江苏省高中数学选修选修2-3答案

选修2-3参考答案

第1章计数原理

第1课时两个基本计数原理

1.A解析：应用分类计数原理，不同走法数为8+3+2=13（种）.

2.B解析：从中选一人去领奖有6+4=10（种）选法.从中选一名男生，一名女生去领

奖有6X4=24（种）选法.

3.B解析：由分步计数原理，从1,2,3层分别取1本书，不同的取法种数为4X5X6

=120（种）.

4.C解析：从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取

出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类计数

原理得共有不同取法种数为3+3=6（种）.

5.C解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监

考班的教师有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法.共

有3X3X1X1=9（种）监考的方法.

6.B解析：按A-B-CfD的顺序分四步着色，共有4X3X2X2=48（种）不同的着色

方法.

7.A解析：分步完成，首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次甲

从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法；最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种

方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4X3X2=24（种）.

8.15解析：完成数对（b,a）可分2步：第一步，从｛6,7,8｝中随机选取一个数为b,

有3种方法；第二步，从｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数为a,有5种方法.根据分步计

数原理，组成数对（b,a）的个数为3X5=15.

9.510解析：每个乘客有5种下车的方式，一共10个乘客，所以乘客下车的可能方式

有51。种.

10.48解析：如图，在上底面中选BQi，四个侧面中的面对角线都与它成60°,共8

对，同样Ai。对应的也有8对，下底面也有16对，这样共有32对；左右侧面与前后侧面共

有16对，所以共有48对.

11.解：另两边长用x,y表示，且不妨设iWxWyWll,要构成三角形，必须x+y212.

当y取11时，x可取1,2,3,…，11,有11个三角形；当y取10时，x可取2,3,…，

10,有9个三角形；…；当y取6时，x只能取6,只有1个三角形.

所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.

12.解：（解法1）设想染色按S-A-B-C-D的顺序进行，对S,A,B染色，有5X4X3

=60（种）染色方法.

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨

论：

C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）,S不同色，有3种选择;

C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择.从而对C,D染色有

1X3+2X2=7（种）染色方法.

由乘法原理，总的染色方法有60X7=420（种）.

（解法2）根据所用颜色种数分类可分三类.

第一类：用3种颜色，此时A与C,B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种

染三个点.染色方法种数为5X4X3=60（种）；

第二类：用4种颜色，此时A与C,B与D中有且只有一组同色，染色方法种数为

2X5X4X3X2=240（种）；

第三类：用5种颜色，染色方法种数共5X4X3X2X1=120（种）.

综上可知，满足题意的染色方法总数为60+240+120=420（种）.

第2课时排列⑴

1.B解析：由于lga-lgb=lg率从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a

和b共有蜀=12种，所以得到不同的值有12个.

2.C解析：依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言，相当于从40人中任选两人的排

列数Ak

3.B解析：甲先阅读有1种方法，然后乙、丙、丁共有Ag=6（种）方法，故共有1X6

=6（种）安排方法.

4.A解析：由排列数公式可知3x（x—l）（x-2）=2（x+l）x+6x（x-l）.因为x23且xGN*,

2

所以3（x—l）（x—2）=2（x+l）+6（x—l）,即3x2—17x+10=0,解得x=5或x=]（舍去），所以

x=5.

5.C解析：根据题意，分个位是0和个位不是。两类情形讨论：①个位是0时，比20

000大的五位偶数有1X4XAi=96（个）;②个位不是0时，比20000大的五位偶数有2X3XA*

=144（个），故共有96+144=240（个）.

6.B解析：先考虑产品A与B相邻，把A,B作为一个元素有图种摆法，而A,B可

交换位置，所以有2A才=48（种）摆法，又当A,B相邻且又满足A,C相邻时，有2A412（种）

摆法，故满足条件的摆法有48—12=36（种）.

