关于两个渐近公式的注记

关于两个渐近公式的注记

对于指定的自然数m和任意自然数n，定义了f（n）=（m，n）和g（n）=[m，n）。这显然是可执行的函数。在这项工作中，我们的主要目标是使用分析方法研究这两个函数的性质，并得到以下有趣的渐近公式，以证明以下一点。定理1设m为任意给定的正整数,α为实数.则对任意的实数x≥1有渐近公式∑n≤xσα(f(n))=σ1-α(m)m1-αx+Ο(x12+ε),(1)∑n≤xσα(f(n))=σ1−α(m)m1−αx+O(x12+ε),(1)其中σα(n)=∑d|ndα,ε为任意给定的正数.特别当α=0,1时,我们有下面的:推论对于任意实数x≥1,有渐近公式:∑n≤xd(f(n))=σ(m)mx+Ο(x12+ε),(2)∑n≤xσ(f(n))=d(m)x+Ο(x12+ε),(3)其中d(n)为除数函数,σ(n)为除数和函数.定理2设m为任意给定的正整数,φ(n)为欧拉函数,则对任意实数x≥1有∑n≤xφ(f(n))=x⋅φ(m)m∏pβ∥m(1+β-β-1p)+Ο(x12+ε).(4)定理3设m为任意给定的正整数,α≠0,-1,则对任意实数x≥1有渐近公式∑n≤xσα(g(n))=xα+1⋅ζ(α+1)α+1∏pβ∥m(1-1p+1p(β+1)(α+1)-α)+Ο(xα+12+ε).(5)定理4设m为任意给定的正整数,则对任意实数x≥1有其中C为欧拉常数.定理5设m为任意给定的正整数,则对任意实数x≥1有∑n≤xφ(g(n))=x22ζ(2)∏pβ∥m1p2β(1+p2β+3-p3p3+p2-p-1)+Ο(x32+ε).(6)2fn2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1/2.2.1/2.2.1/2.2.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1/2.2.2s2.2.2t1/2.2t1/2.2t1/2.2.2.3.2.2t1/2.2t1/2t1/2t1/2t1/2s2t1/2t1/2+srs2t1/2t1/2+2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.2.3.2.2.3.2.3.2.2.2t1/2+2t1/2+2t1/2+2t1这节我们来完成定理的证明,首先证定理1.令h(s)=∞∑n=1σα((m,n))ns,因为m固定时f(n)=(m,n)为n的可乘函数,且不难验证σα((m,n))也为n的可乘函数.则由Eurler积公式知因为|σα((m,n))|<Κ,|∞∑n=1σα((m,n))nσ|<Κσ-1其中K为某一只和m,α有关的常数,σ>1为s的实部,则由Perron公式,有其中N为离x最近的整数,当x为半奇数时取N=x-1/2,‖x‖=|x-N|.在上式中取a(n)=σα(f(n)),s0=0,b=2,Τ=x3/2,Η(x)=Κ,B(σ)=Κσ-1,则有∑n≤xσα(f(n))=12πi∫2+iΤ2-iΤζ(s)R(s)xssds+Ο(x1/2+ε),其中R(s)=∏pβ∥m(1+1ps-α+1p2(s-α)+⋯+1pβ(s-α)).现在来估计12πi∫2+iΤ2-iΤζ(s)R(s)xssds.将积分线从2±iT移到1/2±iT.考虑到函数ζ(s)R(s)xss在s=1处有一个一阶极点,留数为R(1)x.即12πi(∫2+iΤ2-iΤ+∫1/2+iΤ2+iΤ+∫1/2-iΤ1/2+iΤ+∫2-iΤ1/2-iΤ)ζ(s)R(s)xssds=R(1)x.取T=x3/2,容易估计|12πi(∫1/2+iΤ2+iΤ+∫2-iΤ1/2-iΤ)ζ(s)R(s)xssds|≪∫21/2|ζ(σ+iΤ)R(s)x2Τ|dσ≪x2Τ=x1/2;再利用分部积分法便可得到如下估计|12πi∫1/2-iΤ1/2+iΤζ(s)R(s)xssds|≪∫Τ0|ζ(1/2+it)R(s)x1/2t|dt≪x1/2+ε;由于R(1)=∏pβ∥m(1+1p1-α+1p2(1-α)+⋯+1pβ(1-α))=σ1-α(m)m1-α所以∑n≤xσα(f(n))=σ1-α(m)m1-αx+Ο(x12+ε).这样就完成了定理1的证明.以下我们完成其余定理的证明.令f1(s)=∞∑n=1φ(f(n))ns,f2(s)=∞∑n=1σα(g(n))ns,f3(s)=∞∑n=1φ(g(