平面几何四个重要定理

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平面几何：1、四个重要定理：

梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）

△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条

件是。

塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）

△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是

。

托勒密(Ptolemy)定理

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题：

1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。

CEF截△ABD→（梅氏定理）

也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。

2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

求证：。

连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。DEG截△ABM→（梅氏定理）

DGF截△ACM→梅氏定理

（梅氏定理）∴===1

3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，

，AD、BE、CF交成△LMN。

求S△LMN。

梅氏定理

4．以△ABC各边为底边向外作相像的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。塞瓦定理

5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC=AB+AB·BC。

过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。托勒密定理

2

2

6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。求证：

赛）

。（第21届全苏数学竞

托勒密定理

7．△ABC

的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作

PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。

西姆松定理（西姆松线）

8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、分成的比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5）面积法

9．O为△ABC内一点，分别以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距离，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、

C的距离。

求证：（1）a·Ra≥b·db+c·dc;(2)a·Ra≥c·db+b·dc;(3)Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。

面积法

10．△ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧拉线）

同一法

11．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BM、BN三等分∠ABC，与AD相交于M、N，延长CM交AB于E。求证：MB//NE。

对称变换

12．G是△ABC的重心，以AG为弦作圆切BG于G，

2

延长CG交圆于D。求证：AG=GC·GD。

平移变换

N

13．C是直径AB=2的⊙O上一点，P在△ABC内，若PA+PB+PC的最小值是

，求此时△ABC的面积S。

旋转变换费马点：

已知O

是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）

将CC‘，OO’，PP‘，连结OO’、PP‘。则△BOO’、

△BPP‘都是正三角形。

∴OO’=OB，PP‘=PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

14．(95全国竞赛)菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分别作⊙O的切线交AB、BC、CD、DA分别于M、N、P、Q。求证：MQ//NP。

由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证∠AMQ=∠CPN，

结合∠A=∠C知，只需证△AMQ∽△CPN

←，AM·CN=AQ·CP。

与⊙O切于∠MOK=α，

连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MNK，连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ，∠KON=β，则

∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM

又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是∴AM·CN=AO·CO同理，AQ·CP=AO·CO。

，

15．(96全国竞赛)⊙O1和⊙O2与ΔABC的三边所在直线都相切，E、F、G、H为切点，EG、FH的延长线交于P。求证：PA⊥BC。

16．(99全国竞赛)如图，在四边形ABCD中，对角CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC∠GAC=∠EAC。

线AC平分∠BAD。在于G。求证：

证明：连结BD交AC于H。对△BCD用塞瓦定理，可得

由于AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理，

可得

过C作AB的平行线线于J。

，故。

交AG的延长线于I，过C作AD的平行线交AE的延长

则，

所以，从而CI=CJ。

又由于CI//AB，CJ//AD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。因此，△ACI≌△ACJ，从而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。

已知AB=AD，BC=DC，AC与BD交于O，过O的任意两条直线EF和GH与四边形ABCD的四边交于E、F、G、H。连结GF、EH，分别交BD于M、N。求证：OM=ON。（5届CMO）证明：作△EOH

△E’OH‘，则只需证E’、M、H‘共线，即

E’H‘、BO、GF三线共点。

记∠BOG=α，∠GOE’=β。连结E‘F交BO于K。只需证

=1（Ceva逆定理）。

===1

注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。

对应于99联赛2：∠E’OB=∠FOB，且E‘H’、GF、BO三线共点。求证：∠GOB=∠H‘OB。事实上，上述条件是充要条件，且M在OB延长线上时结论依旧成立。证明方法为：同一法。

蝴蝶定理：P是⊙O的

弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结CF交AB于N。

连结DE交AB于M，求证：MP=NP。设GH为FP∈GH，∵PF

PF‘，PA

PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。

F’F，

过P的直径，显然‘∈⊙O。又∴PF’=PF。

又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。

一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、

ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。（解析法证明：利用

二次曲线系知识）

（二）三角形中的几个特别点：

1、三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。

点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）

三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真把握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心〞，重心性质要明白，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用把握好．

外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．

垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相像形，四点共圆图中有，细心分析可找清.