7.B解析：第一步先选入红口袋的球的颜色有4种可能，剩下的球装袋的不同情况有

蜀=24（种），由分步计数原理得，共有4-Aj=96（种）不同的放法.

8.24解析：根据题意，A,B必须相邻且B在A的右边，视A,B为一个元素，且只

有一种排法；将A,B与其他3个元素，共4个元素进行全排列A才=24,则符合条件的排法

有IX24=24（种）.

9.216解析：第一类：甲在最左端，有A^=120（种）排法；第二类：乙在最左端，有4Am

=96（种）排法.所以共有120+96=216（种）排法.

10.6解析：因为甲、乙两人被分到同一展台，所以把甲和乙捆在一起，然后与丙、丁

进行全排列，即共有A§=6种方法.

11.解：（1）从7人中选5人排列，有A]=7X6X5X4X3=2520（种）排列方法.

（2）分两步完成，先选3人站前排，有A,种方法，余下4人站后排，有/种方法，共有

A»A才=5040（种）排列方法.

（3）（解法1：特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有Ag种排列方法，共有5XAg

=3600（种）排列方法.

（解法2：特殊位置优先法）首尾位置可安排另6人中的两人，有A湃中排法，其他有A9种

排法，共有A?•Ag=3600（种）排列方法.

（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法,再将女生全排列，

有闻种方法，共有A3♦闻=576（种）排列方法.

（5）（插空法）先排女生，有A才种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排

男生,有Ag种方法，共有AhAg=1440（种）排列方法.

12.解：（1）将5个招聘雇员的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学

毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有

Ag=5X4X3=60（种）.

（2）将5名大学毕业生看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3个招聘雇员的公司，

则本题仍为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有Ag=

5X4X3=60（种）.

第3课时排列⑵

1.A解析：先排体育有2种排法，故不同排课方案有2A3=12（种）.

2.A解析：“o”为重复元素，故共有错误！=12（种）排列顺序，所以可能出现的错误共

有12—1=11（种）.

3.B解析：3人中每两人之间恰好有一个空座位，有AgX2=12（种）坐法，3人中某两

人之间有两个空座位.有AqXA*=12（种）坐法，所以共有12+12=24（种）坐法.

4.C解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.因为要求每人左右均

有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有Ag=20（种）坐法.

5.C解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AgAi=144,其

中3个歌舞类节目互不相邻，但2个小品类节目相邻的排法种数为A3A3A$=24,因此满足题

意的排法种数为144—24=120.

6.D解析：0夹在1,3之间有ASAJ种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有AiAjAi

A并中排法，所以一共有A^A9+AlA以以3=28（种）排法.

7.B解析：分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A3=2（种）排法，

②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A3=2（种）排法，③将两个

小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A3=6（种）排法.则共有2X2X6=24（种）排法.

8.1440解析:分别将数学书捆绑,外语书捆绑与其他书全排列，共有A执之Ag=l440（种）

排法.

9.328解析：首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A§=9X8=72（个）；当0排在十位

时，有A[A6=4X8=32（个）；当不含0时，有AlAg=4X8X7=224（个）.由分类计数原理，

得符合题意的偶数共有72+32+224=328（个）.

10.8解析：（捆绑法）首先排两个奇数1,3有A芥中排法，再在2,4中取一个数放在1,

3排列之间，有AJ种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有

A?种排法，即满足条件的四位数的个数为A3A1A3=8.

11.解：（1）（解法1：直接法）分两种情况：①甲站在排尾，则有Ag种排法；②甲不站

排尾，先排甲、乙，再排其他，则有AgAgAg种排法.综上,共有AE+A!A!A?=3720种排法.

（解法2：间接法）总的排法数减去甲站在排头的和乙站在排尾的情况数，但是这就把甲站

在排头且乙站在排尾的情况减了两次，故后面要加回来，即A4—AE-A8+Ag=3720种排法.

（2）采用“捆绑”法，将甲、乙看成一个整体进行排列（甲、乙之间也有排列），故有A3A&

=1440种排法.

