专接本线性代数基础复习

了我们的归属，选择了我们不愿面对的现实。那一刻，我们心痛鹰是世界上最长的鸟类，它一生的可达70岁要活那么长的它在40岁时必须做出却重要的决定。开始飞翔，重新再度过30年的岁月！我们是人。Cramer 第一 行列 行列式性 第二 矩矩阵的概 矩阵的运 几种特殊矩 逆矩 矩阵初等变 矩阵的 第三 线性方程 向量组的 第一 行列— 二阶行列

代数和 a12a21称为二阶行列式，

=a11a225

13

52(1)32 2：设D3

问：当D=0，当D≠01二 三阶行列

a23代数

a23

a23实线表示乘积项取“正”号，虚线表示乘积项取”负” 例1： (1)=

5=1×0×6+2×5×(1)+3×4×0—1×5×0—2×4×6—6

01

00的充分必要条件是 n一 排列与逆排列定义 由n个不同数码1，2，3，……n组成的有序数组i1,i2,in，称为一个（123443214级排列定义n级排列i1,i2,in中，如果有较大的数it排在较小的数is前面（isit则称itis构成一个逆序。一个n级排序中逆序的总数称为iN(i1,i2,in例：N（21 所以213为奇排 N（2315 所以23154为奇排N（12…… N（371245二 n阶行列例： a13a2Ka34a42a5L为5阶行列式中带负号项，求 D=

an

0

0

a11a22a33ann称为0D=0

00

0

a3n

a11a22a33ann称为

D=

0=a11a22a33ann称为

n阶行列式D=a的一 记为(1)N(i1i2in)N(j1j2jn

iji i i1iji i i 例

0 1：将行列式转置，行列式的值不变。DT 1=

aij变成a

1=— 1=—

0

2 D1

kai an 0

k

aian0

1 写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)Dbi1

bi2cian

bin D1

an2

D2

2

ci an

3

DD1D1

1

D

1+

5：将行列式某一行（列）k后加到另一行（列）

例：D=

a23=1

011011211021021102011201121210=1210=121021102110211010210210210202=—02004004002000xa aax aD=a a......aa xx(naa0x0 0xx(naa0x0 0x000一 行列式按某一行（列）展定义：nD=aij中去掉元素aij所在的第ijn-1阶子式，称为D中元素aij的式，记为Mij。 07

M

代数式概念：a的式M前添加(1)ij称为元素a的代数式。 Aij=(1)ijMD

aaa100D235002

D=ai1Ai1ai2Ai2ainAinj=a1jA1ja2jA2janj

★n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行（列）各元素与其对应代数式乘积的 15

解

13

0=a1jA1ta2jA2t...anjAnt(j0 例：

1A21+0A22(2A23 D,iaikAjkakiAkj0,ik

k

1.5法a11x1a12x2a21x1a22x211 12 推广到n

xDj(j ★D0x12x24x3

xy2z例：5x1x22x3 5x2y7z3xx

2x5y4z ★当线性方程组的常 a11x1a12x2a1nxna 21a

a22

a2nxnan1x1an2x2annxnD 齐次线性方程组D

x1x22x33x4

x2x3xx

1 例：3xxx

D 1

2 2x13x2x3

1 1 x4x x k2xx

0k 2x1x23x3kx4

1D

= 13(5k

k 1 方程组有非零解D0k 方程组仅有零解D0k第一章— 1aa(ab)ab212350ab111310c314bc0 311362 （8）236 5526231aabaabaaaab

0 11111x2222x311111x2222x3333x 1

x0

x

三 法则解下列线性方程组

x1x2x3x41x xx1 (3)x

xx

x1x2x3x4行列式的内容是求行列式值包括具体行列式的计算和个别抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型。主要方法是应用括：行列式的定义（阶行列式的值为取自不、不同列的个元素的乘积的、等的相关性质。第二 矩（单位：万元1234523445列的产值矩阵

