第7章 双向竞价(证券市场微观结构理论-上海交大 刘海龙)

第7章

双向竞价机制价格形成理论一、概述“拍卖”（auction）和“招投标”（bidding）是根据投标人的报价来决定物品价格和资源分配的一种有效的市场机制，通常具有透明的市场交易规则。它们在我国的社会经济活动中逐渐被广泛运用，如：工程项目的招投标、物品采购等方面，者取得了良好的经济效益和社会效益。一般的，人们将传统的拍卖方式分为两类：公开拍卖（outcry）和密封拍卖（sealed-bid）。其中，公开拍卖又有具体形式：英国式拍卖（Englishauction）和荷兰拍卖（Dutchauction）；密封拍卖也有两种形式：封标第一价格拍卖（first-pricesealed-auction）和封标第二价格拍卖（second-pricesealed-bidauction）。需要指出的是，封标第二价格拍卖是由维克瑞（Vickrey，1961）首次提出的，因此也称为“维克瑞拍卖”（Vickreyauction）。（注：维克瑞于1996年获得了洛贝尔经济学奖）招投标与密封拍卖的理论原理是一致的。不同之处在于：招投标中的发起者（招标商）通常是买方，而响应者（投标商）是卖方；而拍卖中的发起者（拍卖方）一般为卖方，响应者为买方。早期的投标报价研究中，最著名的是弗雷德曼（Friedman，1956）提出的“Friedman模型”。许多学者在Friedman的工作基础上，对拍卖和招投标的理论和应用进行了深入研究。目前，一种新的拍卖形式“双向拍卖”（two-sideauction/doubleauction）备受关注。与“单向拍卖”不同，它的市场结构是“多对多”（many-to-many，M：N），即买卖双方都不止一个，买卖双方同时失去了各自在“单向拍卖”中的相对优势，他们之间的关系变为一种供给和需求的平等关系。由于它独特的市场结构，双向拍卖彻底解决了市场中买卖双方的信息不对称问题，从而可以有效地解决单向拍卖中的“窜谋”和“恶意报价”等难题。并且，它特别适合于网络环境下众多买卖双方的交易，在电子商务的应用中具有广阔的前景。因此，研究双向拍卖具有重大的理论意义和现时意义：（1）从经济学的角度看，双向拍卖的市场机理问题还没有彻底解决。大量的实践和实验结果表明：即使在买卖双方人数都很少、供求信息不充分的情况下，双向拍卖市场的资源配置效率都比较高，这与传统经济学理论相矛盾。史密斯（smith，1982）把这个现象定义为“科学奥秘”（scientificmystery），也称为“史密斯奥秘”（Smith`mystery）。许多经济学家都曾尝试过解决这个称之为“科学奥秘”的难题，如：普洛特和桑德（PlottandSunder，1982）、肖特基和萨廖尔森（ChatterjeeandSamuelson，1983）、威尔林（Wilson，1987）、肖雷德曼（Friedman，1991）、麦克爱菲（McAfee,1992）、赛特斯维特和威廉姆斯（SatterthwaiteandWilliams，1993）等。到目前为止，这个难题还没有得到彻底解决。因此，人们还没有完全解决双向拍卖的市场机理问题，即该市场中的资源配置的有效性问题、交易次数和交易价格的形成问题等，都需要我们从理论上进行深入研究。近年来，许多新的理论和方法被大量运用到这个领域的研究，如：实验经济学（ExperimentalEconomics）、多代理系统（Multi-AgentSystem,MAS），等等。（2）从决策科学的角度看，买方和卖方的交易策略问题值得研究。早在1945年，黑耶克（Hayek，1945）就指出：尽管传统经济学理论中“供需平衡”模型能够很好地预测双向拍卖市场中均衡价格和均衡交易次数，但是它无法解释市场过到均衡的动态过程：经济学家们通常假设市场中的所有交易方都采用同一种行为方式进行交易，而且他们都掌握了充分的市场信息，但是在现实的市场中，交易方在报价时通常考虑其他人的影响，并且他只掌握了部分市场信息。这个问题通常被称为“黑耶克难题”（Hayek`sproblem），即交易行为的多样性和市场信息的不充分性，正是双向拍卖市场的特点之所在；如果我们抛开这两点来研究双向拍卖，就没有抓住问题的本质。（3）从实际应用的角度看，双向拍卖具有广阔的应用前景。在同质物品（homogeneousgoods）的交易机制中，双向拍卖一直处于垄断地位，如：纽约证券交易所（NYSE）、纳斯达克（NASDAQ）和芝加哥商品交易市场（Chicagoexchanges）都采用了不同形式的双向拍卖交易机制。研究这些市场的交易机制，对于完善和规范我国股票、证券以及期货交易市场具有重要的借鉴和指导作用。由于双向拍卖能够有效地解决“窜谋”和“恶意报价”等问题，能彻底改进电子商务的交易模式，具有广阔的应用前景。目前，商业性双向拍卖网站有：FastParts、LabX、DallasGoldandSilverExchange等。随着人们对双向拍卖的进一步认识，它的应用领域和应用范围会更广泛。二、双向拍卖1、双向拍卖介绍双向拍卖的市场运行方式是：在交易期间，任何买方（或卖方）可以公开宣布他（她）愿意在某一特定价格上购买单位商品：与此同时，任何卖方也可以公开宣布她愿意在某一特定价格上出售单位的商品。一但买方报价被卖方接受（或与之相反），就会有一个单位的商品成交；如果买方报价未被卖方接受（或与之相反），买方可以逐渐提高他的报价，卖方也可以逐渐降低起报价，直到一方被另一方接受为止；然后，新一轮的交易开始，直到不再有交易发生为止，或到达事先规定的交易结束时间。

