2024届北京市通州区数学九年级上册期末监测模拟试题含解析

2024届北京市通州区数学九上期末监测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（）.

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

2.关于X的一元二次方程X2+（a2-2a）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）

A.2B.（）C.1D.2或（）

3.一组数据3,7,9,3,4的众数与中位数分别是（）

A.3,9B.3,3C.3,4D.4,7

4,若关于X的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）

A.1B.0,1C.1,2D.1,2,3

5.如图，在KfAASC中，AC=3,AB=5,则CoSA的值为（）

6.下列方程是一元二次方程的是（）

,,1

A.2x-3y+lB.3x+y=zC.x2-5x=lD.X2-----+2=0

X

7.从一组数据1,2,2,3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

8.在同一平面直角坐标系中，若抛物线〉=%2+（2〃7-1）%+2〃?-4与〉=£-（3//1+〃）》+〃关于¥轴对称，则符合

条件的ɪn,n的值为（）

518

A.m=—,n=B.m=5,n=-6C.m=-1,n=6D.m=l,n=-2

77

9.抛物线y=αr2+bx+c（α≠l）如图所示，下列结论：φα⅛c<l;②点（-3,j∣）,（1,及）都在抛物线上，则有yι

>J2；③）2>（α+c）2；（4）2a-b<l.正确的结论有（）

10.一元二次方程4x2-3x+-=0根的情况是()

4

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

11.如图，矩形ABC〃是由三个全等矩形拼成的，ACDE.EF.FG.HG.分别交于点尸、。、K、M.N,设

AEPQ、AGKM、AJBNC的面积依次为Si、S2.Si.若Sι+Sι=10,则S2的值为().

C.10D.12

12.某校数学课外小组，在坐标纸上为某湿地公园的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(χk,yQ处,

Xk

其中XI=I,yι=l,且kN2时，,a的整数部分，例如[2.3]=2,

[1∙5]=1.按此方案，第2119棵树种植点的坐标应为(

A.(6,2121)B.(2119,5)C.(3,413)D.(414,4)

二、填空题(每题4分，共24分)

13.某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9,1(),12,X,1.已知这组数据的平均数是10,那么这组数据的方

差是.

14.已知当xι=a,x2=b,X3=C时，二次函数y=；χ2+mx对应的函数值分别为y”y2,y3,若正整数a,b,c恰

好是一个三角形的三边长，且当aVbVc时，都有yιVy2Vy3,则实数m的取值范围是.

15.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AD,BD的中点，若EF=2,则菱形ABCD的周长是

D

E

16.若代数式0二！有意义，则X的取值范围是

九一2

17.如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片A5C中，将B角折起，使点B落在AC边上的点O（不与点A,

如图2,当CD=-AC时，tanα2=—s

312

17

如图3,当。=-AC时，tanα=一；

4324

依此类推，当CZ）=LAC（"为正整数）时，tana,,=.

7

18.抛物线y=（χ-l）2-2与y轴的交点坐标是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知：如图，AABC中，ZBAC=90o,AB=AC=I,点。是BC边上的一个动点（不与8,C点重合）,

NAoE=45°.

（1）求证：AABDSADCE;

（2）设BO=X,AE=y,求y关于X的函数关系式；

（3）当E是等腰三角形时，请直接写出AE的长.

20.（8分）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m）,

另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成.

19m

.1D

H∖____________________Ic

⑴若围成的面积为180,层，试求出自行车车棚的长和宽；

(2)能围成面积为200"产的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方,如果不能，请说明理由.

21.(8分)在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/加下降到12月份的11340元/加.

(1)求11、12两月份平均每月降价的百分率是多少？

(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元O/?请

说明理由

22.(10分)某玩具商店以每件60元为成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了

扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天

可多卖2件.

(1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？

(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？

/7

23.(10分)如图1,已知抛物线y='二x2+bx+c经过点A(3,0),点8(-1,0),与y轴负半轴交于点C,连接

3

BC.AC.

(1)求抛物线的解析式；

3

(2)在抛物线上是否存在点尸，使得以A、B、C、尸为顶点的四边形的面积等于AABC的面积的士倍？若存在，求出

2

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,直线8C与抛物线的对称轴交于点K,将直线AC绕点C按顺时针方向旋转a。，直线AC在旋转过程中

的对应直线A(与抛物线的另一个交点为M.求在旋转过程中AMCK为等腰三角形时点M的坐标.

