2021年广东省春季高考数学模拟试卷4含解析

2021年广东春季高考数学模拟试卷(14)

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题(本大题共15小题，每小题6分，满分90分)

1.已知集合4={.f+3%一440},集合8={xeZ|—2<x<4},则AB=()

A.{-2,1,0,1}B.{-1,0,1,2,3}C.{0,1}D.{1}

【答案】A

【解析】

【分析】

先分别化简两集合，再求交集，即可得出结果.

【详解】

因为集合4={才》2+3%-4<0}={%]-4<%<1},

集合8={xeZ|-2<x<4}={—2,-1,0,1,2,3},

所以AcB={-2,—l,0,l}.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.

2.已知向量4=(2,3),匕=(3,2),贝!||:一％|=()

A.72B.2

C.572D.50

【答案】A

【解析】

【分析】

求出£_〃的坐标，再利用向量模的公式计算即可.

【详解】

由已知，。一人=(2,3)—(3,2)=(—1,1),

所以|/_切=J(—l)2+F=0.

故选：A.

【点睛】

本题考查向量模的坐标运算，是基础题.

3.函数/(力=手1的定义域为()

A.[―1,2)D(2,+oo)B.(―1,+co)

C.[-1,2)D.[—l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数/(x)的定义域.

【详解】

yjx1x+120

对于函数/(%)=旺？•，有《，解得xN—l且了W2.

2—x，—xwu

因此，函数"x)=31的定义域为［-1,2)D(2,M).

2-x

故选：A.

【点睛】

本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

23~x-l.x,,1

4.已知函数/(》)=3+log：x/〉l，则/(/(4))=()

.2

1

A.3B.4C.5D.-

4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式求出/(4)的值，即可得f(/(4))=f(1),计算即可得答案.

【详解】

’2””一1,%,1

解：根据题意，函数/(x)=«3+log|%x＞「

.2

则〃4)=3+logI4=3-2=1,

2

M/(/(4))=/(l)=22-l=3.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题.

5.已知不等式收2一版—120的解集是同一3。＜一2},则不等式/+法+〃＞0的解集是()

A.一,或无>1}B.<-1x>-I

C.{x|xv-2或x>3}D.{天|工〈一3或1>2}

【答案】B

【解析】

【分析】

先由已知不等式的解集求出“，再代入所求不等式求解，即可得出结果.

【详解】

因为不等式加一床一120的解集是{+2},

所以—3和-2是方程ar?—bx—1=0的两根，

h\5

—=-3-2b=

6

则，解得，

—=—3x(—2)a=

、Q、~6

-\>0,即(x—w)(x+1)>0,

因此f+fex+a>0即为x?

o

解得或

6

故选:B.

【点睛】

本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查解一元二次不等式，属于基础题型.

6.已知角a的终边经过点P(4,—3),则2sina+cosa的值等于()

2432

A.---B.一C.--D.一

5555

【答案】A

【解析】

【分析】

根据角a的终边过点尸（-4,3）,利用任意角三角函数的定义，求出s山a和cosa的值，然后求出

2s加a+cosa的值.

【详解】

因为角a的终边过点尸（4,—3）,r=OP=5,

所以利用三角函数的定义，

34

求得=-w，cosa=1，

342

2sina+cosa——x2H—=—,故选A.

555

【点睛】

本题主要考查三角函数的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.

91Q2Q

7.计算（：）2_（_2.5）°-（^-）3+（1）-2的结果为（）

51253

A.—B.—C.—D.一

22182

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指数的运算法则以及零次幕求解即可.

【详解】

44

Q1QZQ

(12-(-2.5)°-(1-)3+(-)-2+

9-9-

一5；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.

8.如果〃是4和c的等比中项，则函数y=ay2+bx+c的图像与x轴交点个数是()

A.0B.1C.2D.0或2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据。是。和c的等比中项，得到从=ac，且ac>0,然后表示出此二次函数的根的判别式，判断出根

的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数.

