高中数学课时作业二十二棱柱棱锥棱台的表面积和体积新人教A版必修第二册

课时作业(二十二)棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练基础1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为()A．22B．20C．10D．112．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)3．[2022·湖南衡阳高一期中]若正三棱锥的底面边长为2，其体积为eq\f(\r(23),3)，则该正三棱锥的侧棱长为________．4．[2022·福建厦门高一期中]如图为正四棱锥P­ABCD，PO⊥平面ABCD，BC＝3，PO＝2.(1)求正四棱锥P­ABCD的体积；(2)求正四棱锥P­ABCD的表面积．提能力5.[2022·河北沧州高一期末]已知四棱锥P­ABCD的高为4，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图A′B′C′D′如图所示，已知A′B′＝C′D′＝3，A′D′＝B′C′＝2，则四棱锥P­ABCD的体积为()A.16B．18C．20D．246．[2022·江苏镇江高一期末]斜三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，则该斜三棱柱的体积为()A．eq\f(1,6)SaB．eq\f(1,3)SaC．eq\f(1,2)SaD．Sa7．(多选)[2022·山东潍坊高一期末]已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则()A．正四棱台的高为2B．正四棱台的斜高为eq\r(3)C．正四棱台的表面积为20＋12eq\r(3)D．正四棱台的体积为eq\f(28\r(2),3)8．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．9．正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2，求其体积．10．[2022·湖南师大附中高一期中]如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是正三角形，AB＝AA1＝2eq\r(2)，BC边上的中点为D.(1)求四棱锥C1­A1B1BA的体积；(2)求三棱柱ABC­A1B1C1截去三棱锥C1­ACD后所得几何体的表面积．培优生11.[2022·广东汕头高一期末]斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓(yùn)都”或“壍(qiàn)堵”：其上底是一矩形，下底是一线段．有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤(mào)为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是________．12．[2022·河北师范大学附中高一期中]学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，(1)计算制作该模型所需原料的质量；(2)计算该模型的表面积(精确到0.1).参考数据：eq\r(13)≈3.61，eq\r(15)≈3.87，eq\r(17)≈4.12.课时作业(二十二)棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1．解析：所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.故选A.答案：A2．解析：∵V三棱锥C­A′B′C′＝eq\f(1,3)V三棱柱ABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴V四棱锥C­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：C3．解析：由题意得，正三棱锥的底面边长为2，由正弦定理知，底面三角形外接圆半径为eq\f(1,2)×eq\f(2,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)，底面三角形面积为eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，设三棱锥的高为h，又因三棱锥体积为eq\f(\r(23),3)＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×h，所以三棱锥的高为h＝eq\r(\f(23,3))，所以侧棱长为eq\r(（\f(2\r(3),3)）2＋（\r(\f(23,3))）2)＝3.答案：34．解析：(1)根据题意，得VP­ABCD＝eq\f(1,3)·SABCD·OP＝eq\f(1,3)×3×3×2＝6.(2)如图所示，作BC的中点E，连接OE，PE，则PE＝eq\r(OE2＋OP2)＝eq\r(\f(9,4)＋4)＝eq\f(5,2)，故正四棱锥P­ABCD的表面积S＝4S△PBC＋SABCD＝4×eq\f(BC·PE,2)＋AB·BC＝24.5．解析：由题意可知，四边形ABCD为矩形，因为直观图中A′B′＝C′D′＝3，A′D′＝B′C′＝2，所以AB＝3，AD＝4，所以矩形ABCD的面积为3×4＝12，所以四棱锥P­ABCD的体积为eq\f(1,3)×4×12＝16.故选A.答案：A6．