图1双向拍卖的框架图下面，根据图1来详细描述双向拍卖市场中的交易过程：（1）买方和卖方给出各自的报价和参加交易的产品数量信息；（2）根据市场中的报价规则，判断交易者的报价是否合理，如果合理则被市场接受，不合理则通知他们重新报价；（3）根据交易规则来匹配市场中的买方和卖方，包括交易价格和交易数量，确定交易费用和交割时间等；（4）根据信息公布规则，显示市场中的买卖双方的报价、报价的次序、历史交易结果、利好消息和利空消息等；（5）根据交易规则判断交易是否终止，如果没有，则重新回到（1），开始新的交易；如果满足结束条件，则立即关闭双向拍卖市场。图1是双向拍卖的框架图，可以看出，双向拍卖市场机制主要由两部分组成：（1）买方和卖方的交易策略；（2）双向拍卖的市场环境，包括报价规则、交易规则和信息公布规则等。其中，交易策略决定每个交易者什么时候报价、报价多少、是否接受对方的出价等问题。市场环境中的报价规则决定买方和卖方的报价是否有效、能否修改、能否取消，交易规则决定市场中的买卖双方如何匹配、匹配后交易价格和数量的确定方式、交易费用的确定、交割的时间、交易结束的条件以及多个交易者报价相同时的处理办法等，信息公布规则决定如何公面市场中内部信息（包括：买卖双方的报价、报价的次序、历史交易结果等）和外部信息（包括：市场中的利好消息和利空消息等）。2、双向拍卖的分类一些学者对双向拍卖进行了如下分类：（1）弗雷德曼（Friedman，1973）首先把拍卖分为一次性拍卖和重复拍卖，重复拍卖由多个交易周期组成；然后根据报价是否能修改，把拍卖又分为离散时间拍卖（Discrete-Auction）和连续时间拍卖（Continuous-timeAuction），其中离散时间拍卖中的买方和卖方无法修改报价，而连续时间拍卖买方和卖方可以随时修改报价。（2）歌德和桑德（GodeandSunder，1999）认为存在三种形式的双向拍卖。第一种称为同步双向拍卖（SynchronizedDoubleAuction），同步是指买方的报价和卖方是同步或批量进行的，并且买卖双方在报价时互不知道对方的报价；第二种称为连续型双向拍卖（ContinuousDoubleAuction），该拍卖中的买方和卖方都是随机进行报价的，直到市场中的现实买方报价高于或等于现实卖方报价，交易发生；第三种称为半连续型双向拍卖（Semi-continuousDoubleAuction）或混合型双向拍卖（HybridDoubleAuction），它综合了同步双向拍卖中买卖双方批量报价的特点，以及连续型双向拍卖中交易双方依次匹配的特点。（3）沃曼（Wurmanetal.,2000）等人则按单向拍卖的分类方法，把双向拍卖也分为密封型双向拍卖（Seal-bidDoubleAuction）和公开型双向拍卖（OutcryDoubleAuction）。以上三种分类方法是依据双向拍卖的不同规则进行的：弗雷德曼的分类依据了双向拍卖交易规则中的交易结束条件以及报价规则，歌德和桑德依据的主要是报价规则，沃曼等人则根据不同的信息公布规则来划分双向拍卖。到目前为止，双向拍卖的分类还没有一个统一的、公认的标准。几乎在所有的双向拍卖市场中都采取了纽约证券交易所的规则（NewYorkrule）：即买卖双方随机报价，最高的买方报价作为现实买方报价（currentbid）被公开，同样最低的卖方报价作为现实卖方报价（currentask）也被公开；一旦有其他卖方报价低于现实卖方报价时，他的报价即为新的现实卖方报价。因此，目前大多数只依据双向拍卖交易规则中的买卖双方发生交易的不同条件，将双向拍卖划分为连续型双向拍卖（ContinuousDoubleAuction,CDA）和间隔型双向拍卖（PeriodicDoubleAuction,PDA）。在连续型双向拍卖（CDA）中，只要现实买方报价高于或等于现实卖方报价就立刻发生交易，直到再也没有买方报价高于或等于卖方报价。而在间隔型双向拍卖（PDA）中，市场只在每个固定的交易间隔时间（clearingtime）才判断是否有交易发生，如果此时现实买方报价不低于现实卖方报价，则有交易发生；否则不发生交易，进入下一个交易间隔；每个交易周期具有固定的交易间隔个数。三、研究现状1、双向拍卖的经典理论模型首先介绍一下关于双向拍卖的两个经典理论模型：静态模型和动态模型。1）静态经典模型：竞争均衡（CompetitiveEquilibrium）竞争均衡型是最常用的模型，其中的均衡价格（equilibriumprice）和均衡次数（equilibriumquantity）几乎在所有双向拍卖的交易数据分析中都会用到。买方估价从高到低依次排列，构成了双向拍卖市场中需求曲线；而卖方成本从低到高依次排列，构成了双向拍卖市场中供给曲线。可以看出，该市场中的均衡价格在55-60之间，均衡交易次数为6。传统经济学理论的解释是：由于市场这支看不见的手在起作用，买卖双方的交易最终会达到均衡价格和均衡次数。