【详解】

解：由力是a和c的等比中项，得到〃=这，且ac>()，

令浸+4c+c=O(axO)

则△=/-4ac=ac-4ac=-3ac<0■

所以函数y=0^2+bx+c的图象与x轴的交点个数是0.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与x轴的交点个数，属于基础

题.

9.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000

元，设木工x(xNO)人，瓦工y(yNO)人，则关于工资羽)'满足的不等关系是()

A.5x+4y<200B.5x+4y>200

C.5x+4y=200D.5x+4yW200

【答案】D

【解析】

【分析】

木工所付工资与瓦工所付工资的和小于现有工资预算.

【详解】

由题意，可得500x+400”20000,化简得5x+4yV200.

故答案为：D.

【点睛】

应用题答题的关键是审题，此题为简单题.

10.已知三条直线“，b,C满足：a与匕平行，。与C异面，则人与C()

A.一定异面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出ABD错误，再利用反证法结合平行公理即可

得到6与C不可能平行.

【详解】

如图所示：

。与C可能异面，也可能相交，不可能平行.用反证法证明一定不平行，假设6//C,又。//。，则a//c,

这与己知。与c异面矛盾，所以假设不成立，故人与c不可能平行.

故选：C.

【点睛】

熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线定义是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属于基础

题.

11.两圆G：f+y2=16,G：/+y2+2x+2y—7=(),则两圆公切线条数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两圆的位置关系即可得解.

【详解】

两圆G：/+>2=16,圆心G(o,o),半径为明

22

C2:x+y+2x+2y-7=0,

其标准方程为(x+l『+(y+l)2=9,圆心G(-1，T)，半径为3，

圆心距|£G|=V5,|4—3|<&<|4+3],

即两圆相交，所以公切线恰有两条.

故选：B

【点睛】

此题考查两圆位置关系的判断，通过圆心距离与两圆半径的关系判定两圆位置关系，进而得出公切线的条

数.

12.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别().

124

20356

3011

412

A.23与26B.31与26C.24与30D.26与30

【答案】B

【解析】

【分析】

根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.

【详解】

根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为31,

又由中位数的定义，可得数据的中位数为26,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答

的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

；（：二）则"2。2。）=（）

13.已知函数/（x）=<

B.-2020C.1D.2020

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用分段函数及周期性求得/（2020）=/（0）—2020,再代入计算即得结果.

【详解】

21

厂，元<1,

函数〃x）="

/（x-i）-i,x>r

则/（2020）=/（2（）19）—1=/（2018）—2=…=/（0）-2020=0-2020=-2020.

故选：B.

【点睛】

本题考查了分段函数求函数值，属于基础题.

14.在A6C中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,已知"+6一62=疯力，且

acsinB=2\/3sinC>则8c=（）

1

A.—B6D.6

22

【答案】B

【解析】

【分析】

利用余弦定理可得C=工，再利用正弦定理的边角互化可得ab=2百，根据三角形的面积公式即可求解.

6

【详解】

cosC="~/—°2=且,VCG(O,7T)

2ab2、

Tt1

...C=一，sinC=-

62

QacsinB=26sinC>acb-2垂>c，

即ab=26

'•SABC~—«^sinC=—-2^3sinC=A/3x—=-

2222

故选：B.

【点睛】

本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

15.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重

要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的

图形，点尸在半圆。上，且点C在直径AB上运动.设AC=a,BC=b,则由ECN0E可

以直接证明的不等式为()

AOCA

A.~~~~~(tz>0,/?>0)B.a1-\-b2>2ab(a>0,/?>0)

c.~^<4ab(a>0,b>0)D.与l©^(a>0,b>0)

【答案】D

【解析】

【分析】

由。、6分别表示OF、CF,再由EC2"即可得解.

【详解】

不妨设点C在半径OB上运动.

/OCa-b

由图形可知：OF=-AB=

22

在Rt_OCF中，由勾股定理可得CF

2

FC>OF,.,.竺,（。＞0,。＞0）.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了数学文化及基本不等式的证明，考查了运算求解能力，属于基础题.