解析：在斜三棱柱ABC­A1B1C1的一侧补上一个三棱柱ACD­A1C1D1，使之成为一个平行六面体AA1D1D­BB1C1C，如图，显然，它的体积为V＝aS，所以斜三棱柱ABC­A1B1C1的体积为eq\f(1,2)V＝eq\f(1,2)aS.故选C.答案：C7．解析：对于A，∵正四棱台上下底面对角线长为2eq\r(2)，4eq\r(2)，∴正四棱台的高h＝eq\r(22－（\f(4\r(2)－2\r(2),2)）2)＝eq\r(2)，A错误；对于B，正四棱台的斜高h′＝eq\r(22－（\f(4－2,2)）2)＝eq\r(3)，B正确；对于C，∵正四棱台侧面积为4×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝12eq\r(3)，上下底面面积分别为4，16，∴正四棱台的表面积S＝4＋16＋12eq\r(3)＝20＋12eq\r(3)，C正确；对于D，正四棱台的体积V＝eq\f(1,3)(4＋eq\r(4×16)＋16)×eq\r(2)＝eq\f(28\r(2),3)，D正确．故选BCD.答案：BCD8．解析：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56，∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝(eq\f(AC,2))2＋(eq\f(BD,2))2＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.∴直四棱柱的底面积S底＝eq\f(1,2)AC·BD＝20eq\r(7).∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20eq\r(7)＝160＋40eq\r(7).9．解析：正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．∵S侧＝4×eq\f(1,2)×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5cm，OE＝eq\f(1,2)AB＝10cm，∴O1O＝eq\r(132－（10－5）2)＝12(cm).故该正四棱台的体积为V＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3).10．解析：(1)设A1B1边上的中点为E.连接C1E，C1E⊥A1B1，又平面A1B1C1⊥平面A1B1BA，平面A1B1C1∩平面A1B1BA＝A1B1，则C1E⊥平面A1B1BA，即C1E为四棱锥C1­A1B1BA的高，C1E＝eq\r(（2\r(2)）2－（\r(2)）2)＝eq\r(6).所以四棱锥C1­A1B1BA的体积Veq\a\vs4\al(C1­A1B1BA)＝eq\f(1,3)Seq\a\vs4\al(A1B1BA)·C1E＝eq\f(1,3)(2eq\r(2))2·eq\r(6)＝eq\f(8\r(6),3).(2)由题意得AD＝eq\r(（2\r(2)）2－（\r(2)）2)＝eq\r(6)，C1D＝eq\r(（2\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝eq\r(10)，AC1＝eq\r(（2\r(2)）2＋（2\r(2)）2)＝4，从而AD2＋C1D2＝ACeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，所以AD⊥DC1，所以S△ADC1＝eq\f(1,2)·eq\r(6)·eq\r(10)＝eq\r(15)，所以eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2eq\r(2))·2eq\r(2)＋eq\f(1,2)(2eq\r(2))2＋(2eq\r(2))2＋eq\f(\r(3),4)(2eq\r(2))2＋eq\f(\r(3),8)(2eq\r(2))2＋eq\r(15)＝6＋4＋8＋2eq\r(3)＋eq\r(3)＋eq\r(15)＝18＋3eq\r(3)＋eq\r(15).所以三棱柱ABC­A1B1C1截去三棱锥C1­ACD后所得几何体的表面积为3eq\r(3)＋eq\r(15)＋18.11．解析：过A作AM⊥EF，垂足为M，连接MD，过B作BN⊥EF，垂足为N，连接CN，如图所示则三棱柱ADM­BCN为直棱柱，三棱锥E­ADM与三棱锥F­BCN全等，由题意得AB＝3，BC＝2，EF＝6，△BCN底边BC上的高为5，所以S△BCN＝S△ADM＝eq\f(1,2)×2×5＝5，所以该几何体的体积V＝S△BCN×AB＋2×eq\f(1,3)×S△BCN×NF＝5×3＋2×eq\f(1,3)×5×eq\f(3,2)＝20.答案：2012．解析：(1)因为E，F，G，H，分别为所在矩形各棱的中点，所以四边形EFGH为菱形．由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得EF＝FG＝GH＝HE＝eq\r(13).又因为O为长方体的中心，所以四棱锥O­EFGH的高h＝3.SEFGH＝4×6－4×eq\f(1,2)×2×3＝12，VO­EFGH＝eq\f(1,3)×12×3＝12.∴该模型体积为VABCD­A1B1C1D1－VO­EFGH＝6×6×4－12＝144－12＝132cm3.∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8g.(2)记平面ABCD的中心为O′，连接OO′，O′B，O′E，则OO′＝2，O′B＝3eq\r(2)＝OH，OE＝eq\r(OO′2＋O′E2)＝eq\r(13).由题意知，四棱锥O­EFGH的四个侧面为全等三角形