（3）采用“插空”法，先排其他5个人，然后将甲、乙插入到由这5个人形成的6个空

中，故有故乂=3600种排法.

（4）甲站在乙的左边的排法总数等于乙站在甲的左边的排法总数，故有:A^=2520种排

法.

12.解：（1）分类讨论：

①一位的自然数有4个；

②两位的自然数有9个，其中含零的有3个，不含零的有A4个；

③三位的自然数有18个，即3A』=18（个）；

④四位的自然数中不大于1230的共有4个.

由分类计数原理知，把这些自然数从小到大排列，1230是此数列的第4+9+18+4=

35（项）.

（2）四位数中的偶数有Ag+A』A3=10（个）；

它们各个数位上的数字之和为10X（0+1+2+3尸60；

它们的和为（1X4+3X4+2X2）X103+（OX2+2X2+1X3+3X3）（1O2+IO）+2X4=21

768.

第4课时组合⑴

1.A解析：：x=3x—8或x+3x~~8=28,解得x=4或x=9.

2.D解析：可以连成的三角形有Cg=10个.

3.B解析：从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分堆”，将一种分

配方法和一个组合建立一一对应，实际问题化归为组合数求解.该事件的实质为将10个相同

的元素分成6堆，每一堆至少一个元素，利用“隔板法分堆”，即在10个相同元素构成的9

个空中插入5个隔板，其不同的分配方案有C§=126种.故选B.

4.C解析：先从2件次品中抽出1件有@种方法，再从10件正品中抽出2件有C%种

方法，所以共有C』GO=90（种）抽法.

5.C解析：（解法1）依题意可得有两类选派方案：1名女生3名男生或2名女生2名男

生，共有Gxc升GXC1=8+6=14（种）满足要求的方案.

（解法2）6人中选4人的方案有Cg=15种，没有女生的方案只有1种，所以满足要求的

方案有14种.

6.A解析：从7人中选出3人参加周六的活动，共有C彳种方法，再从剩下的4人中选

出3人参加周日的活动，共有C］种方法.由分步原理得共有GC?=140种方案.

7.D解析：甲、乙两人从4门课程中各选修2门有Cr%=36（种）选法，甲、乙所选的

课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36-6

=30（种）.

8.70解析：由题意知，不同取法有acg+aa=7o（种）.

9.49解析：由条件可分为两类:一类是甲、乙两人只入选一个的选法数有C1U=42（种）,

另一类是甲、乙都入选的选法数有C史｝=7（种），所以共有42+7=49（种）.

10.472解析：由条件可分为两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有C1C，2=

264（种）.第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C：2-3G=220-12=208（种）.由分类计

数原理知，不同的取法共有264+208=472（种）.

（nI］）n

11.解：⑴由CM"=AQI+1得-2----=（n-l）-（n-2）+l.

ERn2—7n+6=:0>解得n=l或n=6.

由A"知，n23,故n=6.

（2）原不等式可化为乙一7—T—7一一，解得m>£

（m—1）!（9—m）!m!（8—m）!4

因为0Wm-lW8,且0WmW8,所以lWmW8.

又m是整数，所以m=7或m=8.

12.解：（1）只需从其他18人中选3人即可，共有Ci8=816（种）选法.

（2）只需从其他18人中选5人即可,共有C%=8568（种）选法.

（3）分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有种选法；甲、乙两人都参加，则

有C：8种选法.故共有Cl-Cf8+d8=6936（种）选法.

第5课时组合⑵

1.A解析：若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A*=24种；若有两个

项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有ChAM=36种，所以在

同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60（种）.故选A.

2.B解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C3=l（种），取2奇数

2偶数的取法有C%Cg=60（种），取4个数均为奇数的取法有Cg=5（种），故有1+60+5=66（种）.

