2023届南宁市重点中学数学高二第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设椭机变量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，则P(2＜X＜4)＝A．＋p B．1－p C．1－2p D．－p2．设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪3．（）A．0 B． C．1 D．24．已知两个随机变量X，Y满足X+2Y=4，且X~N1，  A．32，2 B．12，1 C．32，1 D．5．若复数满足（为虚数单位），则=（）A．1 B．2 C． D．6．对具有相关关系的变量，有一组观测数据，其回归直线方程，且，，则()A． B． C． D．7．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（）A． B． C． D．8．对于函数，有下列结论：①在上单调递增，在上单调递减；②在上单调递减，在上单调递增；③的图象关于直线对称；④的图象关于点对称．其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④9．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．25010．当取三个不同值时，正态曲线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A． B．C． D．11．已知等差数列前9项的和为27，，则A．100 B．99 C．98 D．9712．己知，则向量与的夹角为.A．30 B．60 C．120 D．150.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数则的最大值是________.14．已知一组数据，，，，的方差为，则数据2，2，2，2，2的方差为_______．15．已知函数.为的导函数，若，则实数的值为__________.16．某人从处向正东方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此时他离点的距离为千米，那么___________千米.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题：方程有实数解，命题：，.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围.18．（12分）设不等式|2x-1|<1的解集为M，且a∈M,b∈M.（1）试比较ab+1与a+b的大小；（2）设maxA表示数集A中的最大数，且h=max{219．（12分）设函数f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.20．（12分）对于函数y=fx，若关系式t=fx+t中变量t是变量x的函数，则称函数y=fx为可变换函数.例如：对于函数fx=2x，若t=2x+t，则t=-2x，所以变量t（1）求证：反比例函数gx=（2）试判断函数y=-x3（3）若函数hx=logbx为可变换函数21．（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.22．（10分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．（1）判断四面体的形状，并说明理由；（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由P（X＞4）=p的概率可求出P（2＜X＜4）．详解：∵随机变量X～N（3，1），观察图得，P（2＜X＜4）=1﹣2P（X＞4）=1﹣2p．故选：C．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．2、B【解析】试题分析：因为当时，有恒成立，所以恒成立，所以在内单调递减．因为,所以在内恒有；在内恒有．又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又因为不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集为∪，故应选．考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知化为；然后利用导数的正负性可判断函数在内的单调性；再由可得函数在内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数在内的正负性，即可得出所求的解集．3、C【解析】

根据定积分的意义和性质，，计算即可得出.【详解】因为，故选C.【点睛】本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题.4、C【解析】

先由X~N1，  22，得E(X)=1，D(X)=4，然后由【详解】由题意X~N1，  22因为X+2Y=4，所以Y=2-1所以E(Y)=2-12E(X)=故选C.【点睛】该题考查的正态分布的期望与方差，以及两个线性关系的变量的期望与方差之间的关系，属于简单题目.5、C【解析】试题分析：因为，所以因此考点：复数的模6、A【解析】

根据，，求出样本点的中心，代入回归直线方程，即可求解.【详解】由题：，，所以样本点的中心为，该点必满足，即，所以.故选：A【点睛】此题考查根据已知数据求回归直线方程，关键在于准确求出样本点的中心，根据样本点的中心在回归直线上求解参数.7、C【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有,所以所求概率为选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8、C【解析】

将原函数的导数求出来，分析其符号即可得出原函数的单调性，又，故函数的图象关于直线对称【详解】由得令得当时，，原函数为增函数当时，，原函数为减函数，故②正确因为所以函数的图象关于直线对称，故③正确故选：C【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性及函数的对称性，属于中档题.9、A【解析】试题分析：根据已知可得：，故选择A考点：分层抽样10、A【解析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定的大小.详解：由正态曲线的性质知，当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，所以.本题选择A选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.12、B【解析】

将数量积公式进行转化，可计算，从而可求.【详解】因为、，所以，则、，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查空间向量的夹角计算，难度较易.无论是平面还是空间向量的夹角计算，都可以借助数量积公式，对其进行变形，先求夹角余弦值，再求夹角.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

化简函数为，结合求最值即可.【详解】,由,,则的最大值为.【点睛】本题主要考查了三角函数的化一公式及区间上求最值的计算，属于基础题.14、2【解析】

根据方差的性质运算即可.【详解】由题意知：本题正确结果：【点睛】本题考查方差的运算性质，属于基础题.15、【解析】

通过对原函数求导，代入1即得答案.【详解】根据题意，，所以，故.【点睛】本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.16、6【解析】

根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案.【详解】根据题意作出图形，如图.设向正东方向走千米到处，然后向南偏西的方向走3千米到处.即,由正弦定理得：.所以又,所以.所以，则.所以.则.故答案为：6【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）【解析】

（1）由方程有实数根则，可求出实数的取值范围.