24.(10分)某批发商以每件50元的价格购500件T恤，若以单价70元销售，预计可售出200件，批发商的销售策

略是：第一个月为了增加销售，在单价70元的基础上降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，

但最低单价高于购进的价格，每一个月结束后，将剩余的T恤一次性亏本清仓销售，清仓时单价为40元.

(D若设第一个月单价降低X元，当月出售T恤获得的利润为乃元，清仓剩下T恤亏本外元，请分别求出力、力与

X的函数关系式；

(2)从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为IOOO元？

25.(12分)一次函数y=-2%-2分别与X轴、轴交于点A、瓦顶点为(1,4)的抛物线经过点A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C为第一象限抛物线上一动点.设点C的横坐标为机，ΔABC的面积为S.当"7为何值时，S的值最大，并求S

的最大值；

(3)在(2)的结论下，若点“在轴上，ΔΛCM为直角三角形，请直接写出点M的坐标.

k

26.在平面直角坐标系Xoy中，直线V=X与双曲线丁=一住≠0)交于点A(2,a).

(1)求)与&的值;

k

(2)画出双曲线y=]Awθ)的示意图；

k

⑶设点p(m,")是双曲线.V=E(ANO)上一点(P与A不重合)，直线Q4与)'轴交于点B(OS),当AB=2BP时,

结合图象，直接写出。的值.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【解析】试题分析：半径r=5,圆心到直线的距离d=3,∙.∙5>3,即r>d,.∙.直线和圆相交，故选C.

【考点】直线与圆的位置关系.

2、B

【解析】设方程的两根为X“X2,

根据题意得Xl+X2=l,

所以a42a=l,解得a=l或a=2,

当a=2时，方程化为χ2+l=l,Δ=-4<l,故a=2舍去，

所以a的值为1.

故选B.

3、C

【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义进行分析求解判断即可.

【详解】解:将数据重新排列为3,3,4,7,9,

.∙.众数为3,中位数为4.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查众数、中位数，熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键.

4、A

【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4x3k,

由方程有实数根，得(-4)2-4χ3k≥0,

4

解得k≤;,

3

由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0,

4

所以k的取值范围为且k≠0,

即k的非负整数值为1,

故选A.

5、B

【分析】根据余弦的定义计算即可.

【详解】解：在Rtz!∖ABC中，

AC3

cosA4=----=—；

AB5

故选：B.

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边C的比叫做NA的余弦是解题的关键.

6、C

【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为L逐一判断即可.

【详解】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意；

B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故此选项符合题意；

D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程定义，一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数

不为L

7、C

【分析】根据中位数的定义求解可得.

2+2

【详解】原来这组数据的中位数为——=2,

2

无论去掉哪个数据，剩余三个数的中位数仍然是2,

故选：C.

【点睛】

此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，掌握正确的计算方法才能解答.

8、D

【解析】由两抛物线关于y轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于y轴对称，与y轴交于同一点，由此可得二次项系

数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于m、n的方程组，解方程组即可得.

【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，

2m-1=3m+n

n=2m-4

m=l

解之得

n=-2

故选D.

【点睛】

本题考查了关于y轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键.

9、B

【分析】利用抛物线开口方向得到a>l,利用抛物线的对称轴在y轴的左侧得到b>l,利用抛物线与y轴的交点在X

轴下方得到cVl,则可对①进行判断；通过对称轴的位置，比较点(-3,y1)和点(1,yz)到对称轴的距离的大小可

对②进行判断；由于(a+c)2-b2=(a+c-b)(a+c+b),而x=l时，a+b+c>l;x=・l时，a-b+c<l,则可对③进行判断;

利用-1<<O和不等式的性质可对④进行判断.

2a

【详解】•・•抛物线开口向上，

.∙∙α>L

V抛物线的对称轴在轴的左侧,

.β.a>》同号,

Λ⅛>l,

・・・抛物线与y轴的交点在X轴下方,

JcVl,

Λabc<l9所以①正确;

b

•・•抛物线的对称轴为直线X=——,

2a

Hb

而-IV------VL

2a

・•・点(-3,W)到对称轴的距离比点(1,垃)到对称轴的距离大,

ΛJI>J2,所以②正确;

∙.”=1时，y>l9即α+Hc>l,

X=-I时，j<l,BPa-b+c<.l9

2

∙'∙(α+C)2-b=(Q+C-∖)(α+c+⅛)<1,

Λ*2>(α+c)2,所以③正确;

V-K--<1

2a9

：・-2aV-b,

Λ2α→>l,所以④错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>l时，抛物线向上开口；

当aVl时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴

左；当a与b异号时，对称轴在y轴右.常数项C决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（1,c）.抛物线与X

轴交点个数由判别式确定：4=b2-4ac>l时，抛物线与X轴有2个交点；4=b2-4ac=l时，抛物线与X轴有1个交点；

∆=b2-4ac<l时，抛物线与X轴没有交点.

