黑龙江省伊春市宜春太平中学高二数学理测试题含解析

黑龙江省伊春市宜春太平中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是()A．－<x<3

B．－<x<0

C．－3<x<

D．－1<x<6参考答案：D2.已知正四棱锥S--ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：C3.在中，若，，，则（

）A．

；

B．；

C．；

D．；参考答案：A4.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（

）A.［-2，-1］

B.［-2，1］

C.［-1，2］

D.［1，2］参考答案：C略5.已知，若直线xcosθ+2y+1=0与直线x﹣ysin2θ﹣3=0垂直，则sinθ等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．【解答】解：由题意可得﹣?=﹣1，即sinθ=，故选：D6.若函数的图象如图所示，且，则（

）

参考答案：A7.四面体P--ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的k*s*5uA．外心

B．内心

C．垂心

D．重心

参考答案：A略8.下列命题正确的是A．若a2＞b2，则a＞b

B．若＞，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞b

D．若＜，

则a＜b参考答案：D略9.设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为Ks5uA． B． C． D．

参考答案：A10.如图是2012年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是A．84，4.84

B．84，1.6

C．85，1.6

D．85，4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆，则过点的圆的切线方程是__________．参考答案：∵点在圆上，且，∴过点的且切线斜率不存在，故切线方程是：．12.命题“若，则”的逆否命题是

.参考答案：若，则13.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是_________.-参考答案：14.若点分别是双曲线的左、右焦点，点P为双曲线上一点且满足△的面积为5，则双曲线左焦点F1到其中一条渐近线l的距离为

．参考答案：15.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，b=2，B=45°，则角A=

．参考答案：30°【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理，求出sinA的值，再根据大边对大角以及特殊角的三角函数值，即可求出A的值．【解答】解：△ABC中，a=，b=2，B=45°，由正弦定理得，=，即=，解得sinA=，又a＜b，∴A＜B，∴A=30°．故答案为：30°．16.若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．参考答案：【考点】基本不等式；直线和圆的方程的应用．【分析】依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+，求得ab的取值范围．【解答】解：∵直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，∴直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），∴有a+2b=1，∴ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+≤，∴ab的取值范围是．故答案为：．17.设?，若，求的最小值为：_____

__

参考答案：-5

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C；y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）；（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．【解答】解：（1）将（1，﹣2）代入y2=2px，得（﹣2）2=2p?1，所以p=2．故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=﹣1．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，代入抛物线方程得y2+2y﹣2t=0．因为直线l与抛物线C有公共点，所以△=4+8t≥0，解得t≥﹣．另一方面，由直线OA到l的距离d=可得=，解得t=±1．因为﹣1?[﹣，+∞），1∈[﹣，+∞），所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y﹣1=0．【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．19.已知曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求a，b值.（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数m的取值范围.参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)【分析】（Ⅰ）利切点为曲线和直线的公共点，得出，并结合列方程组求出实数、的值；（Ⅱ）解法1：由，得出，将问题转化为直线与曲线的图象有两个交点时，求出实数的取值范围，然后利用导数研究函数的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数的取值范围；解法2：利用导数得出函数的极小值为，并利用极限思想得出当时，，结合题意得出，从而得出实数的取值范围。【详解】（Ⅰ），，；（Ⅱ）解法1：，函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.，当时，在单调递减，当时，在单调递增，时，取得极小值，又时，；时，，；解法2：，，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，时，取得极小值，又时，，.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率。

20.已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早高考中经常涉及21.以直线与的交点，及组成三角形为边上的中点，求：（1）所在直线方程（2）三角形的面积。参考答案：解：由得（1，1），点的坐标为，直线的斜率为2，所以的直线方程为，即

直线的，点到直线的距离=1，又略22.（12分）已知函数f（x）=+alnx﹣2，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直．（1）求实数a的值；（2）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R），若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数b的取值范围；（3）若不等式πf（x）＞（）1+x﹣lnx在|t|≤2时恒成立，求实数x的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）根据导数的几何意义，得f′（1）=﹣1，解得a，（2）g（x）=+lnx+x﹣2﹣b（x＞0），g′（x）=，可得当x=1时，g（x）取得极小值g（1）；可得函数g（x）在区间上有两个零点，?，解得实数b的取值范围；（3）πf（x）＞（）t+x﹣lnx在|t|≤2时恒成立，?f（x）＞﹣t﹣x+lnx，即t+x2﹣2x+2＞0在|t|≤2时恒成立，令g（t）=xt+x2﹣2x+2，x＞0，只需g（﹣2）＞0，即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直，∴f′（1）=﹣2+a=﹣1，解得a=1．（2）g（x）=+lnx+x﹣2﹣b（x＞0），g′（x）=，由g′（x）＞0，得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间为（0，1），当x=1时，g（x）取得极小值g（1），∵函数g（x）在区间上有两个零点，∴?，解得1，∴b的