新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.3函数模型的应用素养作业新人教A版必修第一册

第四章4.54.5.3A组·基础自测一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好(A)A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2[解析]由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图象过点(1,2)，所以图象由指数函数y＝2t来模拟比较好．2．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元，计划在今后的3年内，使成本降低到每件256元，则平均每年成本应降低(C)A．10% B．15%C．20% D．35%[解析]设平均每年降低百分比为x，则500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故选C.3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝2kx＋m(k，m为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36℃的保鲜时间是(A)A．4小时 B．8小时C．16小时 D．32小时[解析]依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝64，,218k＋m＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,k＝－\f(1,9)，))∴y＝.当x＝36时，y＝＝22＝4，故选A.4．某一辆汽车经过多次实验得到，每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下四种模型供选择：甲：Q＝av2＋bv＋c，乙：Q＝av3＋bv2＋cv，丙：Q＝0.5v＋a，丁：Q＝klogav＋b.其中a，b，c均不为0，其中最符合实际的函数模型为(B)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]依题意可知该函数必须满足三个条件：第一，定义域为[0,120]；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点．当v＝0时，Q＝klogav＋b没有意义，排除丁，函数Q＝av2＋bv＋c不经过坐标原点，排除甲，函数Q＝0.5v＋a单调递减，排除丙，故最符合实际的函数模型为乙．5．地震以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级γ可定义为γ＝0.6lgI．在2021年3月下旬，A地区发生里氏3.1级地震，B地区发生里氏7.3级地震，则B地区地震所散发出来的相对能量是A地区地震所散发出来的相对能量的_________倍(C)A．7 B．106C．107 D．108[解析]设里氏3.1级地震所散发出来的能量为I1，里氏7.3级地震所散发出来的能量为I2，则3.1＝0.6lgI1……①，7.3＝0.6lgI2……②②－①得：4.2＝0.6lgeq\f(I2,I1)，解得：eq\f(I2,I1)＝107.故选C.二、填空题6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)_.[解析]依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝eq\f(5,4)a，∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．7．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入a亿元进行基础建设，t年后产生f(t)＝aeeq\f(tln2,4)亿元社会经济效益．则该市经过_12_年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍．[解析]设投资t年后，产生的社会经济效益是投资额的8倍，则有＝8a，解得t＝12，所以再过12年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍．8．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：x1234f(x)4.005.627.008.86则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是_①_.[解析]若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝4，,f3＝7，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2)，))经检验是最适合的函数模型．三、解答题9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃，需要多少时间？(参考数据：lg11≈1.04，lg2≈0.30)[解析]由题意知40－24＝(88－24)·，即eq\f(1,4)＝，解得h＝10.故T－24＝(88－24)·.当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，两边取对数，求得t≈25.因此，约需要25min，可降温到35℃.10．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为eq\r(e)－1秒，当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100千米/时的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)[解析]因为刹车反应时间为eq\r(e)－1秒，所以S1＝10ln(eq\r(e)－1＋1)＝10lneq\r(e)＝5，当车速为60千米/小时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，解得b＝eq\f(1,180)，即S2＝eq\f(1,180)v2.若v＝100，则S2＝eq\f(1,180)×1002≈56，S1＝5，所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．B组·能力提升一、选择题1．一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么(D)A．人可在7s内追上汽车B．人可在10s内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5mD．人追不上汽车，其间距最少为7m[解析]设汽车经过ts行驶的路程为sm，则s＝eq\f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D.2．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(C)A．2021年 B．2022年C．2023年 D．2024年[解析]设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝eq\f(20,13)，∴x＝log1.12eq\f(20,13)＝log1.1220－log1.1213＝eq\f(lg20,lg1.12)－eq\f(lg13,lg1.12)＝eq\f(lg2＋lg10－lg1.3＋lg10,lg1.12)≈eq\f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2023年超过200万元．3．(多选题)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是(ABD)A．这几年生活水平逐年得到提高B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年D．虽然2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善[解析]由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2016～2017年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2017～2018年比较平缓，故C错；2018年“生活价格指数”降低，而“收入指数”上升．因此生活水平有较大改善，故D正确，故选ABD.二、填空题4．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b，现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为_1.75_万件．[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝0.5a＋b，,1.5＝0.25a＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)．5．生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间)为5730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有_2_161_年．(参考数据：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，结果精确到年)[解析]设生物死亡的年数为x年，由题意得∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴该古墓距出土时约有2161年．三、解答题6．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析](1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴总利润y＝8.25万元．②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18.令eq\r(x)＝t，t∈[0,3eq\r(2)]，则y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2).∴当t＝4时，ymax＝eq\f(17,2)＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．C组·创新拓展一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为eq\f(a,2).为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的eq\f(1,4).已知