内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心〞有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心〞，如此定义理当然．

2、费马点定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。

（2）假使三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；假使3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

性质（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。（特别三角形中）

(2)三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1、ACB1、BCA1，然后连接AA1、BB1、CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点。(3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求。(4)当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合。实践探究（一）在特别三角形中费马点的性质

1、当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合，费马点到各边的距离相等。2、在等腰三角形ABC中，当点O为费马点时，点O到三顶点的距离之和最小。且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°3、三内角皆小于120°的三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形ABC1、ACB1、BCA1，然后连接AA1、BB1、CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点。4、若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求费马点。5、当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合

6、等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。

7、等腰三角形当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。8、直角三角形.，等边三角形，等腰三角形中∠APB,∠APC∠BPC都为120°

3、欧拉线：

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明白在任意三角形中，以上四点共线。

欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。欧拉线的证法1：

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’

∵BD是直径∴∠BAD、∠BCD是直角∴AD⊥AB，DC⊥BC∵CH⊥AB，AH⊥BC

∴DA‖CH，DC‖AH∴四边形ADCH是平行四边形∴AH=DC∵M是BC的中点，O是BD的中点∴OM=1/2DC

∴OM=1/2AH∵OM‖AH∴△OMG’∽△HAG’∴AG/GM=2/1

∴G’是△ABC的重心∴G与G’重合∴O、G、H三点在同一条直线上

假使使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出OGH三点的坐标即可.

欧拉线的证法2：

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心

。连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。

连接OD，又由于O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。

连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。欧拉线的证法3

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.

则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC

向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，向量OG*3=向量OH所以O、G、H三点共线

（三）几何不等式：（1）托勒密定理的推广：

在凸四边形ABCD中，一定有：AB?CD?AD?BC?AC?BD，等号成立时四边形ABCD是圆内接四边形.

（2）（嵌入不等式）设x,y,z?R,A?B?C?(2k?1)?,k?Z，求证：x2?y2?z2?2yzcosA?2zxcosB?2xycosC

等号成立的充要条件是：x?ycosC?zcosB及ysinC?zsinB.证明：x2?y2?z2?2yzcosA?2zxcosB?2xycosC

?x2?2(zcosB?ycosC)x?y2?z2?2yzcos(B?C)

?x2?2(zcosB?ycosC)x?(zcosB?ycosC)2?(zsinB?ysinC)2?(x?zcosB?ycosC)2?(zsinB?ysinC)2?0当且仅当x?ycosC?zcosB且ysinC?zsinB时取等号

（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos—Mordell）不等式：

在?ABC内部任取点P，dA,dB,dC分别表示由点P到顶点A,B,C之间的距离，da,db,dc分别表示由点P到边BC,CA,AB的距离，则dA?dB?dC?2(da?db?dc)（4）外森比克不等式：

设?ABC的边长和面积分别为a,b,c和S，则a2?b2?c2?43S，当且仅当?ABC为正三角形时等号成立.

5．费尔马(Fermat)问题：在?ABC中，使PA?PB?PC为最小的平面上的P点称为费尔马点.当

?BAC?120?时，A点为费尔马点；当?ABC中任一内角都小于120?时，则与三边张角为120?的P点为费尔马点.

例题：已知?ABC，设I是它的内心，?A,?B,?C的内角平分线分别交其对边于A/,B/,C/，求证：

1AI?BI?CI8??.///4AA?BB?CC27IA/A/BA/Ca???证明：令BC?a,CA?b,AB?c，由角平分线定理，易得IAcbb?cIAb?c1b?cb?cAA/a?b?c????1?∴∴易得

2b?c?b?ca?b?cAA/a?b?cIAb?c∴

IAb?c1IBa?c1ICa?b1??(,1)??(,1)??(,1)同理，

222AA/a?b?cBB/a?b?cCC/a?b?cIA/IB/IC/???2处理（1）则

AABB/CC/令

IA1IB1IC111??t,??t,??tt,t,t?(,1),t?t?t?，则123123123///22222AABBCC311?1?(?t1)?(?t2)?(?t3)??11122??8∴(?t1)(?t2)(?t3)??2222327??????1111111∴(?t1)(?t2)(?t3)??(t1?t2?t3)?(t1t2?t2t3?t3t1)?t1t2t3?

22284241AI?BI?CI8?∴?

4AA/?BB/?CC/27IAIBIC1?x,?y,?zx,y,z?(,1)x?y?z?2处理（2）令，则，且///2AABBCCx?y?z381113139)?∴xyz?(，xyz?x(2?x?z)z?(2??z)z?(?z)z?[?(z?)2?]327222224161139又?z?1（[?(z?)2?]在区间端点取到最小值）224161391391∴xyz?[?(z?)2?]?[?(1?)2?]?

241624164处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换令a?m?n,b?n?k,c?k?m

AI?BI?CIm?n?2km?2n?k2m?n?k???///2(m?n?k)2(m?n?k)2(m?n?k)AA?BB?CC(m?n?k)3?(m?n?k)3?(mn?mk?nk)(m?n?k)?mnk1??348(m?n?k)说明：

证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）

a?x?y,b?y?z,c?z?x,(x,y,z?0)，反之，若三个正数a,b,c可以表示为上述形式，则a,b,c一

定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用x,y,z表示，有关三角形的一些几何不等式都可以化为关于x,y,z的代数不等式

（四）几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：有关线段的最大最小问题；三角