(2)为真命题,即从而得出的取值范围,由（1）可得出为假命题时实数的取值范围.即可得出答案.【详解】解：（1）方程有实数解得，，解之得或；（2）为假命题，则，为真命题时，，，则故.故为假命题且为真命题时，.【点睛】本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题.18、（1）见解析；（2）(2,+∞)．【解析】试题分析：（1）解不等式|2x-1|<1可得M=(0,1)，即a,b范围已知，然后比较ab+1和a+b的大小可用作差法；（2）很显然由a∈(0,1)，知2a∈(2,+∞)，同样2b∈(2,+∞)，对a+bab，a+bab≥2ab试题解析：（1），（2）∴考点：解绝对值不等式，比较大小，新定义．19、(1)见解析(2)1【解析】

（1）首先求出f（x）的定义域，函数f（x）的导数，分别令它大于0，小于0，解不等式，必须注意定义域，求交集；（2）化简不等式f（x）＞﹣x2，得：（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx，令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，求出g'（x），由x＞0，求出2+ln（x+1）＞2，讨论k，分k≤2，k＞2，由恒成立结合单调性判断k的取值，从而得到k的最大值．【详解】（1）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），函数f（x）的导数f'（x）=﹣2x+，令f'（x）＞0则＞2x，解得，令f'（x）＜0则，解得x＞或x＜，∵x＞﹣1，∴f（x）的单调增区间为（﹣1，），单调减区间为（，+∞）；（2）不等式f（x）＞﹣x2即1﹣x2+ln（x+1）＞，即1+ln（x+1）＞，即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，则g'（x）=2+ln（x+1）﹣k，∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，若k≤2，则g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上递增，∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立；若k＞2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可，结合K为正整数，故k的最大值为1．【点睛】本题主要考查运用导数求函数的单调性，求解时应注意函数的定义域，同时考查含参不等式恒成立问题，通常运用参数分离，转化为求函数的最值，但求最值较难，本题转化为大于0的不等式，构造函数g（x），运用导数说明g（x）＞0恒成立，从而得到结论．这种思想方法要掌握．20、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】分析：（1）利用反证法，假设gx是可变换函数，t=gx+t=kx+t⇒t2+tx-k=0，利用关变量t的一元二次方程无解但导出矛盾，从而可得结论；（2）利用φt=-tht=t+x3必须有交点，而φt连续且单调递减，值域为R，ht连续且单调递增，值域为R详解：（1）假设gx是可变换函数，则t=g因为变量x是任意的，故当Δ=x2+4k<0则与假设矛盾，故原结论正确，得证；（2）若y=-x3是可变换函数，则则有关t的两个函数：φt=-tht=ht连续且单调递增，值域为R，所以这两个函数φt与即：变量t是变量x的函数，所以y=-x（3）函数hx=log若b>1，则t恒大于logb若0<b<1，则y=ty=logbt+x点睛：本题主要考查函数的性质、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“可变换函数”达到考查函数性质的目的.21、（1）（2）【解析】

（1）抽到每件产品的可能性相同，直接做比即可（2）考虑剩余产品数目和剩余次品数目再做比例。【详解】设第一次抽到次品的事件为，第二次抽到次品的事件为.（1）因为有20件产品，其中5件是次品，抽到每件产品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率为.（2）第一次抽到次品后，剩余件产品，其中有件次品，又因为抽到每件产品的可能性相同，所以在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为.【点睛】本题考查古典概型和条件概率，属于基础题。22、（1）正四面体；理由见解析（2）；（3）当时，最大体积为：；【解析】

（1）根据线段等长首先确定为四面体外接球球心；又底