新教材2021-2022学年高中数学人教B版必修第一册学案：123充要条件

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第2课时充要条件

基础认知•自主学习《

:；1.充要条件可以用哪些词语表达？

日田

i“心2.充要条件与集合相等之间有什么关系？

1.充要条件

如果p=q且q=p,则称p是q的充分必要条件（简称为充

定义

要条件）

记法poq

读法“p与q等价”“p当且仅当q”

集合如果A={x|p(x)},B={x|q(x)}

观点且A=B,贝IjD(x)=a(x)

一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要

结论

条件

思考

符号的含义是什么？

提示：“=”表示"等价，，，如“A与B等价”指的是“如果A,那么B”，

同时有“如果B,那么A”，或者说“从A推出B”,同时可“从B推出A”.

2.充分性、必要性的其他情况

推出关系充分性、必要性

p=q且q^pp是q的充分不必要条件

pAq且q=pp是q的必要不充分条件

p是q的既不充分

PM且q#p

也不必要条件

基础小测

1.辨析记忆（对的打y”,错的打“X”）.

（1）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.（）

（2）若p沙q和q法p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.（）

⑶若p是q的充要条件,q是r的充要条件，则p是r的充要条件.

（）

提示：（1）V.当p是q的充要条件时，p=q,且q=P,故说成q成立当且

仅当p成立，这种说法正确.

⑵J.若p中q或q和，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件,

故此说法正确.

（3）V.因为p=q,q=r,所以p=r,所以p是r的充要条件.

2.若p是r的充分非必要条件,q是s的必要非充分条件，且r是s的充分

非必要条件，则p是q的条件（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

选A.因为p是r的充分非必要条件,q是s的必要非充分条件，且r是s

的充分非必要条件，

即p=>r,r不能推出p;r=>s,s不能推出r;s=>q,q不能推出s;

所以p=>q,q不能推出p,即p是q的充分非必要条件.

3.(教材练习改编)设集合M={x|0<xS3},N={x|0<xS2},那么“a£M”是“a

WN”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

选B.因为NCM.所以“a£M”是“a£N”的必要而不充分条件.

》能力形成•合作探究《

类型一充分条件和必要条件的综合判断(逻辑推理)

【典例】1.一元二次函数y=ax2+bx+c,a#0图像的顶点在原点的必要不

充分条件是()

A.b=O,c=OB.a+b+c=O

C.c=O,b#OD.bc=O

2.下列各题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条

件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？

(l)p:x#0,q:x+|x|>0.

(2)p:a>0,q:关于x的方程ax+b=O(a,b£R)有唯一解.

(3)p:ab>0,a,b£R,q:|a+b|=|a|+|b|.

(4)p:c=O,q:y=ax2+bx+c(a^0)的图像经过原点.

【思路导引】1.一元二次函数y=ax?+bx+c的图像的顶点在原点的充要

条件为b=O,c=O,再利用定义法解决.

2.依据“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不

必要条件”的定义判断.

1.选D.若一元二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点在原点，则-&=0,且

2a

c=0,所以顶点在原点的充要条件是b=0,c=0,故A是充要条件,B,C既不

充分也不必要,D是必要不充分条件.

2.⑴因为由xWO推不出x+|x|>0,如x=-1HO,但是x+|x|=O,所以

p+q,

由x+1x|>0可得x>0,可推出xH0,所以q今p,

所以p是q的必要不充分条件.

⑵当a>0时，关于x的方程ax+b=O(a,b£R)有唯一解x=--,所以p=q,

a

若关于x的方程ax+b=O(a,b£R)有唯一解，则aHO,推不出a>0,所以

q/p,

所以p是q的充分不必要条件.

⑶当ab>0时，|a+b|=|a|+|b|成立，所以poq,因为a=0时，也有

|a+b|=|a|+|b|,

所以q中p,所以p是q的充分不必要条件.

(4)当c=0时，函数y=ax，bx+c的图像经过原点；

当y=ax，bx+c(aHO)的图像经过原点时，

0=aX02+bX0+c,所以c=0,

所以pQq,所以p是q的充要条件.

