XX高一数学必修四平面向量的线性运算教学学案

PAGE班级姓名教师评价【学习目标】①知识与技能：掌握实数与向量的积的定义，并理解其几何意义。掌握实数与向量的积的，并会根据运算律熟练进行有关的计算。理解并掌握向量共线定理，并会判断两个向量是否共线；能灵活运用向量判断点共线，线共点等。【学习重点】实数与向量的积的定义，实数与向量的积运算律以及向量共线定理；【学习难点】对向量共线的充要条件的理解和运用。【自主学习】(一)课前回顾如何求作两个非零向量的和向量、差向量？（二）情景引入，设疑激趣2008年全国机器人大赛中，质点P按程序指令从O地向东走了10cm到达A地，再向东走了10cm到达B地,又从B地向东走了10cm到达C地。我们已经知道，质点从O地到达C地所走的总路程为（10+10+10）cm，也可以表示为3*10cm。若要表示机器人从O地到C地的位移呢？容易知道==,可设为，那么位移=++。模仿实数的运算，++能不能表示成3呢？（三）新课讲授1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：（1）=___________________________________;（2）当________________时，的方向与的方向相同；当____________时，的方向与方向相反，当_____________时，=。2、向量数乘和运算律，设为实数。（1）_______________________________；（2）_____________________________；（3）__________________________________________；特别地（4）（-λ）____________________=________________________；（5）_________________________________________；【自主质疑和合作探究】探究1你能解释上述运算律的几何意义吗？结合律是________，它的几何意义是________________________．第一分配律是________，几何意义是________________________．第二分配律是________，几何意义是________________________．探究2引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？向量共线定理（即两个向量共线（平行）的等价条件）如果共线，那么_________________作用:判定向量是否共线和判定点共线探究3向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量,，以及任意实数恒有=_________________________你能解释它的几何意义吗？将表示两个向量,的有向线段先分别伸长或缩短｜μ1｜，｜μ2｜倍，再相加（或相减），最后再伸长或缩短｜λ｜倍，与表示这两个向量,的有向线段先分别伸长或缩短｜λμ1｜，｜λμ2｜倍，再相加（或相减）所得的结果相同探究4与非零向量共线的单位向量是_________________探究5实数与向量可以相乘，仍然是一个向量，但能否进行加减运算呢？【典例剖析】例1计算（1）（-3）×4；（2）3（+）-(-)-;(3)(2+3-)-(4-3+).例2平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=，=，试用,表示向量、、、例3已知任意两个非零向量,，试作＝+，＝+2，＝+3，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？变式训练设,是两个不共线的非零向量，已知＝3-2，＝-2+4，＝-2-4，试判断A、C、D三点是否共线．例4在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD．求证：M、N、C三点共线．解析:用向量方法证明M、N、C三点共线，即证明向量与（或NC）共线，从而只要证明存在一个实数λ，使＝λ即可．规律总结:利用向量共线定理证明三点共线，是一种十分有效的方法．由三个点可得三个方向相同的向量，只要证明其中任意两个向量共线，就可得出三点共线．通过向量的几何、代数运算，找出两个向量的数乘关系，是解题的主体，通过中间向量（如本例中的,）沟通两个向量的共线关系，是解题的一个技巧．练习1证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．解析利用向量共线可以证明线段平行，利用向量的模长关系可以证明数量关系．2若存在实数λ，使=λ，则A、B、C三点的位置关系如何？3若P为AB的中点，则与、的关系如何？【课堂练习】练习.教材P.90练习第1，2，3，4，5，6题.【知识梳理】1、有关向量共线问题２、证明三点共线问题３、证明两直线平行的问题【总结反思】【巩固拓展训练】1、=___________。2、=_____________。3、=__________。4、=___________。5、=___________。6、=_________。7、=（）A．B．C．D．8、设两非零向量，不共线，且，则实数k的值为（）A．1B．-1C．