2）动态经典模型：马歇尔路径（Marshallianpath）尽管竞争均衡模型能够预测市场中的交易价格和交易次数，但是它无法描述买卖双方是如何达到均衡点的。而马歇尔路径可以从理论上解释达到均衡点的具体过程：第一步，最高估价的买方与最低成本的卖方成交；第二步，估价第二高的买方与成本第二高低的卖方成交；依次类推，直到剩余的所有买方估价都低于卖方成本，市场中再没有交易发生为止。表2双向竞价中的均衡

12345678910买价14012511095806550454035卖价30354045505560657075表2中的马歇尔路径是：第一次交易，估价为140的买方与成本为30的卖方成交；第二次交易，估价为125的买方与成本为35的卖方成交；第三次交易估价为110的买方与成本为40的卖方成交；第四次交易，估价为95的买方与成本为45的卖方成交；第五次交易，估价为80的买方与成本为50的卖方成交；第六次交易，估价为65的买方与成本为55的卖方成交；在这之后的所有买方估价都低于50，所有卖方成本都高于60，再没有发生交易的可能。（数据来源：Breweretal.,1999）需要说明的是：马歇尔路径是双向拍卖中资源配置效率最高的交易路径，也是能够到达理论均衡点的交易咱径，通过它所获得的收益值也最大。但是，在绝大多数双向拍卖市场中，实际交易的路径很难严格遵循马歇尔路径。2、双向拍卖的理论研究1）不完全信息下的博弈论研究由于拍卖市场中的交易者通常不知道其他人的估价或成本，以及风险偏好等信息，人们很自然地联想到用不完全信息下的博弈理论来研究拍卖市场。早在1961年，威克瑞（Vickrey，1961）就证明：对于封标第二价格拍卖中的任何一个买方，如果他的估价是，报价函数是，当所有n个买方估价满足彼此独立的均匀分布时，那么买方期望效用最大的报价策略。哈山伊（Harsanyi，1967）把不完全信息的获得期望效用最大通解定义为贝叶斯纳均衡（BayesianNashEquilibrium,简称BNE）：(1)其中，E（）为买方的期望收益，vt为买方估价，b(vt)为买方报价。对（1）式求导：

