理数-四川省九市2024高三第一次诊断考试

遂宁市高2021级第一次诊断性考试数学（理科）用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项3．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2023，则输出的y值为()4．甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中帢有两个白球的概率为()---------6．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，F为CD边上一点，若AF.AE=|AE|2，则AF=7．“Q=”是“函数y=sin(2xQ)的图象关于直线x=对称”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件,F2为双曲线C:22xy a2b2F2F2的面积为6，则C的方程为()9．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有A,B,C,D,E五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有()A．420B．460C．480D．52010．若点P是函数f(x)=sxx图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是()「π]「ππ)(π2π]「2π)「π]「ππ)(π2π]「2π)11．如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，点P是线段AB1上的动点（含端点点Q是线段AC的中点，设PQ与平面ACD1所成角为θ,则cosθ的最小值是()点．P为C上一点，且PF2」x轴，直线AP与y轴交于点M，直线BM与PF2交于点Q，直线F1Q与y轴交于点N．若ON=OM，则C的离心率为()14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：.①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是π.15．在正四棱台ABCD一A1B1C1D1内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球若A=2,AB=4，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为.---------三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，1712分）某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：良优合计甲生产线40乙生产线合计300（1）通过计算判断，是否有90%的把握认为产品质量与生产线有关系？（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数X的分布列和数学期望.附表及公式：00.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.6351812分）已知数列{an}与正项等比数列{bn}满足an=log2bn(nE**)，且.（2）设cn=an.bn，求数列{cn}的前n项和Sn.=4,b5-b1b3=0这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.1912分）已知O为坐标原点，过点P(2,0)的动直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点.------（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q，使得经AQP=经BQP恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2012分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，直线C1B」平面ABC，平面AA1C1C」平面BB1C1C.（1）求证：AC」BB1；（2）若AC=BC=BC1=2，在棱A1B1上是否存在一点P，使二面角P-BC-C1的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.2112分）已知函数f(x)=ax3+2sinx-xcosx（其中a为（2）探究f(x)在(-π,π)上的极值点个数.（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一(x=tcosa,ly=tsina(x=tcosa,ly=tsina标系.（1）求C的极坐标方程；（2）若曲线C与C1,C2分别交于A,B两点，求△OAB面积的最大值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）（1）解不等式f(x)<5-2x；理科数学参考答案1.B2.C3.D4.B5.C6.D7.A8.B9.C10.C11.A12.B13.11cos2工十1等均可）15.槡52—3002—~3.704>2.706,………………4分因此,有90%的把握认为产品质量与生产线有关系.