3.C解析：分两类：第一类，A,B,C三门课都不选，有CW种方法；第二类，A,B,

C三门课程恰好选一门，有CJC湃中方法，故共有CW+GCN=75（种）.

4.B解析：先安排男生乙，即从除数学外的另4门学科中选1门让男生乙担任其课代

表,再从剩下的7人中选4人担任另外4门学科的课代表，共有A六3360（种）不同的方

法.

5.D解析：甲公司承包8项工程中的3项有Cg种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项

有Cg种，丙公司承包剩余4项中的2项有C1种，丁公司承包剩余的2项有C?种，由乘法原

理，可得共C?•&•C?•d=l680（种）.

6.A解析：从剩余7人中选出4人分别担任另4门不同学科的课代表，共有C3・A3=

840（种）不同的方法.

7.C解析：分三类：第一类有1名男生，有C1或种方法；第二类，有2名男生，有

aa种方法；第三类，有3名男生，有C1种方法，所以共有&冤+©&+©=100（种）.

8.70解析：可分两类：男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，共有Cg

Cj+C4C?=7O（种）组队方案.

9.240解析：特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人

中选择一个参加，有C1种方案，然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有A3种

方案，故共有CjAg=4X60=240（种）方案.

10.18解析：从E到F,每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2

段.从E到F最短的走法，无论怎么走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相

同.每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故有C4=6（种）

走法.同理F到G,最短的走法有C3=3（种）走法.故小明到老年公寓可以选择的最短路径条

数为6X3=18.

(-15)-(-16)......(~19)

11.解：⑴C、569=-11628.

5!

⑵CF=CTm不能推广，例如时，遮有意义，但'我无意义；

C?+C；Ti=CM能推广，它的推广形式为Cb+C"i=CT+i，xGR,mGN*.

证明如下：当m=l时，有C[+C?=x+l=CLi；

当m22时，

x(x—1)•(x—m+1)

有cy+cr1

m!

x(x—1)•(x—m+2)x(x—1)•(x—m+2)

(m—1)!(m—1)!

x—m+1

+1)

x(x-1)♦(x—m+2)(x+1)

m!

=cy+i.

12.解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，

所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数,所以小组赛共要比赛2盘=30（场）；

半决赛中甲组第一名与乙组第二名（或乙组第一名与甲组第二名）主客场各赛一场，所需

比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A3=4（场）；

决赛只需比赛1场，即可决出胜负.

所以全部赛程共需比赛30+4+1=35（场）.

第6课时排列与组合应用问题（1）

1.A解析：若含有2张绿色卡片，则取法种数为C支b=72；若含有1张绿色卡片，则

取法种数为C1C%=264；若不含绿色卡片，则取法种数为C?2-3a=208.故不同取法种数为

72+264+208=544.故选A.

2.A解析：可看作把六位游客分到四个景点，A,B各有两个名额，C,D各有一个名

额，分配方案有C2aA3=180（种）.

3.A解析：数学在第1,2节，从除英语的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意

排，故有C1A1=96（种），数学在第2,3节，从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1

节,从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排,故有CiaAW=54（种），

数学在第3,4；4,5；5,6节的情况一样，当英语在第1节时.，其他任意排，故有闻=24（种），

当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语的剩下

的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，剩下的任意排,有C!AW=36（种），故有3X（24

+36）=180（种），数学在第6,7节，当英语在第1节时，其他任意排，故有A，=24（种），当

英语不在第1节时，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语的剩下

的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有CjCjAg=54（种），故有24+54=78（种），根

据分类计数原理，共有96+54+180+78=408（种）.

4.C解析:插空法.先排蓝色底牌的,再在蓝色底牌形成的4个空中排2个红色底牌，

共有A,•Aj=72（种）.

5.D解析：由题意可知，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，

只要把工作分成三份：有G种方法，然后进行全排列A3即可.由分步计数原理可知，不同

的安排方式共有Cl•Ag=36（种）.

