实变函数论西南辅导课程十至十四ppt课件市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

实变函数主讲教师：吴行平辅导课程十1/100例1设为可测集，试证

证实若或，则结论显然若且，则由可测，取2/1003/100例2考查康脱闭集与对应开集由上面定义知，=1-=0注意：这里我们得到了一个测度为0不可数集例子4/100第三节可测集（续）定理1（1）凡外测度为零集合是可测集，我们称为零测集。（2）零测集之任何子集仍为零测集。（3）有限个或可数个零测集之并仍为零测集。证实：设，则对任何集合，有5/100定理2区间都是可测集，且定理3开集、闭集都是可测集。证实因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交左开右闭区间之并，而区间是可测，故开集可测。闭集作为开集之余集也是可测。6/100我们指出主要一类集，它从开集出发，经过取余集，作至多可列次或并或交运算，所得到集统称为波雷尔集。这么，一切波雷尔集是可测。尤其，波雷尔集中有这么集值得注意，一个是可表为可列个开集交，称为集；另一个是可表为可列个闭集并，称为集。它们可用来结构任意可测集测度。定理5凡波雷尔集都是可测集。

7/100定理6设E是可测集，则存在型集使且

证实（1）先证任意给，存在开集G,使，且。为此，先设，则由测度定义，有一列开区间使8/100令，则为开集，，9/100其次，设，这时必为无界集， 但它总可表示成可数多个互不相交 有界可测集并

则为开集，且10/10011/100（2）依次取，由证实中（1）存在开集，使，则为型集且12/100定理7设E是可测集，则存在型集使且证实因可测，由定理6存在型集G使，。令，则 为型集且13/100注意1定理6和定理7表明，可测集E是与某个集或某个集仅相差一个零测集。因为其逆也成立，这么我们就取得了一切可测集结构。注意2不可测集是存在。14/100实变函数主讲教师：吴行平辅导课程十一15/100第四章可测函数

本章引进一个新函数类——可测函数类，并讨论它性质，为下一章勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉连续函数有亲密联络，在可测函数类中进行运算，如代数运算、取极限运算等是相当方便，所得结果仍是可测函数。16/100第一节

可测函数及其基本性质

本节主要介绍可测函数概念及其性质，经过本节学习，我们要掌握可测函数概念，可测函数基本性质，即可测函数四则运算和极限运算仍为可测函数，同时我们要知道可测集上连续函数，简单函数，区间上单调函数均为可测函数。另外，本节最终给出“几乎处处”概念是一个很主要概念

17/100设E是一个可测子集（有界或无界）， 是定义在E上实函数（其值可认为无穷大）。关于包含在内实数运算作以下要求：是全体有限实数上确界，是全体有限实数下确界：

上（下）方无界递增（减）数列18/100对于任何有限实数19/100无意义设是任一实数，记

=20/100定义1设是定义在可测集E上实函数。假如对每一个实数集 恒可测（勒贝格可测），则称是定义在E上（勒贝格）可测函数。21/100

定理1

设是定义在可测集E上实函数，以下任一个条件都是在E上（勒贝格）可测充要条件：（1）对任何有限实数，都可测；（2）对任何有限实数，都可测；（3）对任何有限实数，都可测；（4）对任何有限实数，都可测22/100证实与对于E是互余，一样与对于E也是互余。故在前三个条件中，只须证实（1）充要性。实际上，易知==23/100关于（4）充要性，只需注意表示式=时

=24/100推论1设在E上可测，则 总可测，不论是有限实数或，。

证只需注意-===25/100

例1定义在零测集上任意实函数均为可测函数。实际上，零测集子集总是可测集。每一个实数，集恒可测

例2区间上连续函数及单调函数都是可测函数。26/100例1

设=，在上定义狄里克雷函数以下：=因为对任意实数，集为（当），中有理点集空集。它们都是可测集。故是E上可测函数。27/100定义2定义在实函数称为在连续，假如有限，而且对于任邻域，存在某邻域，使得，即只要

且时，便有。假如在E中每一点都连续，则称在E上连续。28/100定义3设定义域E可分为有限个互不相交可测集， =，使在每个上都等于某个常数则称为简单函数。29/100例4可测集E上连续函数是可测函数。

实际上，设，则由连续性假设，存在x某邻域，使令==30/100定理2（1）设是可测集E上可测函数，而为可测子集，则看作定义在上函数时，它是上可测函数；（2）设是定义在有限可测集并集上，且在每个上都可测，则在E上也可测。31/100证（1）对于任何有限数，