10、D

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△>（）,由此即可得出原方程有两个不相等的实数根.

【详解】解：4x2-3x+'=0,

4

这里α=4,b=-3,c=ɪ,

4

b2-4ac=（-3）2-4X4x'=5>0,

4

所以方程有两个不相等的实数根，

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是根据一元二次方程根的判别式来判断方程的解的情况，熟记公式是解此题的关键.

11、D

【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质判断出AAQEsaAMGsZiACB,得到

OFAF1RCAR3

^-=—再通过证明得到APQESAKMGSANCB,利用面积比等于相似比的平方，得到

MGAG2MGAG2

SKS2、Sl的关系，进而可得到答案.

【详解】解：；矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，

ΛAE=EG=GB=DF=FH=HC,NAEQ=NAGM=NABC=90°,AB〃CD,AD〃EF〃Gl1〃BC

.∙.ZAQE=ZAMG=ZACB,

二∆AQE<×>∆AMG^∆ACB,

.QEAE1BCAB3

"MG-AG-2,MG^AG^2

YEG=DF=GB=FHAB〃CD,（已证）

.∙.四边形DEGF,四边形FGBH是平行四边形，

ΛDE∕7FG∕7HB

ΛZQPE=ZMKG=ZCNB,

Λ∆PQE∞∆KMG^∆NCB

.∙.A√≡2√iY=i

S2{MGJ⑶4

S2yMG){2j4

19

∙'∙Sl=ZS2，S3=W‘2

VSj+Sι=10,

ΛS2=2.

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形相似的性质的综合应用，能找到对应边的比是解答此题的关键.

12、D

【分析】根据已知分别求出l≤k≤5时，P点坐标为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5),当6≤k'll时，P点

坐标为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5),通过观察得到点的坐标特点，进而求解.

【详解】解：由题可知l≤k≤5时，P点坐标为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5),

当6≤k≤ll时，P点坐标为(2,IX(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5),

通过以上数据可得，P点的纵坐标5个一组循环，

：2119+5=413…4,

.∙.当k=2U9时，P点的纵坐标是4,横坐标是413+1=414,

ΛP(414,4),

故选：D.

【点睛】

本题考查点的坐标和探索规律；能够理解题意，通过已知条件探索点的坐标循环规律是解题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、2

1-

【分析】首先根据平均数确定X的值，再利用方差公式S2=—[(XLX)2+(X2-X)2+…+(Xn-X)2],计算方差

n

即可.

【详解】•••组数据的平均数是10,

1

.∙.-(9+10+12+x+l)=10,

解得：x=ll,

ΛS2=i[[(9-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(11-10)2+(1-10)2],

5

=ɪ×(1+0+4+1+4),

5

=2.

故答案为:2.

【点睛】

_1

本题考查了方差，一般地设n个数据，XI,X2,…Xn的平均数为X,则方差S2=-[(Xi-χ)2+(χ-)2+...(χ

n2χ+n

-7)2],它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

5

14、m>——.

2

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2,b最小是3,再根据二次函数的增减性和对称性判

断出对称轴小于2.5,然后列出不等式求解即可：

【详解】解：正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长，且aVbVc,

.'•a最小是2,b最小是3.

17∣Q

.∙.根据二次函数的增减性和对称性知，丫=已*2+小的对称轴半=2.5的左侧，

22

••12ɪ/∖2ITl

.y=-x^+nυc=-(xΛ-m)------,

22v72

-.55

22

.∙.实数m的取值范围是加>—』.

2

考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.二次函数的性质；3.三角形三边关系.

15、1

【解析】试题分析：先利用三角形中位线性质得到AB=4,然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长.

VE,F分别是AD,BD的中点，,EF为AABD的中位线，ΛAB=2EF=4,

：四边形ABCD为菱形，ΛAB=BC=CD=DA=4,二菱形ABCD的周长=4x4=1.

考点：(1)菱形的性质；(2)三角形中位线定理.