二、填空题

3TC

16.已知ae（0,乃），sintz,则tan（a-1）=

【答案】或-7

【解析】

3-1

43/71tan«-1_4

由己知得，cos（z=±—,贝!Itanaut：,所以tan|a-i或

541+tanaj+37

4

_3_]

71tancr-1_4_7

tana----

I41+tana「3

-4

17.已知数列｛q｝的前项和S“=〃2-〃，则数列｛凡｝的第4项是.

【答案】6

【解析】

【分析】

根据。“与S”的关系，即可得答案；

【详解】

22

a4=S4-5?=(4-4)-(3-3)=6,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查凡与S”的关系，属于基础题.

13

18.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现优质品的概率为-，出现合格品的概率为士,

84

其余为次品.在该产品中任抽一件，则抽到的为次品的概率为.

【答案】|

【解析】

【分析】

根据对立事件的概率公式求解即可.

【详解】

由题意，在该产品中任抽一件，“抽到次品”“抽到优质品和合格品”是对立事件，

131

••.在该产品中任抽一件，“抽到次品”的概率为尸=1一(一+—)=一.

848

故答案为：一.

8

【点睛】

本题考查了对立事件的概率公式，属于基础题.

19.已知实数X,)满足方程(％—2)2+丁=1,则:的取值范围是

【答案】『行,三

【解析】

【分析】

设立=2，数形结合以及点到直线的距离即可求解.

X

【详解】

(%-2)2+/=1,圆心为(2,0),厂=1,

y

设二=%,:.y^kx,

x

12H

当直线与圆相切时d=/=1,

*±亘...T—q理工

333

所以上的取值范围是一£,事.

x[33

3~~-]

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线的斜率公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

三、解答题

20.在平面四边形ABCO中，己知4B=BC=C£)=1,AD=6

TT

(1)若/4=一，求sinNBOC；

6

(2)求GCOSA-COSC.

【答案】(1)也；(2)I.

2

【解析】

【分析】

(1)在人钻。中，利用余弦定理求出8D，进而在,88中求出sinNBDC；

(2)在AABD和"CD中分别使用余弦定理表示BD,联立方程组可得出百cosA-cosC的值.

【详解】

⑴在AABO中，AD=C，AB=1."=［，

6

BD2=l+3-2V3xcos—=4-2V3x—=1，得30=1,

62

所以BO=BC=8=1,4BDC=上,sin?BDC—；

32

⑵在△ABD中，由余弦定理得BO?=1+3—26COSA=4-2百cosA，

在,BCD中，由余弦定理得BO?=1+1—2cosC=2—2cosC，4-273cosA=2-2cosC，

得6cosA-cosC=1，所以百cosA-cosC为定值1.

【点睛】

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题.

21.如图，在四棱锥P-A3C。中，底面ABCQ为菱形，平面平面ABC。，PA=PD,

NBA。=60°.

A

（1）求证：AD±PB；

（2）若45=2,三棱锥A—皿肥的体积为1,求线段的长度.

【答案】（1）见解析（2）V6

【解析】

【分析】

（1）取AD中点M,连接PM,证出BM±AD，再利用线面垂直的判定定理证出AO_L

平面PMB，进而证出

（2）利用面面垂直的性质定理可得尸M_L平面ABCD,再利用等体法：

匕一"*=匕_„=；5M}/"尸加|=1求出|「〃1=百，在必PMB中,利用勾股定理即可求解.

【详解】

解：（1）取A力中点M,连接BM,

PA^PD,:.PM±AD.

•.•四边形ABCD是菱形，且NBAD=60°,

，AABD是正三角形，:.BM±AD-

又•.8M=M,4），平面尸

又・。3匚平面9\勿？，.・.4£），p8

（2）♦.•平面八4£＞，平面A3CD,且交线为A。，

；「加，AD，二PMJ_平面ABCO

在正三角形ABE）中，AD=2，

S..„=—x2x2xsin60°=G.

tsAtfLnJ2

由题意可知，匕m》=V…=；S；-1^1=1,

：.^Xy/3x\PM\=\,

PM'=下,

PM1.平面ABC