z）

362）以下关系式中正确的是（答：C）

A．sin11?cos10?sin168B．sin168?sin11?cos10C．sin11?sin168?cos10D．sin168?cos10?sin113）设函数f(x)?(sin?x?cos?x)?2cos22000000000000?x(??0)的最小正周期为

2?．3（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）若函数y?g(x)的图像是由y?f(x)的图像向右平移

?个单位长23；（Ⅱ）2度得到，求y?g(x)的单调增区间．（答：（Ⅰ）

2?27?[k??,k??](k?Z)）3431217、形如y?Asin(?x??)的函数：

1（1）几个物理量：A―振幅；f?―频率（周期的倒数）；?x??―相位；?―初相；

T（2）函数y?Asin(?x??)表达式的确定：A由最值确定；?由周期确定；?由特别点确定。

?7??如1）已知函数f(x)?2sin(?x??)的图像如下图，则f???

12??（答：0）

2）已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0???的周期为?，且图象上一个最低点为M(?2）

2?,?2).3（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[0,?12]，求f(x)的最值.

（答：（Ⅰ）f(x)?2sin(2x?（3）函数y?Asin(?x??)图象的画法：①五点法〞――设X??x??，令X＝0，

?6)；（Ⅱ）3）

?2,?,3?,2?2求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；

认真爱心一心

-18-

②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数y?Asin(?x??)?k的图象与y?sinx图象间的变换：如1）函数y?2sin(2x?略）；

2)要得到函数y?cos(?左；

?4)?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的图象？（答：

x?x)图象，只需把函数y?sin图象向__平移__个单位（答：242?）；23）将函数y?sin2x的图象向左平移式是

?个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析4A.y?cos2xB.y?2cos2xC.y?1?sin(2x?（答：B）；

4）若将函数y?tan(?x??4)D.y?2sin2x

?4图

)(??0)的图像向右平移

像

重

合

，

则

?个单位长度后，与函数6y?tan(?x?（答：

?6)的

?的最小值为

1）2（5）研究函数y?Asin(?x??)性质的方法：类比于研究y?sinx的性质，只需将

y?Asin(?x??)中的?x??看成y?sinx中的x，但在求y?Asin(?x??)的单调区间

时，要特别注意A和?的符号，通过诱导公式先将?化正。

?2x?如1）函数y?sin([k???3)递减区间是______（答：的

5??,k??](k?Z)）；1212?2???2）设函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,?周期是?，则

?2)的图象关于直线x?2?对称，它的3A、f(x)的图象过点(0,)B、f(x)在区间[C、

f(x)的图象的一个对称中心是(5?,0)1212

5?2?,]上是减函数123D、f(x)的最大值是A

（答：C）；

3）对于函数f?x??2sin?2x??给出以下结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于

3???直线x?成轴对称；③图象可由函数y?2sin2x的图像向左平移个单位得到；④图像

123?向左平移个单位，即得到函数y?2cos2x的图像。其中正确结论是_______

12（答：②④）；

18、正切函数y?tanx的图象和性质：

????认真爱心一心-19-

（1）定义域：{x|x??2?k?,k?Z}。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数定义域

了吗？

（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是?，它与直线y?a的两个相邻交点之间的距离是一个周期?。

?k??,0??k?Z?，特别提醒：正切型函数的2??对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这