(2)使（2）式为零的b(vt)为最优报价，所有买方都存在这样一个最优报价策略，即存在贝叶斯纳什均衡（BNE）。求贝叶斯纳什均衡的关键是计算出而计算出该条件概率必须事先知道所有买方估价的分布情况以及他们的风险偏好。肖特基和萨廖尔森（ChatterjeeandSamuelson,1993）首先把贝叶斯纳什均衡（BNE）运用于双方拍卖之中，他们考虑了只有一个买方和一个卖方、一件商品的简单情形，买方的报价为b，卖方的报价为s，成交价格为kb+(1-k)s，其中0≤k≤1.0。他们发现：在这种简单双向拍卖市场中，采用线性贝叶斯纳什均衡策略，买卖双方都有隐藏真实报价的动机，因此将使买卖双方错过交易的概率为1/6。赛特斯维特和威廉姆斯（SatterthwaiteandWilliams,1993）把以上结论推广到有m个买方和m个卖方的情形，他们得出结论：双向拍卖市场中，采取贝叶斯纳什均衡策略的买方，他的报价和估价之差满足v-B(v)≤；而卖方的报价和成本之差满足S（c）-c≤；市场中流失的收益为。因此，随着买卖双方人数的增加，他们的报价将越来越接近真实报价，市场效率逐渐上升。威尔森(Wilson,1987)把双向拍卖市场中报价分为非严肃报价(non-seriousbidorask)和严肃报价(seriousbidoradk)，非严肃报价是指买方的报价太低或卖方的报价太高，以致于这种报价发生交易的概率为零，与之相反的报价则为严肃报价。在此基础上，他提出了一种等待的报价策略(waitinggameformakingseriousbidsandasks)，即市场中的交易方都采取了荷兰式拍卖中的策略。一旦市场中的买方首先提出了一个严肃报价，卖方由于担心其他的卖方的加入而是自己失去交易机会，急燥性(impatience)开始上升，直到他的急燥达到一定程度，使他不顾其他卖方的可能报价而率先提出自己的严肃报价；如果市场中的卖方首先提出一个严肃报价，买方报价的情形与前面相似。威尔森证明：这种等待的报价策略满足贝叶斯纳什均衡(BNE)的必要条件，可以产生出很高的市场效率。麦克爱菲(McAfee,1992)研究了有m个买方和m个卖方的封标第二价格双向拍卖，该市场中的每个交易者最多只能购买或出售一件商品。假使市场中的买方报价按从大到小的顺序依次为:b1≥b2≥….≥bm，卖方报价按从小到大的顺序依次为：s1≤s2≤…≤sm，则市场中的有效交易次数k同时满足（1-3）和（1-4）式：bk≥sk(1-3)bk+1≤sk+1(1-4)市场中的成交价格为：（见表2）