由m×n个数aij(i1,2,.....m;j n)排成一个m行n列的矩阵表称为一个

a1n

an

a

2n或

2n

mn

mnA,B,C…….m和列数nAmxn表示，或记作(aijmn00矩阵，记作OAanA为n

Amn如果两矩阵A,B有相数与列数且对应位置元素均相等则称A与B相等记作一 矩阵的加法和数与矩阵的乘

A= 03 03

0 0

78 83

501

742

233二 数乘

1 1

2=2

222

222

=

2 2 矩阵运算律

AB

OmnlkABB3AO5kABkA7klAkl

ABCAB4AA6klAkA81A3A2B

A=

1 1

110

3A2B3 0

11 且且A2XA B 9 1

77

1B22322237

5 2

4

X=25

9

7

1

6

1 1验 A

n

A为nn

a1n

a1naa

2n

2n

a3n

a3n

an

ann

an

ann

a1nA

aa=n

2n a3n

=n

an

an

ann例：A(aijA2

AA 设矩阵A=(aik)mxl

的列数与矩阵B=(akj

llcijai1b1jai2b2jailbljaikbkj(i1,2,...m;j1,2nmlkl列矩阵Ccij)mxnaikbkj)ABAk★Amxn

3 例1：A 2，B

AB 31 1 031 213

2(2)3

2(3)30

AB11(2)

1(2)(2)

1(3)(2)0 53115

3(2)1

3(3)10 BAABBAABBAAB

A31

B 05 5

1 AB=3

0

0=321(4)551例3：A 0

B 11 1 1211 1 021 201121 11 01114

1x

2X

1

x12

1

x12 xx

，则有

x=1

22

22 2x11 2x12x22

=1 4

22 2x11x21 2x12x22所以

1

x111,x211,x120,x22

所以x1 AB)C=A(BC

⑵(AB)C=AB⑶C(AB)=CA

⑷k(AB)=

=★ABA

(AT)T

(A

AT

(

BT

Ak1

Ak1

(Ak1

一、A

ann

aij

i

（i,j1,2,...,n

①

ka nn nn11 11

a1 ②

a2

a n

n

n11 11

③

a n

n

nnAAT1A00

9 9

9 B 求02 02

A 二 数量矩阵A

对角矩阵A中，元素

aAn a

（前提是可乘）一个矩阵B，其乘积等于以数aB

A

，B

b2l

ABBA

...

nlAB

...

060322例：A 060322

B

12BA 22

0000 1

三 单位矩阵（I或E：I

n阶数量矩阵中元素a1A为单位矩阵，记作IE ImAmxnAmxn，AmxnIn★单位矩阵与任何矩阵左乘或右乘（前提是可乘）IAAAI四 三角形矩A

a2n

B

b nn阵

nn三 逆矩nAnBABBAIA称BA（AA的逆矩阵是唯一的）A=（aij）AAA1A1

An1A①代 式求逆矩阵：A1A

An1... Aij是|A|中元素aij的代数

nn 例：A=

10

|A|= 020A

1A11

0

0

A13

12

2

1

A22

1

A23

02

1

1

0 227于是A1= A1 227

1AA二 对角矩阵的逆矩阵

72 1 72

12 0

0

0

1 0A=

...，其中aii0(i1,2

...

1a nna

1

10 10

nn

A00

9 9

A1 0 09 9 2nA满足aA2bAcI0AA1（a,b,c常数，且c0）aA2bAcI

aA2bA c aA2bA (aAbIA AA1aAb 三、(AB)1B1

(A1)1A(AT)1(ABCAABCBAABOB一、（列㈡以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列（列）的l倍加于另一行（列I施以一次初等变换⑴I

01 01 1 1 1 ⑵I(i(k 1 1

i11I(ij(l))

111

A00

1 1 1

交换A的第一行得 101 01

0 1 00

1 1

I3(12)A00

01 1

1 21 1A=00

1 1 1

A2加于第一列得22

1 1 1

1

3 21 21

300

1 2 1 1

011

（（Amn（aij）mnD I

Or(nr D

(mr00

(mr)(nr)例1：A= 2 2

5AD22

3

3

3A= 5

1

1 220001 220001

00000 00000 0

0

1 0000 0000 1

0000 0000

00 00例2：A 0化为矩阵D的形 1

1 1

1 1

1 0 A

00

20

2

000 000

2

2二 ②（ A

10 3×6矩阵（AI3）I33 (AI3) 0

0 2 000270027

1 12 2 12 12 2★①补充同阶单位矩阵③将矩阵化成单位矩阵 例：A

3 1 4 1 0 3 2

3A1 21 1

1

1 2求逆矩阵方法 二阶的用扩充单位矩阵法 三阶的矩阵，若元素0较多用扩充单位矩阵法，否则用代数式一 K阶子式A(aij)mnkk列(kmin(mnkk阶子式： 例：A 0 0