………5分（2）6件产品中产自于甲、乙生产线的分别有2件和4件,则X可能值为0,1,2.则P（X—0）———；P（X—1）———；P（X—2）———.则X的分布列为X012P15351510分…………………10分所以,E（X）—0X十1X十2X—1.…………………12分因为数列{bn}是正项等比数列,设公比为q,所以b6—b3q3,又b3—16,b6—128,所以128—16q3,解得q—2,……………………3分所以b1———4,所以bn—b1qn—1—4.2n—1—2n十1.所以an—log2bn—n十1.故数列{an}的通项公式为an—n十1,{bn}的通项公式为bn—2n十1.………6分数学（理科）试题答案第1页（共5页）若选②,由b5—b1b3—0,得b5—b1b3.因为数列{bn}是正项等比数列,设{bn}的公比为q,所以b1q4—b1.b1q2,因为b1—4,所以q2—4,又bn>0,所以q—2,………………3分所以bn—b1qn—1—4.2n—1—2n十1,所以an—log2bn—n十1.数列{an}的通项公式为an—n十1,{bn}的通项公式为bn—2n十1.…………6分n—an.bn—（n十1）.2n十1,所以sn—2.22十3.23十4.24十…十（n十1）.2n十1,……7分2sn—2.23十3.24十…十n.2n十1十（n十1）.2n十2.两式相减,得—sn—2.22十23十24十…十2n十1—（n十1）.2n十2,…………9分所以—sn—2十（21十22十23十24十…十2n十1）ℴ（n十1）.2n十2—2十2（11——2十1）ℴ（n十1）.2n十2——n.2n十2.故sn—n.2n十2.……………12分故可设直线l的方程为工—m>十2,A（工1,>1）,B（工2,>2）.2—4工,2—4m>—8—0.…………2分（工—m>十2显然,Δ—16m2十32>0,于是>1十>2—4m,>1>2——8,工1工2—>>—4.…………4分一一所以OA.OB—工1工2十>1>2——4.…………5分故当人AQP—人BQP时,点Qe工轴.………6分当直线l与工轴不垂直时,由抛物线的对称性知,满足条件的点Qe工轴,设Q（n,0）,由人AQP—人BQP得KAQ十KBQ—0,即工1>1n十工2>2n—0,………………8分>21—n）—0,即>12十2—n）十>2（m>1十2—n）—0,所以2m>1>2十（2—n>1十>2）—0.………10分故—16m十4（2—n）m—0,解得n——2.综上,存在定点Q（—2,0）满足条件.………12分数学（理科）试题答案第2页（共5页）20.【解析】（1）在平面BB1C1C中作BH*CC1于H，因为平面AA1C1C*平面BB1C1C，且平面AA1C1C-平面BB1C1C—CC1，所以BH*平面AA1C1C，从而AC*BH.…2分在三棱柱ABC—A1B1C1中，C1B*平面ABC，AC.平面ABC，所以AC*C1B.又因为BC1-BH—B，所以AC*平面BB1C1C，因此AC*BB1.………………5分两两垂直，如图，以C为原点建立空间直角坐标系.设—λ—（2λ,ℴ2λ,0λ,[0，1]，则P（2λ,4—2λ,2）.……………7分设平面PBC的一个法向量为n1—（工，>，之1'n1.—0.—0,&2λ工十（2—2λ)>.—0.—0,,'2>—0，,则有%'>—0.令工—1，得n1—（1，0，ℴλ).………………10分而平面BCC1的一个法向量可以是n2—（1，0，0则"cos〈n12—3槡1010 1.n2"—（1ℴλ).（1，0，3槡1010122,解得λ—13，即P为棱B1A1的三等分点，—.…………………12分,/0，0，上单调递减.……………………2分又f,（0）—1，f,——X2十—1—/0，故0工1,（0f,（工1）—0，1/工/时，f,（工）数学（理科）试题答案第3页（共5页）0，上的极大值点，又f（0）—0，f——十2>0，所以，当a——，工e0，时，f（工）>0.………………4分依题意，只需探究fI（工）—3a工2十cos工十工sin工在(ℴπ,π)上的零点个数即可，f（工）在(ℴπ,π)上的极值点个数为0.…6分(Ⅱ)当—1<6a<1，即—<a<时，3工0e（0，π),使得工0（6a十cos工0）—0，即cos工0——6a，可知0<工<工0时，UI工0，π)上单调递减，…………7分由于fI（0）—1，fI(π)ℴ3aπ2—1，①若fI(π)ℴ3aπ2—1>0，即三a<时，fI（工）在(ℴπ,π)上没有零点，故此时f（工）在(ℴπ,π)上的极值点个数为0.……………8分②若fI(π)ℴ3aπ2—1<0，即—<a<时，fI（工）在(ℴπ,π)上有2个零点，所以，f（工）在(ℴπ,π)上的极值点个数为2.………………10分(Ⅲ)当6a三—1，即a三—时，V工e（0，π),UI（工）<fI（工）单调递减，由于fI（0）—1，fI(π)ℴ3aπ2—1<0，此时f（工）在(ℴπ,π)上的极值点个数为2.综上所述：当a>时，f（工）在(ℴπ,π)上的无极值点；a<时，f（工）在(ℴπ,π)上的极值点个数为2.…………………12分数学（理科）试题答案第4页（共5页）>2—|工|十>，得p2—|pcosθ|十psinθ.………………2分由>>0知，p—槡工2十>2>0，且2kπ<θ<2kπ十π,故p—|cosθ|十sinθ,2kπ<θ<2kπ十π,keZ.………………4分（范围写成0<θ<π不扣分）（工—tcosa，：<（t为参数，t>0）的极坐标方程为θ—a，（>—ts