北京第十中学高三数学理下学期期末试题含解析

北京第十中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体中与异面直线，均垂直的棱有（

）条．1．

2．

3．

4．

参考答案：D略2.“sinα=cosα”是“cos2α=0”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3.将一个长、宽、高分别为3、4、5的长方体截去一部分后，得到的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．24

B．48

C．30

D．60参考答案：B由题得几何体原图就是在一个长3宽4高5的长方体的上面割去了一个底面是直角三角形的棱柱,所以.故选B.

4.定义两种运算：，，则是（

）函数． （

） A．奇函数

B．偶函数

C．既奇又偶函数

D．非奇非偶函数参考答案：A略5.已知P为双曲线右支上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1，F2为双曲线的左、右焦点，则（）A.1 B.-1 C.2 D.-2参考答案：B【分析】设出P的坐标，求出Q坐标，求出焦点坐标，利用向量的数量积求解即可．【详解】P为双曲线x2﹣y2＝1右支上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1（，0），F2（，0）为双曲线的左，右焦点，设P（t，m），则Q（t，﹣m），根据点P在双曲线上得到：t2﹣m2＝1，则（t，m）?（t，-m）＝t2﹣m2﹣2＝1﹣2＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的求法，考查计算能力．6.三个数之间的大小关系是（

）。A.

B.

C.

D..参考答案：C7.一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．2 B． C．3 D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥底面面积S=×2×2=2，棱柱高为：2，故棱柱的体积为：4，棱锥的高为：1，故棱锥的体积为：，故组合体的体积V=4﹣=，故选：D．8.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是

A．

B．

C．(1,0)

D．(1，)参考答案：B本题考查了极坐标方程与普通方程的相互转化的相关知识，容易题．由，有，化为普通方程为，其圆心坐标为，所以其极坐标方程为，故应选B．9.设函数则（）A． B．1 C． D．参考答案：A10.A．9

B．8

C．4

D．2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图的程序，则输出的结果等于____参考答案：【知识点】程序框图

L12500解析：由题意可得，也可得，这时【思路点拨】由程序框图可计算结果.12.已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为、、、F，延长与交于点P，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_____________．参考答案：13.若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线(a＞0)的右焦点，则实数a的值为

．参考答案：1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线的右焦点为（，0），由题意可得为=2，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，同时考查抛物线的焦点，考查运算能力，属于基础题．14.已知，若，则

_______。参考答案：0或2略15.从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个，则所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率为．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再列举法求出所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除包含的基本事件个数，由此能求出所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个，基本事件总数n=，所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除包含的基本事件有：123，125，325，134，145，345，共6个，∴所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率为：p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．16.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(秒)的函数，则d=______________其中参考答案：17.已知向量，则向量在向量的方向上的投影是

．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．19.已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率e＝，过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A.B

（l）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上一点，且满足（0为原点），当时，求实数

的取值范围．参考答案：（l）（2）（﹣2，﹣）∪（，2）【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8解析：（1）由题知a2=m，b2=1，∴c2=m﹣1∴，解得m=4．∴椭圆的方程为．（4分）（2）当l的斜率不存在时，，不符合条件．（5分）设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：，．消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，∴△=（6k）2﹣4×（4+k2）×5=16k2﹣80＞0，解得k2＞5．且，，∴==由已知有＜整理得13k4﹣88k2﹣128＜0，解得，∴5＜k2＜8．（9分）∵，即（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0当λ=0时，，，显然，上述方程无解．当λ≠0时，，．∵P（x0，y0）在椭圆上，即+=1，化简得．由5＜k2＜8，可得3＜λ2＜4，∴λ∈（﹣2，﹣）∪（，2）．即λ的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，2）．（12分）【思路点拨】（1）由题知a2=m，b2=1，∴c2=m﹣1，且离心率为，得m=4．由此能求出椭圆的方程．（2）当l的斜率不存在时，，不符合条件．设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：，消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．20.（本小题满分12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数的值；

（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组抽取的员工的人数分别是多少？

（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.参考答案：(1)由题设可知，，.

…………2分

(2)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名员工中抽取名员工，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为.所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．

……………6分(3)设第1组的1位员工为，第2组的1位员工为，第3组的4位员工为，则从六位员工中抽两位员工有：共种可能．

…………10分其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，

…………11分所以至少有1人年龄在第3组的概率为．

…………12分21.“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）C（0）的实际意义是不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，依题意，C（0）==4，可求得k，从而得到y关于x的函数关系式；（Ⅱ）利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）C（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元

∵C（0）==4，∴k=1000；

∴y=0.2x+=0.2x+，x≥0﹒﹒（Ⅱ）y=0.2（x+5+）﹣1≥0.2×20﹣1=7当x+5=，即x=15时，ymin=7∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元

【点评】本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于中档题．22.（本小题满分12分）如图，焦距为的椭圆的两个顶点分别为和，且与共线．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．参考答案：【知识点】椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系.

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