53A0 0 子式 Am×nAr0r+1阶子式行列式值都ArrA)rA=0rA)0⑴r(A)r(AT ⑵0rmin(m,rA)min(mnA 例：A 0 01

0 0

r(A)

B 00 00

r(B) C 01 01

r(C)

D 0

r(D)二 000100120--044513A3r(A)

1 1

A

2

2

r(A)110113110113312

1112213r(A)

4A

3 1 5

512 12第二章（1）nA0A=0。二填空题如果A是一个mn矩阵，那么，A有 列；当m=1时，1n矩阵是 阵；当n=1时，m1矩阵是 A

a20

4,B

b 当A=B时 如果矩阵A满足AT=A，那么A 设A是三角矩阵，且A=0，那么的对角线上的元 数k乘矩阵A是把k乘以A 设A是一个mn矩阵，Ｂ是一个n5矩阵，那么AＢ是 矩阵，第i行第j列 设A、B是两个上三角矩阵，那么，(AB)T是 （kA－lB） 阵，其中k、l是常数。设A是一个三阶方阵，那么2A A

03 2

1（1）

（2）

0 6

3

1（3）0

01

3 70

（4）2nABAB＝BA（1）(AB)2A22AB（2）A2B2(AB)(A

1A

,B

ABA

1A

2,B

验证：AB)TBT

A

2 0 求 四 1（1） 2

00

（3）

0 0 五

45

7

（2）

111

44

11

22六

5

77

3

1X

89 689 132 132

112

2 （3） 1X0

（4）X 1

1

4七x1x2x3 x1x23x3（1）2xxx （2）2xxx xxx

八判断rA≥rAr

2 1010

（2）

3

（3） 400

32的数值运算。下面的表格分类列出了逆矩阵、伴随矩阵 、、三者之间 同样若可逆则有第三章a11x1a12x2a1nxna21a

a22

a2n

b2an1x1an2x2annxnbn

Ax

a1n

a2n b2称为系数矩阵，b 称为常数项矩阵

...

an

ann

bnx1 x2xn元未知量矩阵

Ax xn

b1

a2nb2（Ab）=

b n n2x12x2x3（消元法）x2x4x 5x7x

解：①×（1）+②，①×（5 ②×（3 2

9292x12x2x3

3x22x3

3x21

xx ①— 2x12x2

2x1

x1x xx x

xxxx

2xx3xx

（Ab）=

16 31

22

16 0

02 02

1 08

08

0

00 00

02 2

12

1 0 01 0 1

0 1

x1=1

x2=3

x3★消元法求解过程=x15x2x3x4x2xx3x

3x18x2x3x4x19x23x37x4解：对方程组的增广矩阵（Ab）

（Ab

0 0 70 70

448 48

1

11 4

44

00000 00000 00000000 00000000

0 03 3

x x

133x13

7

42x4

7 7xxxcxc（c，c为任意常数）则方程全部解

x3x

x

1

1

31（A

4

4

41100230006 14 100230006

2 920023 30000 1 920023 30000

3 r（A）=3，r（Ab）=4，r（A）r（Ab，所以无解

r(A)r(Ab)

rA)rAb) rA)r x1x2x33a取何值时线性方程组ax1x2x3

xxax

1a

（A11

11 a1

00

10

1a1a2a11a

x1当a1时，r（A）r（Ab）=3，方程组有唯一解x2ax x 当a1时，r（A）r（Ab）1<3x11c1设x=c，x= （c，c为任意常数，于是 x

x 3x齐次线性方程组 r（A）=n时仅有零解r（A）<n有（无穷解）m<n是（方程个数小于未知数个数）x1x25x3x4xx2x3x 3x1x28x3x4x13x29x37x4