6.B解析：分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C执彳种不同的站法；第二

类，一级台阶站1人，共有A,种不同的站法，所以共有CgA乡+Ag=336（种）不同的站法.

7.B解析：分两类，第一类：3张中奖奖券分给3个人，共Aj种分法；第二类：3张中

奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有GA4种分法.总

获奖情况共有Al+C*Al=60（种）.

8.12解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排

到乙地，所以共有aa=i2（种）.

9.48解析：两老一新时，有CjCjA孑=12（种）排法；两新一老时，有C』C*Ag=36（种）排

法.故共有12+36=48（种）.

10.33解析：①若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点

的个数为C!A3；②当从集合B中取元素1,且从C中取元素1时，则确定的不同点的个数

为c!xi=cj；③当从B中取元素1,且从C中取元素3或4时，则确定的不同点的个数为

©A3所以共确定不同的点有CjA3+C4+aA3=33（个）.

11.解：（1）从整体出发，视4名男生为一整体，看成一个“大元素”，与3名女生共四

个元素进行排列，有A1种坐法;而大元素内部的小元素间又有A才种坐法.故共有AiAW=576（种）

坐法.

（2）因为女生互不相邻，故先将4名男生排好，有闻种排法；然后在男生之间及其首尾

的5个空档中插入3名女生，有Ag种坐法.故共有A执g=l440（种）坐法.

（3）类似⑴，易得有AS执3=288（种）坐法.

（4）男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只能坐在男生之间的

3个空档中，有AJ种坐法.故共有AiA$=144（种）坐法.

（5）让男生先占7个位置中的4个，共有A,种坐法；余下的位置坐女生，因为女生定序，

故她们只有1种排法，从而共有A才=840（种）坐法.

本题还可这样考虑：7个元素的全排列有A彳种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时

有A1种坐法，可知A彳中重复了次，故共有A彳+A?=840（种）坐法.

12.解:（1）第一步：选3名男运动员，有CV种选法.第二步：选2名女运动员，有C舜中

选法.由分步计数原理可得共有&•&=120（种）选法.

（2）（解法1：直接法）至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女

2男，4女1男.

由分类计数原理可得总选法数为CQ+CM+C峻+C?C&=246（种）.

（解法2：间接法）”至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.

从10人中任选5人有Go种选法，其中全是男运动员的选法有Cg种.所以“至少有1名

女运动员”的选法为C；o-Ca=246（种）.

（3）（解法1：直接法）可分类求解：

“只有男队长”的选法为C3；

“只有女队长”的选法为eg；

“男、女队长都入选”的选法为eg；

所以共有2Cg+a=196（种）选法.

（解法2：间接法）从10人中任选5人有Go种选法，

其中不选队长的方法有C解中.所以“至少有1名队长”的选法为CM-&=196（种）.

（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C/种选法.不选女队长时，必选男队长，共有

或种选法，其中不含女运动员的选法有C?种，所以不选女队长时的选法共有或一C2种.所

以既有队长又有女运动员的选法共有C8+C4—Cg=191（种）.

第7课时排列与组合应用问题（2）

1.C解析：由题意可知，不同的种植方法共有CgAg=18（种）.

2.C解析：由于原6本书的顺序不变，分三步，第一步放另3本的第一本，有7种放

法；第二步放第二本有8种放法，第三步放第三本有9种放法，故共有7X8X9=504（种）放

法.

3.B解析：将4人平均分成两组有点不种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有

AZ种方法，所以不同的安排方法共有既次V=90（种）.

4.A解析：分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共有6种安排方法；第二步安排

另外两所学校，共有Ag种安排方法.故不同的安排方法共有6XAg=120（种）.

5.C解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中

甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论：

①甲、丙同去，则乙不去，有Cg•A才=240（种）选法；

②甲、丙同不去，乙去，有ChA才=240（种）选法；

③甲、乙、丙都不去,有Ag=120（种）选法.

因此共有240+240+120=600（种）不同的选派方案.故选C.

