2022年北京平谷区第三中学高三数学理测试题含解析

2022年北京平谷区第三中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合︱,,则

A.

B．

C．

D．参考答案：C2.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A3.设是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列，则的值为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略4.复数z满足（3﹣2i）?z=4+3i，则复平面内表示复数z的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】由（3﹣2i）?z=4+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（3﹣2i）?z=4+3i，得，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．5.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（

）参考答案：答案:C6.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知函数，则下列说法错误的是（

）A．的图象关于直线对称B．在区间上单调递减C．若，则D．的最小正周期为参考答案：C8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,,,则公差d=A.

B.

C.1

D.－1参考答案：D由题得故答案为：D

9.p：|x|＞2是q：x＜﹣2的（） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C10.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A．120种 B．156种 C．188种 D．240种参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有

．参考答案：30012.等比数列中，，，则（

）A．－4

B．4

C．±4

D．－5参考答案：A13.已知不等式的解集是空集，则的取值范围是

。参考答案：答案：．14.设函数f（x）=ex，g（x）=lnx+m，下列五个命题：①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则m＜e；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则m＜e2﹣ln2；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则m＜e﹣ln2；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e．⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e2．其中正确命题的序号为．（将你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：①②③④⑤略15.如图所示，画中的一朵花有止片花瓣，规定要给每片花瓣涂一种颜色，有四种不同颜色可供选择.若恰有三片花瓣涂同一种颜色，则不同的涂色种数为__________.(用数字作答)

参考答案：答案：24016.命题“若x>y，则x2>y2-1”是否命题是

。参考答案：若,则否命题既要否定条件，又要否定结论;17.已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=．参考答案：

【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理与sinA=2sinC，可解得a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于cosB的方程即可求出．【解答】解：在△ABC中，∵sinA=2sinC，∴由正弦定理得a=2c，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，将b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB===．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|2x﹣1|+1，不等式f（x）＜2的解集为P．（1）若不等式||x|﹣2|＜1的解集为Q，求证：P∩Q=?；（2）若m＞1，且n∈P，求证：＞1．参考答案：【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）解不等式分别求出P，Q即可得出结论；（2）使用分析法寻找使结论成立的条件即可．【解答】证明：（1）∵f（x）＜2，即|2x﹣1|+1＜2，∴|2x﹣1|＜1，即﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，∴P=（0，1）．∵||x|﹣2|＜1得﹣1＜|x|﹣2＜1，∴1＜|x|＜3，∴Q=（﹣3，﹣1）∪（1，3）．∴P∩Q=?．（2）∵m＞1，n＞0，∴1+mn＞0．要证：＞1，只需证：m+n＞1+mn，即证：m+n﹣mn﹣1＞0即可，即证（m﹣1）（1﹣n）＞0，∵m＞1，0＜n＜1，显然（m﹣1）（1﹣n）＞0成立，∴＞1．19.在△ABC中，边BC上一点D满足，.（1）若，求边AC的长；（2）若AB=AC，求sinB.参考答案：解：（1）∵，∴在中，，∴，中，，由余弦定理可得，所以（2）在中，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴∴∴，化简得，，∵，∴.20.正项等比数列{an}中，已知，.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设Sn为{an}的前n项和，，求.参考答案：解：(Ⅰ)设正项等比数列的公比为，则由及得，化简得，解得或（舍去）.所以的通项公式为.(Ⅱ)由得，.所以.

21.已知P是圆上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.参考答案：（1）.（2）面积的最大值为，此时直线l的方程为.【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C的方程；

（2）设直线l的方程为x=ty与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程.【详解】（1）由已知|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4，所以点Q的轨迹为以为，焦点，长轴长为4的椭圆，则2a=4且2c=2，所以a=2，c=1，则b2=3，所以曲线C的方程为；（2）设直线l的方程为x=ty与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程消去x，得(3t2+4)y2﹣6ty﹣3=0，则y1+y2，y1y2，则S△AOB|OM|?|y1﹣y2|??，令，则u≥1，上式可化为，当且仅当u，即t=±时等号成立，因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为x=±.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当x＞0时，ex＞x2+1；（Ⅲ）证明：当n∈N*时，．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的f′（x）=ex﹣a．通过f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．（Ⅱ）求出f（x）的最小值，化简f（x）≥1﹣ln4．构造g（x）=ex﹣x2﹣1，通过g′（x）＞0．判断g（x）在（0，+∞）上单调递增，得到g（x）＞g（0），推出结果．（Ⅲ）首先证明：当x＞0时，恒有．令，则h′（x）=ex﹣x2．推出h（x）在（0，+∞）上单调递增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣ax﹣1，得f′（x）=ex﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，所以a=2．所以f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2．由f'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2．所以函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．…（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知．所以f（x）≥1﹣ln4，即ex﹣2x﹣1≥1﹣ln4，ex﹣2x≥2﹣ln4＞0．令g（x）=ex﹣x2﹣1，则g'（x）=ex﹣2x＞0．所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）=ex﹣x2﹣1＞g（0）=0