16、x≥l且x≠l

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,即可求解.

【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：X-GO且x-l#),

解得：XNl且XrL

故答案为：x≥l且x≠l.

【点睛】

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大.

13

17、一

84

【分析】探究规律，利用规律解决问题即可.

【详解】观察可知，正切值的分子是3,5,7,9,…，2n+l,

分母与勾股数有关系，分别是勾股数3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；…，2n+l,空工,(2n+l)2+l

22

中的中间一个.

当CD=LAC时，tan%=J尸

n2n(n+l)

13

将n=7代入得，tanα=—

684

13

故答案为：—

84

【点睛】

本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型.

18、(0,-1)

【解析】将X=O代入y=(X-I)2-2,计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标.

【详解】解：将X=O代入y=(X-I)2-2,得y=-l,

所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,-1).

故答案为：(0,-1).

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据J轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)证明见解析；(2)y=χ2-χ+l=(X-也)2+y;(3)AE的长为2-&或ɪ

22，

【分析】(I)根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证^ABDS4DCE.

(2)由AABDSADCE,对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与X的函数关系式；

(3)当aADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE,AE=DE,AD=AE三种情况讨论求

出满足题意的AE的长即可.

【详解】(1)证明：

VZBAC=90o,AB=AC

NB=NC=NADE=45°

VNADC=NB+NBAD=NADE+NCDE

.∙.ZBAD=ZCDE

Λ∆ABD^>∆DCE;

(2)由(1)得^ABDSJ∆DCE,

.BDAB

••=9

ECCD

VZBAC=90o,AB=AC=I,

ΛBC=λ∕2,CD=λ∕2-X，EC=l-y,

X1

'K后，

Λy=x2-x+l=(χ-1)2+_1；

22

⑶当AD=DE时，∆ABD^∆CDE,

ΛBD=CE,

.∙.x=l-y,即√2X-X2=X,

Vx≠O,

.∙.等式左右两边同时除以X得：χ=√2-l

AE=l-x=2-^2>

当AE=DE时，DELAC,此时D是BC中点，E也是AC的中点，

所以，AE=—；

2

当AD=AE时，NDAE=90°,D与B重合，不合题意；

综上，在AC上存在点E,使aADE是等腰三角形，

AE的长为2-、反或ɪ.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关

键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

20、(1)长和宽分别为18,",10m；(2)不能，理由见解析

【分析】(1)利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可;

(2)利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可.

【详解】解：(1)设AB=x,则BC=38-2x.根据题意，得

x(38-2x)=180,

解得Xl=10,X2=9.

当x=10时，38-2x=18;

当x=9时，38-2x=20>19,不符合题意，舍去.

答：若围成的面积为180肌2,自行车车棚的长和宽分别为18,〃，10〃?.

19m

⑵不能，理由如下：

根据题意，得x(38—2x)=200,

整理，得χ2-19x+100=().

VΔ=b2-4ac=361-400=-39<0,

.∙.此方程没有实数根.

二不能围成面积为200m2的自行车车棚.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握计算法则是解题关键.

21、(1)10%；(1)会跌破IOoOO元∕m∣.

【分析】(1)设11、U两月平均每月降价的百分率是X,那么11月份的房价为14000(l-x),∏月份的房价为

14000(I-X)ɪ,然后根据11月份的11340元∕m∣即可列出方程解决问题；

(1)根据(1)的结果可以计算出今年1月份商品房成交均价，然后和IoOoo元∕m∣进行比较即可作出判断.

【详解】(1)设11、U两月平均每月降价的百分率是X,

则11月份的成交价是：14000(l-x),

H月份的成交价是：14000(l-x)ɪ,

Λ14000(l-x)'=11340,

.∙.(l-x)1=0.81,

.*.x∣=0.1=10%,x∣=1.9(不合题意，舍去)

答：H、11两月平均每月降价的百分率是10%；

(1)会跌破IOOOO7U∕ml.

如果按此降价的百分率继续回落，估计今年1月份该市的商品房成交均价为：

11340(l-x)'=11340×0.81=9184.5<10000,

由此可知今年1月份该市的商品房成交均价会跌破1()000元∕m∣.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是

解题的关键.

22、(1)每件玩具的售价为8()元；(2)每件玩具的售价为85元时，每天盈利最多，最多盈利125()元.

【分析】(1)根据题意，可以得到关于X的一元二次方程，从而可以解答本题；

(2)根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题.