解题策略

从命题角度判断p是q的充分必要条件

⑴原理：

判断P是q的充分必要条件,主要是判断poq及qop这两个命题是否

成立.

(2)方法：

①若p=q成立,则p是q的充分条件，同时q是P的必要条件；

②若qop成立,则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；

③若二者都成立,则P与q互为充要条件.

跟踪训练

下列各题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条

件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？

(I)p:x2=3x+4,q:x=43%+4.

(2)p:a是自然数,q:a是正数.

(3)p:a=l,q:a的倒数是其本身.

(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等,q:a=l或a=0.

⑴当x=-1时，x?=3x+4成立，但是x=73x+4不成立，所以P市q,由

x=，3%+4两边平方可得X2=3X+4,所以q今p,所以p是q的必要不充分

条件.

(2)0是自然数，但是0不是正数，

所以p^q,1.5是正数，但是1.5不是自然数，

所以q+p,所以p是q的既不充分也不必要条件.

⑶倒数是其本身的数有±1,所以q+p,且poq,

所以p是q的充分不必要条件.

(4)当a=1,点P(1,1)到两坐标轴距离相等;

当a=0,点P(2,-2)到两坐标轴距离相等;

当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时,

|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.

所以p=q,所以p是q的充要条件.

类型二充要条件的证明(逻辑推理)

【典例】1.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(X)有一个根为1的充要条件

是a+b+c=0.

2.求证:方程f(%)=0有一根为1的充要条件是f(l)=0.

【思路导引】从充分性和必要性两个方面证明.

【证明】1.因为a+b+c=0,

所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中，

得ax2+bx-a-b=0,

即(x-1)(ax+a+b)=0.

所以方程(X)有一个根为1,

所以a+b+c=00方程(X)有'一个根为1.

因为方程ax，bx+c=0有一个根为1,

所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.

所以有aX12+bX1+c=0,即a+b+c=0.

所以方程(X)有一■个根为10a+b+c=O,

从而a+b+c=0o方程(X)有一■个根为1,

因此a+b+c=O是方程(X)有一个根为1的充要条件.

2.充分性:当f(l)=O时，即x=l代入f(%)=0,等式成立，所以f(l>0是

f(%)=0有一根为1的充分条件；

必要性:当f(%)=0有一根为1时，

即(1,0)为y=f(%)与X轴的一个交点，

所以f(l)=0,所以f(l)=0是f(X)=0有一根为1的必要条件，

综上所述:方程f(%)=0有一根为1的充要条件是f(l)=0.

一题多变

将本例1的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负

根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,如何证明?

【证明】因为ac<0,所以△=b2-4ac>0,方程ax?+bx+c=0中有两个不等实

根，由根与系数关系可知这两个根的积为£<o,

a

所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一■个负根，

所以ac<0=方程(X)有一个正根和一个负根.

因为方程ax2+bx+c=0有一■个正根和一■个负根，

由根与系数关系可知这两个根的积为-<0,

所以ac<0.所以方程（X）有一个正根和一'个负根0ac<0,从而2（3<0=方

程（X）有一个正根和一个负根，因此ac<0是方程（X）有一个正根和一

个负根的充要条件.

解题策略

充要条件的证明策略

（1）要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向

进行，即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.

⑵在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集

是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推

证到哪些结论.

提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证明方向.

跟踪训练

求证:关于x的方程x2+mx+l=0有两个负实数根的充要条件是m>2.

【证明】（1）充分性：因为m22,所以△=m2-4N0,所以方程x2+mx+1=0

有实根，设两根为X”X2,由根与系数的关系知，Xi•X2=1>0,所以Xi,X2同

号.又x1+x2=-m^-2<0,所以Xi,X2同为负数.

即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m22;

2

⑵必要性：因为x+mx+1=0有两个负实根,设其为xbx2,且Xlx2=1,

（2

所~以,A=m-4>0.

3+x2=-m<0,

即>2或m<-2,

\m>0,

所以m22,即x2+mx+1=0有两个负实根的必要条件是m22.

