数值分析试题及答案

1y=f(x)-2-1.75-10.25y=f(x)-2-1.75-10.2524.25一、填空题(20×2′)6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的i=0xpB。xx22 。 二、判断题(10×1′)iiijj=18、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步三、计算题(5×10′)|12311233(5x4x+3x=12〈xx+〈xx+x=4123(5x4x+3x=12|2.6x20.2x15.823(-0.2,2.6)最大元在第三行，交换第二与第三行：(5x4x+3x=122+0.4=1.623(5x4x+3x=123回代得：(x=3.00005|1〈x=5.99999|x2=1.000103出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xxif(xi)f’(xi)11xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+1.xi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]4113314503、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——(2xx+x=1|x12x+5=6〈1〈134(2xx+x=1|1x+xx4=3123(2xx+x=1|1x+xx4=312351.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0a1a2…an×10s(a1丰0)的绝对误差|x*－x)．t2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()．「2-100]「5210](A)||，(B)||L00-12」L0012」「52-10]「4211](C)||(D)||4.等距二点的求导公式是()fxkykykf,(xk)=(yk-ykykyk5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是y=1(y+y)k+12pc6n8.牛顿－科茨求积公式jbf(x)dx~xnAf(x)，则xnA＝.akkkfxQx间内，则在有根区间内任初始值，迭代解都收敛．11.用简单迭代法求线性方程组|123|123123123100ly(x)=00在等距节点a=x0<x1<…<xn=b处的数值解近似值的梯形公式为hABAB5.D6.0.05|x2|+0.005|x1|7.11.写出迭代格式7(x(k+1)=0+0.375x(k)0.25x(k)+2.5|123〈x(k+1)=0.3636x(k)+0+0.0909x(k)+3|1|2(x(2)=0+0.37530.253+2.5=2.875|1|2|1|2xxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差061434661f(0,1,3,4,6)=j3f(x)dx=h[f(x)+f(x)1208+2(f(x)+f(x)+f(x)+f(x)+f(x)+f(x)+f(x))](9分)123456728||有迭代公式kkkkxk用求积梯形公式，有hy(xk+1)必yk+1=yk+2[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n－1)题(1)设A=「1L3510w12 12 1 (3)3x*的相对误差约是x*的相对误差的倍。39n+1n1+f'(x)|(4)求方程x=f(x)根的牛顿迭代公式是x=x-x-f(n+1n1+f'(x)|n(5)设f(x)=x3+x-1，则差商f[0,1,2,3]=1。 1 (7)已知A=，则条件数Condw(A)=9x充分大时,应将ln(x-x2-1)改写为-ln(x+x2+1)。(9)n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n-1次。(10)拟合三点(x,f(x))，(x,f(x))，(x,f(x))的水平直线是y=1x3f(x)。1122333ii=1(2x-x+x=1B=J0-10-0.5]-10」B的特征多项式为Jj入105入051J12J123J三、(10分)定义内积(f,g)=j1f(x)g(x)dx0的最佳平方逼近元素p(x)。的最佳平方逼近元素p(x)。1v(x)=1，v(x)=x，01(v,v)=j1x2dx=1，(v,f)=j1xdx=(v,v)=j1x2dx=1，(v,f)=j1xdx=2，110300301103003(v,f)=j1x102xdx=。5法方程||=||412解得c=，c=。所求的最佳平方逼近元素为151151515四、(10分)给定数据表10-12xy试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解:y(x)=c+cx+cx2+cx30123法方程0]0ATAc=ATy0123得到三次多项式3)依据如下函数值表xxf(x)20]13「x]4x20]13「x]4x2=xL(x)=x3f(x)l(x)=l(x)+9l(x)+23l(x)+3l(x)=一11x3+45x2一1x+1从而3ii0123442i=0334!012334!0123f(4)(飞)14!4!R(x)=(2.2一0)(2.2一1)(2.2一2)(2.2一4)共根4!4!分)用矩阵的直接三角分解法解方程组解设01212040|11313l|l==l33L1ll1l]「1]0u2uu0]uuuu由矩阵乘法可求出u和lijij4142「14142|lLll|u22L解下三角方程组|L0101l2uu|=||0]「1020]|=||33|||||=4L7」41234|L013636|=|||=441234x116f(4)=(1+12+36+24)exmaxf(4)(x)=f(4)(1)=198.43截断误差为R三(2_1)5maxf(4)(x)=0.06890八.(10分)用Newton法求方程x_lnx=2在区间(2,w)内的根,要求xk_xk_1<10_8。xk解：此方程在区间(2,的)内只有一个根s，而且在区间(2，4)内。设f(x)=x_lnx_2则f''(x)=x=x_x_lnx_2kk=，k=0,1,2,^k+1k1xk04xxf(x)f'(x)1120Hx)，使其满足条件5(H(x)=f(x),i=0,1,2,35ii〈l'()=f(),i5iii解：先建立满足条件p(x)=f(x)，i=0,1,2,33i的三次插值多项式p(x)。采用Newton插值多项式3p(x)=f(x)+f