【详解】解：(1)设每件玩具的售价为X元，

(X—60)[20+2(100—x)]=1200,解得：玉=90,X2=80,

扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，.∙.χ=80,

答：每件玩具的售价为80元；

⑵设每件玩具的售价为。元时，利润为W元，

w=(a-60)[20+2(100-a)]=-2(tz-85)2+1250,

即当α=85时，W有最大值为1250元，

答：当每件玩具的售价为85元时，商店每天盈利最多，最多盈利1250元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

23、(Dy=^χ2-2叵X-6；(2)存在符合条件的点P，且坐标为(？二姨,Y3)、(*11,B)、(1,

332222

-迪)、(2,-G)；(3)点M的坐标是(2,-G)或(1,-拽3.

33

【分析】(1)知道A、B两点坐标后，利用待定系数法可确定该抛物线的解析式.(2)此题中，以A、B、C、P为顶

点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是aABC面积的1.5倍，那么四边形中除AABC以外部分的面积应是

△ABC面积的一半，分三种情况：①当点P在X轴上方时，AABP的面积应该是AABC面积的一半，因此点P的纵

坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；②当点P在B、C段时，显然ABPC

的面积要远小于aABC面积的一半，此种情况不予考虑；③当点P在A、C段时，由A、C的长以及AACP的面积可

求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD,使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D

且平行于U的直线解析式，这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P.(3)从题干的旋转条件来看，直线Il旋转

的范围应该是直线AC、直线BC中间的部分，而AMCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK=CM、②KC

=KM,③MC=MK；求出点M的坐标.

T点A(3,0),点B(-1,0),

3√5+3O+C=OIU2√3

〈出，解得〈3,

[3c=73

则该抛物线的解析式为：y=^χ2-空X-A

33

(2)易知OA=3、OB=1、OC=√3,贝!hSΔABC=ɪAB∙OC=ɪ×4×√3=2√3.

①当点P在X轴上方时，由题意知：S∆z∖BP=ɪSΔABC,贝Ih

点P到X轴的距离等于点C到X轴距离的一半，即点P的纵坐标为正；

2

令y=-38χ-百=正•，化简得：2x2-4x-9=0

332

解得χ=2±√22,

2

.pz2-√22√3._f2+√22百、

2222

②当点P在抛物线的B、C段时，显然ABCP的面积要小于TSAABC,此种情况不合题意;

③当点P在抛物线的A、C段时，SAACP=ɪAC∙h=ɪSΔABC=√3.贝IJh=1；

在射线CK上取点D,使得CD=h=l,过点D作直线DE〃AC,交y轴于点E,

如图2；

在RtACDE中，ZECD=ZBCO=30o,CD=I,贝|]CE=^^、OE=OC+C,点E(0,-)

333

√35√3

y=—X--------

.∙.直线DE：y=是X-巫,联立抛物线的解析式，有:33

33ʌ/ɜ2r-

V=——X--------x-√3

33

X=2

解得:46或彳

--------y=—√3

3

.∙.P3(1,-迪)、P4(2,-√3);

3

—旦，(I,"),(“)；

综上，存在符合条件的点P,坐标为J-后,

22223

(3)如图3,

答图3

由⑴知丁等•竽X5当（Xe-笄

二抛物线的对称轴χ=l;

①当KC=KM时，点C、MI关于抛物线的对称轴x=l对称，则点Ml的坐标是（2,-√3）;

②KC=CM时，K（1,-2JJ）,KC=BC.则直线A，C与抛物线的另一交点Mz与点B重合，M、C、K三点共线,

不能构成三角形；

③当MK=MC时，点D是CK的中点.

VZOCA=60o,ZBCO=30o,

ΛZBCA=90o,BPBC±AC,则作线段KC的中垂线必平行AC且过点D,

，点M3与点P3(1,-生8)、P4(2,-√3)重合，

3

综上所述，点M的坐标是(2,-G)或(1,-亚).

3

【点睛】

该题考查了利用待定系数法确定函数解析式，图形面积的解法以及等腰三角形的判定和性质等重点知识；后两题涉及

的情况较多，应分类进行讨论，容易漏解.

2

24、(1)ʃ,=-1Ox+400()(0<%<20)；y2=30∞-K‰(0<x<20)；(2)第一个月批发商降价10元时，销售完

这批T恤获得的利润为IOoo元.