综上可知,m22是x2+mx+1=0有两个负实根的充分必要条件.

类型三用集合观点解充分条件、必要条件问题(数学运算)

【典例】1.已知p:点M(l-a,2a+6)在第四象限,q:a<l,则p是4的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知p:{x|-l<x<3},q:{x[-l<x<m+l},若q是p的必要不充分条件，则实

数m的取值范围是.

【思路导引】1.第四象限内的点横坐标大于0,纵坐标小于0.依据“小范

围”推“大范围”，“大范围”推不出“小范围”判断.

2.利用必要不充分条件与集合间的包含关系，建立关于m的不等式，求m

的取值范围.

1.选A因为点M(1-a,2a+6)在第四象限,

1-a>0,

所以解得a<-3.

2a+6<0,

因为(-°°,-3)U(~°°,1),

所以p=>q,q中p,

所以p是q的充分不必要条件.

2.由题意，p:{x|-1<x<3],q:{x|-1<x<m+1},

因为q是P的必要不充分条件，则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范

围是(2,+°°).

答案：(2,+8)

解题策略

从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若AcB,则p是q的充分条件,若AUB,

则P是q的充分不必要条件

若BeA,则p是q的必要条件,若BUA,

则P是q的必要不充分条件C3

若A=B,则p,q互为充要条件

若A2B且B&A,则p既不是q的充分条件，

也不是q的必要条件CD0

其中p:A={x[p(x)成立},q:B={x[q(x)成立}.

题型比比看

⑴已知p:-2sxs10,q:l-mSxSl+m(m>0),且p是q的充分不必要条件，则实

数m的取值范围为.

(2)已知p:-2sxs10,q:l-mSxSl+m(m>0),且p是q的必要不充分条件，则实

数m的取值范围为.

(1)因为P是q的充分不必要条件，所以p=q且q力p.即｛x|-2WxW10｝

是｛x11-mWxW1+m,m>0｝的真子集,

切>。，fl-m<-2,

所以或｛m>0,解得G9.

1+m>10(1+m>10,

所以实数m的取值范围为｛m|m29｝.

⑵因为p是q的必要不充分条件，所以qop,且p力q.

则{x11-mWxW1+m,m>0}U{x|-2WxW10},

m>0,

所以1-m>-2,

1+m<10

解得0<mW3.经检验符合题意.

即m的取值范围是(0,3].

答案：(1)(2)(0,3]

跟踪训练

(2021.荷泽高一检测)若不等式l<x<3的必要不充分条件是m-2<x<m+2,

则实数m的取值范围是()

A.[l,2]B.[l,3]

C(-l⑵D.(l,3)

选B.设A={x11<x<3),B={x|m-2<x<m+2]，因为不等式1<x<3的必要不充

分条件是m-2<x<m+2,可得A是B的真子集，

所以怔2W1

1m+2>3

解得1WmW3,经检验m=1和m=3符合题意，

所以1WmW3.

II

已知p:-l<x<3,q:k-2sxsk+5,若p是q的充分不必要条件,求实数k的取

值范围.

因为p是q的充分不必要条件，

所以p对应的集合是q对应集合的真子集，

所以（7,3）U[k-2,k+5],

所以尸<-1,

l/c+5>3

=-2WkW1.

所以实数k的取值范围是[-2,1].

》学情诊断•课堂测评⑥

1.（2021•南宁高一检测）“x=3"是22=9”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

选A.由X2=9得到x=±3;所以由“x=3"能推出‘<=9"；由‘<=9”不能推出

“x=3”；因此“x=3”是“x?=9”的充分不必要条件.

2.（2021.上海高一检测）二次函数y=ax2+bx+c（a/））的值恒为正值的充要

条件是（）

A.b2-4ac>0B.b2-4ac>0

C.a>0,b2-4ac<0D.a<0,b2-4ac<0

选C.二次函数y=ax2+bx+c（a/））的值恒为正值，则函数y=ax2+bx+c（a^O）

的图像开口向上，且与x轴没有交点