=，

由假设等式右边是可测集。（2）E是可测集而且对于任何有限数，有=由假设等式右边是可测集。32/100例1

任

何简单函数都是可测函数。实际上，定义在可测集上常值函数显然是可测，由定理2便知任何简单函数都是可测函数。33/100定理3设是上一列（或有限个）可测函数，则=与都是可测函数。证因为=，=而得证。34/100定理4设是上一列可测函数，则=，也在E上可测，尤其当=存在时，它也在E上可测。35/100证因为==，=重复应用定理3即得证。36/100实变函数主讲教师：吴行平辅导课程十二37/100定理5设是可测集E上可测函数，则总能够表示成一列简单函数极限函数，而且还可办到证（1）情形。对每个自然数n,定义38/100则为E上简单函数，且不难证实我们证实=。39/100假如=+，则=+。假如+，则有自然数N，使从而当时40/100（2）普通情形令=sup,=sup

则，都是非负可测函数，41/100对，作出对应简单函数列，则

=-，即为所求。由此得到：函数在E上可测充要条件是总能够表示成一列简单函数 极限函数，其中42/100定理6在可测集E上定义两个可测函数和、差、积、商（假定运算有意义）都是可测。证设，是E上可测函数。故存在两个简单函数列，,使得

lim,lim=.

43/100Lim=

limlim显然两个简单函数代数运算仍是简单函数，据定理5知结论成立。44/100定义4假如命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立，则说命题S在集E上几乎处处成立，记为S,a.e..命题S也指某一性质而言。例1，两函数f与g几乎处处相等指是f与g不相等点集测度为零，而在上处处有轻易证实，两个几乎处处相等函数含有相同可测性。即改变函数在一个零测集上函数值不改变其可测性。45/100例2几乎处处有限取值为无穷大点集为零测集。例3几乎处处收敛不收敛点集为零测集。例4几乎处处为正函数值不是正数点集为零测集46/100第二节叶果洛夫定理

本节主要介绍一个主要定理——叶果洛夫定理。经过本节学习，我们要知道，对于定义在测度有限可测集上几乎处处有限可测函数列，几乎处处收敛与“基本上”一致收敛是等价，同时我们要知道，叶果洛夫定理逆定理总是成立。47/100在数学分析中知道一致收敛是函数列非常主要性质，它能确保极限过程和一些运算可交换性。但普通而论，一个收敛函数列在其收敛域上是不一定一致收敛。比如在上不一致收敛。不过只要从右端点去掉任意小一段成为，则在其上就一致收敛了。其实这一现象在某种意义下是带有普遍意义。48/100引理设，是E上一列几乎处处有限可测函数列，是E上几乎处处有限可测函数，在E上几乎处处收敛于，则对任意和任意自然数n，作我们有49/100证实首先，作为可测函数列极限函数是可测可测其次，依据关于与假设，50/10051/10052/100推论1设，是E上一列几乎处处有限可测函数列，是E上几乎处处有限可测函数，在E上几乎处处收敛于，则对任意有证实因为所以再由引理即得证53/100定理（叶果洛夫定理）设， 是E上一列几乎处处有限可测函数列，是E上几乎处处有限可测函数，在E上几乎处处收敛于，则对任意，存在子集， 使在上一致收敛，且。54/100证实任选一列自然数，与此对应作子集则必在上一致收敛于实际上，对任给，

选使则当时，对一切，都有55/100所以当给定了任一个之后，假如能适当选取，使则令，它就满足定理要求。但由引理，对于

分别存在充分大，使56/100故只要选取满足这条件，就有57/100这个定理告诉我们，凡是满足定理假设几乎处处收敛可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”（指去掉一个测度可任意小某点集外）一致收敛，所以在许多场所它提供了处理极限交换问题有力工具。58/100注意1：当时，定理不成立

例：设则令则可测，且但对，结论不成立59/100注意2逆定理当和时都成立证实对，存在在上，一致收敛于60/100其次，当时，存在某使因为在上，一致收敛于故一致收敛于61/100实变函数主讲教师：吴行平辅导课程十三62/100第三节可测函数结构

前面我们已经知道，可测集上连续函数一定是可测函数。反之，普通可测函数能够说是“基本上连续”函数。这就是下面定理：63/100定理1（鲁津定理）设是使在上是连续函数，且简言之，上几乎处，存在闭子集上几乎处处有限可测函数，则对任意处有限可测函数是“基本上连续”函数。64/100证实我们从特殊到普通分三种情形来讨论。简单函数情形。可测互不相交，且=，当

65/10066/10067/10068/100由（1）知，存在闭集。使在上是连续，且

令，显然且在闭集上是一致收敛于连续函数列，从而是上连续函数，且。实际上69/100（3）情形。令为球。

由（2）知，在上是基本上连续。即存在闭子集，使在上是连续且70/100令，由特殊作法，我