【分析】⑴根据y=(70-x-50)(200+10x),%=(40-50)[500—(200+IOx)],展开计算即可.

⑵依题意列出方程即可解决问题.

【详解】(D%=(70-X-50)(200+IOx)

=-10√+4000(0<%<20).

y2=(50-40)[500-(200+10%)]

=3000-100x(0<%<20).

(2)设第一个月批发商降价X元，销售完这批T恤获得的利润为1000元，

由题意(ToX2+4000)+(IOOx-3000)=1000,

整理得Y-iθχ=o,

解得X=O或Io(X=O不合题意，会去)，

第一个月批发商降价10元时，销售完这批T恤获得的利润为IoOO元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用、方程等知识，解题的关键是构建二次函数和方程解决实际问题，属于常考题型.

O(3+而、(3-√17^

25、(Dy=——+2》+3；(2)当加=2时，S的值最大,最大值为一；(3)(0,—1)、(0,5)、0,-ɔ-或0,—ɪ-

【分析】(1)设抛物线的解析式为y=α(x-lp+4,代入点A的坐标即可求解；

(2)连接。C,可得点c(m,τ√+2∕n+3),根据一次函数y=-2x-2得出点A、3的坐标，然后利用三角形面积

公式得出SSBC=SΛAOB+SMoC+SABOC的表达式，利用二次函数的表达式即可求解;

(3)①当AC为直角边时，过点A和点C做垂线交轴于点和点加2,过点C的垂线交X轴于点N,得出

NC4O=45°,再利用等腰直角三角形和坐标即可求解；②当AC为斜边时，设AC的中点为K,以K为圆心AC为

直径做圆于V轴于点“3和点M-过点K作KWJ∙y轴，先得出WK和M4K=M3K=JAC的值，再求出

M4W=的值即可求解.

【详解】解：(1)一次函数V=-2X-2与X轴交于点A，则A的坐标为(一1,0).

抛物线的顶点为(1,4),

设抛物线解析式为y=α(x-l)2+4.

抛物线经过点A(-l,0),

.∙.0=a(-l-l)2+4.

.,.a=­1•

抛物线解析式为γ=-(x-l)2+4=-x2+2x+3;

(2)解法一：连接。C∙

点C为第一象限抛物线上一动点.点C的横坐标为m,

.,.C(m,-W2+2m+3).

一次函数y=-2%-2与y轴交于点BMOB=2,

A的坐标为(一1,0),

.∙.Q4=1.

∙∙∙Swm='θAO6='xlx2=l,

tvt<√∕>22

SMoC=万X°，X(—m^~++3)=—~+772+—,

=-×OB×m=m.

ɪɜɪ519

・q=+222

•∙,jΔASCSΛAOB+SΛAOCS^BOC=^--m+m+-+m=--m+2m+-=--(m-2)+-.

9

当，〃=2时，S的值最大，最大值为一；

2

解法二：作CE∕∕y轴，交.AB于点E.

A的坐标为(TO),,OA=1.

点C为第一象限抛物线上一动点.点C的横坐标为m,

C[jn,-nΓ+2m+3),E(m,-2m-2).

.∙.CE=-m2+2m+3-{-2m-2)=-m2+4m+5.

S22

ʌSAAHc=AACE-S^c=^CE-OA=^xlx(-m+4m+5)=~(m-2)+-.

9

当"2=2时，S的值最大，最大值为一；

2

一次函数y=-2%一2与.丫轴交于点BMOB=2,

点C为第一象限抛物线上一动点.点C的横坐标为M,

.,.C[m,-m2+2m+3).

⅛Ey=-m2+2w7+3代入v=-2x-2,解得X=!机？-m--,

--22

(1ɔ5)1,5

.,.CD=m-∖-m^-m——I=——m^+2m+—.

(22)22

22

∙"∙SAΛBC=SABCD-SWx：=-ɪw+2∕n+∣-^=-^∙(m-2)+^.

9

当〃2=2时，S的值最大，最大值为一；

2

解法四：构造矩形CGGC3∙(或构造梯形BCC36)

一次函数y=-2x-2与.V轴交于点8.则QB=2,

∙.∙A的坐标为(T,0),..C¼=1.

点C为第一象限抛物线上一动点.点C的横坐标为加，

设点C的纵坐标为"，；.〃=一机'+2机+3，

CC1=n+2,CC3=用+1,C3A—m,AC2=2,C,B=I,BC1—m.

m

SΔABC=(+1)(〃+2)-g