(1-5)麦克爱菲证明：买方和卖方都存在优势报价策略(dominantstrategies)，就是真实地报出各自的估价和成本。这种双向拍卖中的优势报价策略的重要特征是，均衡策略的计算可以不需要预先知道买方估价和卖方成本的分布情况。到目前为止，用不完全信息下的博弈理论来研究双向拍卖所取得的理论成果是最丰富的，尽管如此，该研究方法有一个最致命的弱点，它们的一个共同前提是预先知道买方估价和卖方成本的分布情况，以及对手的风险偏好等（麦克爱菲的优势报价策略除外）。为了克服这个致命弱点，弗雷德曼(Friedman,1991)把双向拍卖简化为一个博泉德博弈过程(Bertrandgame)，即市场中所有交易方都独立选择报价，并且忽略报价对其他交易方的影响以及报价不能被修改。他得出结论：（1）交易方存在最优报价策略；（2）可以产生接近帕累脱最优(Paretooptimal)的市场效率。2）完全信息下的博弈论研究弗雷德曼(Friedman,1993)指出，用完全信息下的博弈论来研究双向拍卖是今后的研究方向，理由如下：（1）在双向拍卖的市场环境中，竞争均衡(competitiveequilibrium)与纳什均衡(Nashequilibrium)能够一致；（2）在双向拍卖市场中的交易方可以通过不断的学习，逐步提高获得市场信息的能力，从而使他们的报价行为达到类似于完全信息下的纳什均衡。近年来，这方面的研究也取得了一定成果，其中萨德瑞(Sadrieh,1998)最具代表性。为了简化双向拍卖的市场环境，他首先提出了一种简单的双向拍卖模式—轮流报价的双向拍卖(alternatingdoubleauction,简称ADA)，该模式与连续型双向拍卖(CDA)的最大区别在于:在CDA中，买方和卖方可以随时报价；而在ADA中，买方和卖方的报价严格按规定好的报价周期(Offercycle)进行，每个报价周期分为两个报价轮次(round)，在买方报价轮次中只要买方才可以报价，而在卖方报价轮次中只要卖方才可以报价。另外，他还定义了边际买方（卖方）、内部边际买方（卖方）、外部边际买方（卖方）的概念。假设B(I=1,…nb)和Sj(=1,…,ns)分别表示轮流报价双向拍卖市场中的买方和卖方，买方估价从大到小排列(v1＞v2＞＞vnb)，卖方成本从小到大排列(c1＜c2＜…＜cns)

。买方边际估价vm和卖方边际成本cm满足（1-6）式：(1-6)估价为v

m

的买方称为边际买方，成本为cm的卖方称为边际卖方；所有估价大于v

m的买方称为内部边际买方Bi(i=1,…m-1)，所有成本小于cm的卖方称为内部边际卖方Sj(j=1,…,m-1)；所有估价小于v

m的买方称为外部边际买方Bi(m+1,…,nb)，所有成本大于cm的卖方称为外部边际卖方Sj(m+1,…,ns)。通过以上的简化和定义，萨德瑞证明：尽管在轮流报价的双向拍卖市场中存在多个均衡状态（multipleequilibria），这些均衡状态称为急燥均衡（impatienceequilibria），它们使市场产生不同的交易结果，但是这些结果的市场效率都很高，因为所有的外部边际买方和卖方都不参加交易，而且交易价格都在(vm,vm+1,cm,cm+1)所构成的微小区间内。因此，通过博弈论求出的轮流报价的双向拍卖结果不是与传统的竞争均衡一致，就是非常接近竞争均衡。3双向拍卖的报价策略研究双向拍卖的报价策略很多，下面介绍其中最具代表性的几种报价策略模型。其中，以“零信息”模型（Zero-Intelligenc,简称ZI）最为著名，尽管“零信息”模型（ZI）比较简单，但是它很好地反映了市场中交易个体的无理性行为和有限理性行为，已经成为双向拍卖领域中，研究交易策略的“基准模型”（benchmark）被实验经济学家广泛采用。例如：罗斯特等（Rustetal.,1993），凯桑和弗雷德曼（CasonandFriedman,1996），克立夫和博顿（CliffandBurten,1996），泰绍若和戴斯（TesauroandDas，2001）、戴斯（Dasetal.,2001）等。其他主要报价策略模型，还有：克立夫（Cliff，1996）提出的“增强型零信息”模型（Zero-IntelligencePlis,简称ZIP），基斯泰德和蒂克霍德（GjerstadandDickhuat，1998）提出的一个基于信心函数（belieffunction）来计算最大期望收益的报价模型（本文称之为“GD模型”，以及桑居等（Sunju,DurfeeandWilliam,1999）给出的一个有自适应能力的报价模型“p-strategy”。1）“零信息”模型