（A

4 4

33

0 010 10

00 0010 00 00

400 0

0 0

r（A）24

0

00 0

x3xx

72 7

xcx

（ccx2

2x32x4

n定义：n维向量：nn维向量。一般用，，γ等希腊字母表示（α=（a1，a2，，an①行向量： ②

nbi称为向量的第i个分量。

n n=

a1na2n中的每一行（a

（a

...a

i

mn m维行向量，每一列a2j（j1,2n）m a amj=③零向量0的向量。④负向量：α=（a1，a2，，an）

kk(a1,a2....an)(ka1,

加 α+β=(a1b1,a2b2 anbn减 α-β=(a1b1,a2b2 anbn运算规律（1）α+β=β+α （6）（7） 5例：12,4,1,1)23,1,2,2312(2a1j

b1 xaxa.......x

a2j(j

b21 2 n

anj bna 线性方程组有解与否，就相当于是否存在一组数，x1k1,x2k2.....,xnkn 使性关系式k1a1k2a2k3a3.....knan成立。如果存在，则方程组有解，否则，无解。β可以表示上述关系式时，称向量β是向量组a1, an的线性组合，或者称β由向量组a1, an线性表示线性表示定义：对于给定向量β，a1,a2......an，如果存在一组数k1,k2 kn,使=k1a1k2a2k3a3.....knan成立。则称β是a1, an的线形组合，或称β可 an1，1212

1

2

3线性表示的充分必要条件：以a1,a2......an为列向量的矩阵与以a1, an，β为列任何一个n维向量α=（a1,a2......an）都是n维向量组1 2

，

1

的线性组合（因为：a11a22 ann零向量是任何一组量的线性组合（因为：0=0a10a2 0an向量组a1, an中任一向量j(1

js)都是此向量的线性组合。（因为：j0a1......1aj 0as例：判此向量14,3,1,1124,3,0,11是否各为向量组11,2,1,5解：①设kk

对矩阵(T,TT1 2 4

2 1秩

3=秩

= 所以可由

1

11

1 1 11k12,k2 (T,T

，21秩

1

21= 因此：所以2不可由1,2111,2......n0的数k1k2knk11k22.....knn0成立，则称 1,2......nk1k2kn0时，k11k22.....knn0成立，则称 3 例：16,24

1与2 1 112,21

12 ①对于m维向量组1,2......n，其中j(1j,2j,...,mj)(j1,2n) ,......线性相关的充分必要条件是，以T,T ②对于n个n维向量j(1j,2j,...,nj)(j1,2,...,n)，则向量组 n线A

an

=0不满秩（A0，满秩 对矩阵(T,T,

，秩

所以：1,2,3 11

A)证明如果,无关，则,证明：存在一组数k1k2k3k1(k2(k3()(k1k3)k1k2)k2k3)k1k3

1由,kk12

因为 020，故方程仅有0k 3k

即当且仅当kkk0时才成立所以：,无关⑥向量组1, s(s2)线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量是其余s⑦如果向量组1,2......s1,2......s线性无关，则可由1, s1、定义：n维向量组1,2......s中的一个线性无关的部分组j1,j2,.,jr(rsr已达到最大可能，即如果r个向量以外向量组中还有向量，那么任意r+1个向量构成的部分均线性相关，则j1,j2,...,jr称为向量组 s的一个极大例：二维向量10,1),21,0),31,1),40,23掌握定理：①如果j1,j2,...,jr是 充分必要条件是：1,2......s中的每一个向量可由j1,j2,.,jr②向量组 s的极大无关组所含向量个数，称为向量组的秩记r(1, 例：1(0,1),2(1,0),3(1,1),4 其秩r(1,2,3,4)2A的行向量组的秩称为行秩，将矩阵A12,4,2),21,1,0),32,3,1),43,5,2的一个极大无关组，并把其余 解：对矩阵A=（T，TT

3

11 11

5

1

1 1220001 220001

000 0001由最后一个矩阵可知：1,2为一个极大无关组，3212,41Ax解的性质：V1,V2是齐次线性方程组的两个解，则V1V2②如果V是齐次线性方程组的解，则cV也是它的解（c为常数③如果V1,V2,...,Vs都是齐次线性方程组的解，则其线性组合：c1V1c2V2csVs也是它的解，其中c1c2cs基础解系：齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组（V1,V2,...,Vsx1x25x3x4xx2x3x 3x1x28x3x4x13x29x37x4

解：对增广矩阵（AO）施以初等行变换（AO）

300 00 0

1

2

10 4

1002100

40

0 00 0044044

8

0

0 0 0x3x

2 2即原方程组与

x3,

x2

2x3

3

1x

1

7

2010让自由未知量010

3取值

得方程