第一章 1.1.1 第1课时　空间向量及其线性运算

7第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算【素养导引】1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量及相关的概念.(数学抽象、直观想象)2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算及其运算律.(数学抽象、数学运算)一、空间向量1.定义:在空间,具有大小和方向的量.2.长度或模:空间向量的大小.3.表示方法:(1)几何表示法:空间向量用有向线段表示;(2)字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起点是A,终点是B,也可记作,其模记为|a|或||.二、几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量:-a的相反向量:相等向量相同相等a=b【批注】1.单位向量有无数个,它们的方向并不确定,因此,它们不一定相等;2.零向量也有无数个,它们的方向是任意的,但规定所有的零向量都相等.[诊断]辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)零向量没有方向. ()(2)空间向量a用几何表示法表示时,表示该向量的有向线段的起点可任意选取. ()提示:(1)×.零向量有方向,它的方向是任意的.(2)√.三、空间向量的线性运算加a+b=+=减a-b=-=数乘当λ>0时,λa=λ=;当λ<0时,λa=λ=;当λ=0时,λa=0运算律交换律:a+b=b+a;结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb[诊断]1.(教材改编题)已知空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则等于 ()A.a+b-c B.c-a-bC.c+a-b D.c+a+b【解析】选B.=++=-b-a+c=c-a-b.2.如图,在四面体ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则+12(-)= ()A. B. C. D.【解析】选C.因为-=,12(-)=12=,所以+12(-)=+=.学习任务一空间向量的概念(数学抽象)1.(多选题)下列命题正确的是 ()A.若|a|=|b|,则a=b或a=-bB.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p【解析】选BCD.对于A,向量a与b的方向不一定相同或相反,错误;对于B,根据相反向量的定义知|a|=|b|,正确;对于C,根据相等向量的定义知=,正确;对于D,根据相等向量的定义知此选项正确.2.如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中:(1)与相等的向量为________________;

(2)的相反向量为________________;

(3)若AB=AD=2,AA1=1,向量的模为________.

【解析】(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及共3个.(2)向量的相反向量为,,,.(3)||==22+22+1答案:(1),,(2),,,(3)3空间向量有关概念问题的关注点(1)关键点:向量的两个要素,即大小和方向.(2)注意点:特殊向量的特性.①零向量:与任意向量都共线;②单位向量:长度都是1,方向不一定相同;③相反向量:方向相反,模相等.学习任务二空间向量的线性运算(数学运算)【典例1】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3).【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以=++=a++12=a+c+12=a+c+12b;(2)因为N是BC的中点,所以=++=-a+b+12=-a+b+12=-a+b+12c(3)因为M是AA1的中点,所以=+=12+=-12a+a+c+12b=12a+12b+空间向量线性运算的技巧(1)数形结合:要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.(2)巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(3)巧用平移:运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.(1)-;(2)++.【解析】(1)-=-=+=+=;(2)++=(+)+=+=.向量,如图所示.学习任务三空间向量线性运算的应用(数学运算、直观想象)【典例2】已知在正四棱锥P-ABCD中,O是正方形ABCD的中心,Q是CD的中点,若=x+y+,求x+y的值.【解析】如图,因为O为AC的中点,Q为CD的中点,所以+=2,+=2,所以=2-,=2-,所以=2-2+,所以x=2,y=-2,x+y=0.本例条件不变,若=+t+z,求t+z的值.【解析】如图,因为=-=-12(+)=-12-12,所以t=z=-12,t+z=-1向量的加法、减法和数乘运算是表示向量的前提,表示向量时要注意选定的向量,明确转化的目标.如图所示