（Zero-Intelligence,ZI）该报价模型是由歌德（Gode）和桑德（Sunder）1993年首次提出，有两种具体的表现形式：一种是“约束型零信息”模型（Zero-IntelligencewithConstraint,ZI-C），另一种是“无约束零信息”模型（Zero-IntelligenceUnconstrained,ZI-U）。”约束型零信息“模型(ZI-U)中的约束条件是：买方的报价不能低于其对所购商品的估价，卖方的报价不能高于其成本，否则报价被视为无效而被市场忽略。”无约束零信息“模型（ZI-U）中的买卖双方都没有任何约束条件限制，买方的报价可以低于其对所购商品的估价，卖方的报价也可以高于其成本。假设双向拍卖市场允许的最低报价为Omin，最高报价为Omax，则“约束型零信息”模型（ZI-C）的数学描述为：

Bi~(Omin,Vi]均匀分布

Si~[Ci,Omax)均匀分布其中，Bi表示第i个买方的报价，Vi表示第i个买方的估价；Si表示第i个卖方的报价，Ci表示第i个卖方的成本。即买方的报价为最低报价到其估价之间均匀分布的任意值，卖方的报价为其成本到最高报价之间均匀分布的任意值。“无约束零信息”模型（ZI-U）的数学描述为：Bi~(Omin,Omax)均匀分布Si~(Omin,Omax)均匀分布其中，Bi表示第i个买方的报价，Si表示第i个卖方的报价。可以知道，ZI-U模型中的买方和卖方的报价都为最低报价和最高报价之间的均匀分布的任意值，买方的报价甚至可以高于其估计（Bi>Vi),卖方的报价也可以低于其成本（Si<Ci).通过该模型，歌德（Gode)和桑德（Sunser)发现：双向拍卖市场中的资源配置有效性（allocationefficiency）与其市场结构、交易双方的动机、掌握的信息以及学习能力无关，作用于市场中的“无形的手”，它所具有的能力超过人们想象的，正是由于这支“无形的手”的存在，才使得市场中的单个交易个体不管是否具有理性，都能使市场最终表现为集体理性。他们的理由是：“无约束零信息”模型（ZI-U）可以被看作是市场中的无理性个体，“约束型零信息”模型（ZI-U）被看作是市场中的有限理性个体，它们都能使市场的最终效率最终达到90％以上。2）“增强型零信息”模型(Zero-IntelligencePlus,简称ZIP)在“零信息”模型的基础上，克立夫（Cliff,1996）提出了“增强型零信息”模型（Zero-IntelligencePlus,简称ZIP).该模型的基本思想是：由于市场中的交易个体成本或估价是固定的，其报价是由利润率水平决定的，在开始阶段，交易个体随机产生一个利润率，在每次交易成功之后，交易个体会在原来利润率的基础上，随机微增利润率；当交易不成功时，交易个体会在原来利润率的基础上随机微减利润率。交易个体的约束条件是，利润率不能为负，即买方的报价不能低于其对所购商品的估价，卖方的报价不能低于其成本。ZIP模型中。利润率调整的数学描述如下：在某个t时刻，一个ZIP交易者根据（1-7）式计算他的报价：（1-7）其中，为报价，为第i个交易者对第j个商品的保留价格（买方估价或卖方成本），为利润率水平。从上式看出，对于卖方来说，他可以通过增大来提高利润率水平；反之，对于买方来说，他可以通过增大来降低利润率水平，通过减小来提高利润率水平。3）“基斯泰德-蒂克霍德模型”（简称“GD”模型）基斯泰德和蒂克霍德(GjerstadandDickhuat,1998)给出了一个基于信心函数（belieffunction)来计算最大期望收益的报价模型，本文称之为“GD模型”。信心函数指：“GD”交易者根据最近L次的买方和卖方报价（记为：HL)计算出来的主观函数p(x),该主观函数表示的是，当交易者报价为x时被接受的可能性。因此，卖方的信心函数计算公式为：

（1-15）其中，TAG(a)是HL中卖方报价大于a且被买方接受的个数，BG(a)是HL中买方报价大于a的个数，RAL(a)是HL中卖方报价小于等于a的个数。可以看出，p(a)表示的是卖方报价等于a时，其报价被买方接受的主观概率。当a=0.00时，p(0.00)=1;同时，一定存在一个大于零的数M,使得p(M)=0。类似的，买方的信心函数计算公式为：

