第07讲 向量法求距离、折叠及新定义问题（原卷版）

第07讲向量法求距离、折叠及新定义问题1．点P到直线l的距离设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．点P到平面α的距离若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如图所示．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．空间距离例1．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）求点到直线的距离；（2）求直线到直线的距离；（3）求点到平面的距离；（4）求直线到平面的距离．例2．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：(1)直线与平面的距离；(2)平面与平面的距离．【复习指导】：(1)向量法求点到直线距离的步骤①根据图形求出直线的单位方向向量v.②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线外的点N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).③垂线段长度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－\o(MN,\s\up6(→))·v2).(2)求点到平面的距离的常用方法①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．③等体积法．④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).立体几何中的折叠问题例3．如图①，在梯形中，，，，为的中点，以为折痕把折起，连接，，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．(1)证明：；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．①四棱锥的体积为2；②直线与所成角的余弦值为．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．例4．如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．(1)证明：平面ABC．(2)若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．【复习指导】：平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．立体几何中的新定义问题例4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．例5．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1－eq\f(1,2π)(∠Q1PQ2＋∠Q2PQ3＋…＋∠Qk－1PQk＋∠QkPQ1)，其中Qi(i＝1,2，…，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk－1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．任取正四面体的一个顶点，在该点处的离散曲率为________；如图所示，已知长方体A1B1C1D1－ABCD，AB＝BC＝1，AA1＝eq\f(\r(2),2)，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则四棱锥P－ABCD在点P处的离散曲率的最小值为________．【复习指导】：随着新高考改革，考试逐渐回归其本质，别致新颖的立体几何新题型不断涌现，其中新定义问题常常使考生束手无策，因此，读懂题意才能快速有效地切入新问题情景．1．已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（

）．A． B．1 C． D．2．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（

）A．3 B． C． D．3．直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（

）A． B． C． D．4．四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．5．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（

）A． B．1 C． D．6．在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，，则的重心到平面PAD的距离为（

）A． B． C． D．7．如图，已知为圆柱的母线，为圆柱的下底面直径，为线段的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．8．如图，在正方体中，点是棱上的动点，下列说法中正确的是（

）①存在点，使得；②存在点，使得；③对于任意点，到的距离为定值；④对于任意点，都不是锐角三角形.A．①③ B．②③ C．②④ D．③④9．（多选）点在轴上，它与经过坐标原点且方向向量为的直线的距离为，则点的坐标是（）A．B．C．D．10．（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则（

）A．平面 B．C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为11．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（

）A．平面 B．平面与平面相交C．点О到直线的距离为 D．点O到平面的距离为12．（多选）在正方体中，E为棱DC上的动点，F为线段的中点．则以下结论正确的有（

）A．；B．直线与平面的夹角不变；C．点F到直线AB的距离不变；D．点F到A，D，D＇，A＇四点的距离相等．13．（多选）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（

）A．直线与直线所成的角为 B．平面C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为14．（多选）如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们需要研究两个平面之间所成的角，即二面角.已知二面角的棱上有两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，记二面角的大小为，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，C．D．点到平面的距离的最大值为15．已知向量和直线l垂直，且在由直线l与点确定的平面内，点在直线l上，则点到直线l的距离为________.16．如图，已知正方体中，分别为中点，，则到平面的距离是__________．17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝1，AA1＝2，直线AD与A1C1所成的角为，点E为棱BB1的中点，则点D1到平面ACE的距离为_____．18．在棱长为2的正方体中，点E是BC的中点，F是CD的中点，G为的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.19．在平行六面体中，平面，，．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．20．如图，在四棱锥中，平面为的中点，底面是边长为2的正方形，且二面角的余弦值为．(1)求的长；(2)求点到平面的距离．21．如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2(1)证明：平面平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.22．已知四边形，，，将沿翻折至.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值.23．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，底面，，，．(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的大小．24．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距离．25．在边长为2的菱形中，，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2）（1）证明：平面平面；（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值.26．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，．(1)求二面角余弦值的大小：(2)求点到平面的距离．27．如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求异面直线与之间的距离．28．如图，在直三棱柱中，M，N分别为AC，的中点.(1)证明：平面；(2)若平面，，，求点A到平面的距离.29．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)证明：平面平面PBC；(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．30．如图，在多面体中，.侧面为矩形，平面，平面，(1)求证：(2)求直线与平面所成角的正弦值(3)求直线到平面的距离.31．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)点到平面的距离；(3)求与平面所成角的正弦值.32．如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点.(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值.33．如图，在长方体中，，点分别是的中点，点为棱上一点，且直线和所成的角为．(1)求证：∥平面；(2)求点到平面的距离．34．如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点．(1)求点M到直线的距离；(2)求直线PD与平面所成角的正弦值.35．在四棱锥中，平面平面，，为的中点.(1)求证：；(2)若，，，，点在棱上，直线与平面所成角为，求点到平面的距离.36．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点.(1)求二面角的余弦值；(2)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.37．在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．(1)求证：；(2)若点到直线的距离为，求的值．38．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)求证：；(2)若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离.39．如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形．(1)求证：；(2)若，点E是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点B到平面的距离．40．如图，四棱锥中，平面，，，，，为线段上一点，点在边上且.(1)若为的中点，求四面体的体积；(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.41．已知平面四边形ABCE（图1）中，，均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，，，沿AC将翻折至位置（图2），拼成三棱锥D-ABC.(1)求证：平面平面；(2)当二面角的二面角为60°时，①求直线与平面所成角的正弦值；②求C点到面ABD的距离.42．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，．(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)过点与垂直的平面交直线于点，求的长度．43．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值；(3)求点到平面的距离.44．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.45．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ACC1是边长为4的正方形，，点D为BB1中点．再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．(1)求证：AB⊥平面A1ACC1；(2)求直线BB1与平面A1CD所成角的正弦值；(3)求点B到平面A1CD的距离．条件①：；

条件②：；

条件③：平面ABC⊥平面A1ACC1．46．如图所示的四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点P到底面的距离为．(1)过点P是否存在直线l，使直线∥平面，若存在，作出该直线，并写出作法与理由；若不存在，请说明理由；(2)若，求点M到平面的距离．47．如图，把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，F是BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，动点E在线段AD（包含端点A，D）上．(1)若E为AD的中点，求直线AB到平面EOF的距离；(2)在线段AD上是否存在点E，使得平面EOF与平面ABC的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．48．如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．(1)当EN∥