(1-16)其中，TBL（b)是HL中买方报价小于b且卖方接受的个数，AL（b）是HL中卖方报价小于b的个数，RBG(b)买方报价大于b的个数。同样可以看出，q(b)表示的是买方报价等于b时，其报价被卖方接受的主观概率。当b=0.00，q(0.00)=0；同时，也一定存在一个大于零的数M，使得p(M)=1分别计算出买方和卖方的信心函数后，然后计算他们的最优报价。假设i个卖方打算卖掉他的第k件商品，该商品的成本为,卖方可以在的区间内找到一个最优报价a*，使得期望收益最大。当然，卖方报价为a*时，并不能保证其报价一定被买方接受。因此，对于第I个卖方来说，他卖掉第k件商品的最大收益为：(1-17)同样，假设第j个买方打算买进第一件商品，他对该商品的估价为，买方可以在的区间内找到一个最优报价,使得期望收益最大。当然，买方报价为时，并不能保证其报价一定被卖方接受。因此，对于第j个买方为说，他买进第l件商品的期望收益为：（1-18）4）p-strategy模型桑居等人（Sunju,DurfeeandWilliam,1999)给出了一个有自适应能力的交易模型“p-strategy”。该模型的核心思想在于，它把双向拍卖过程看作一个马尔科夫链（Markovchain），并同时考虑了交易过程的动态性和交易结果的不确定性；由于“p-strategy”能自主判断何时使用哪种报价模型，因此避免了随机模型的缺点。p-strategy是卖方的报价策略函数，通过该函数，卖方可以计算出期望收益最大的报价策略以及最优报价。四、拍卖形式拍卖是根据投标人的报价来决定物品价格和资源分配的市场机制，它通常具有对透明的市场交易规律。传统的拍卖一般分为两类：“公开拍卖”和“密封拍卖”。公开拍卖有两种形式：英国式拍卖（Englishauction)和荷兰式拍卖（Dutchauction);密封拍卖也有两种形式：封标第一价格拍卖(First-pricesealed-bidauction)和封标第二价格拍卖(Second-pricesealed-bidauction)。公开拍卖中的英国式(Englishauction)是买方报价从低价位开始，相互竞争的潜在买方不断向上提高报价，直到最后一个买方的报价不再有人超出为止，成交的价格是最后一个买方的报价；荷兰式拍卖(Dutchauction)是从最高卖方报价开始，然后卖方逐渐降低报价，直到有买方接受卖方的报价为止，成交的价格是最后一个卖方的报价。密封拍卖中的封标第一价格拍卖要求所以潜在的买方在规定的期限内递交其“密封报价”，然后打开所有的“密封报价”，报价最高的买方取得拍卖物品，成交的价格是他的“密封报价”；封标第二价格拍卖与封标第一价格拍卖基本相同，唯一不同是获胜的最高“密封报价”的买方仅需支付第二高的买方“密封报价”。这种拍卖模式有维克瑞（Vickrey,1961)首次提出，因此也被称为“维克瑞拍卖”（VickreyAuction)。考宾格尔、史密斯和泰图斯（Coppinger,SmithandTitus,1980)进行了上述四种拍卖的比较实验研究。首先，他们对照研究了英国式拍卖(Englishauction)和荷兰式拍卖(Dutchauction)。在实验过程中，让参与者参加一种或最多两种类型的拍卖。在每次拍卖开始前，向每个买方提供一个“产品估价”，他的所有报价不能高于“产品估价”，如果竞拍成功，他将得到“产品估价”与“成交价格”的差价作为收益；向每个卖方提供一个“产品成本”，他所有报价不能低于“产品成本”，如果竞拍成功，他将得到“成交价格”与“产品成本”的差价作为收益。并且，实验中每个买方只知道自己的“产品估价”和卖方的“产品成本”，因此能计算出不同拍卖类型是否会在报价的均值和成交价格上产生系统性差异。在知道实验结果之前，每个参加者都会考虑在各种环境下自己将采取的报价策略，并将其与一些理论上的预期进行对照。对于一个“产品估价”为100元的买方，他不知道其他参加者的“产品估价”是多少，但在英国式拍卖中，他至少可以在别人报出90元后观察竞价，这显然意味着他应该报出稍高的价格，也许他会报价93元，如果遇到竞争对手94元的报价，他还可以报价95元或更高，但最高报价不应该超过10