6.B解析：由题可得，总的选择方法为a-cic!种，其中不满足题意的选法有金c\c!

种，则满足题意的选法有cbC1•c\-ci•Cl•曰=660（种）.

7.B解析：首先从后排的7人中抽2人，有C3种方法；再把2个人在5个位置中选2

个位置进行排列有Ag种.故不同调整方法的种数为CUH420.

8.1080解析：由题可知，共有A3+ClCgA才=1080（个）满足题意的四位数.

9.24解析：分两类：①两个偶数一个奇数，有CjAg个；②三个奇数，有A3个，故

共有C!A3+A3=24（个）.

10.70解析：从A组4人和B组5人中任意选取3人，至少有A组和B组各一人，可

分为两类：第一类，选取A组1人和B组2人，有CI•Cg=40（种）选法；第二类，选取A

组2人和B组1人，有C/•Cg=30（种）选法，所以共有70种选法.

11.解：（1）将取出4个球分成三种情况：

①取4个红球，没有白球，有C才种；

②取3个红球1个臼球，有C?C&种；

③取2个红球2个白球，有仁以种.

...共有C|+C2Q+Cia=115（种）取法.

（2）设取x个红球，y个白球，

2x+y27,

则,

0WxW4,

、0WyW6,

]x=2,x=3,x=4,

[y=3或或

y=2y=i-

，符合题意的取法种数有Crg+C?C2+CfC&=186（种）.

12.解:甲校派1人，其余5人分为（1,4）,（2,3）两组,故有C!•©+&）•A4150（种），

甲校派2人,其余4人分为（1,3）,（2,2）两组，故有甲•©•A3+Q）=140（种）;

甲校派3人，其余3人分为（1,2）一组，故有甲•CJ•A3=6O（种）;

甲校派4人，其余2人分为（1,1）一组，故有C>A*=10（种）.

根据分类计数原理，可得150+140+60+10=360（种）.

第8课时排列与组合应用问题（3）

1.A解析：先从5名男运动员中任意选取2名，有Cg种选法，再从6名女运动员中任

意选取2名与选出的男运动员打比赛，有CaA3即A5种，所以不同的组合方法有CgAV=300（种）.

2.A解析：分两种情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有

CQ+C*Cl=30（种）.

3.D解析：连号为1,2或2,3或3,4共3种，两张连号的票当作一张与其他两张分

给3个人，故分法为3Aq=18（种）.

4.B解析：首先从其他6个字母中选3个有C?种结果，再与“qu”组成的一个元素进行

全排列共有令内=480（种）.

5.C解析：设男生有n人，则女生有（8—n）人，由题意可得CKLn=30,解得n=5或

n=6,代入验证，可知女生有2人或3人.

6.A解析：3个男生每个语种各推荐1个，共有AgA*种推荐方法；将3个男生分成两

组，其中一组2个人，共有C以讯之种推荐方法，所以共有AqA3+C*A3A3=24（种）不同的推荐

方法.

7.C解析：先往每个盒子里放满其编号的小球，剩下的4个小球可以随意放，4个放一

起有3种，1,3个放一起有6种，2,2个放一起有3种，1,1,2个放一起有3种，共15

种装入方法.

8.30解析：四个篮球中的两个分到一组有C舜中分法，三个篮球进行全排列有A*种分

法，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A荆分法，所以有€：混一AU36-6=30（种）

分法.

9.150解析：先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1,共有C3+&X错误!=25（种）,

再将每组学生分到3所学校有A§=6（种）分法，共有25X6=150（种）不同的保送方法.

10.200解析：由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有

（3总次之=50（种）排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有己=4（种）满足题

意的选法，故满足题意的三位数共有50X4=200（个）.

11.解：设集合A=｛只会划左舷的3个人｝,B=｛只会划右舷的4个人｝,C=｛既会划左

舷又会划右舷的5个人｝.以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中

有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人.

第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在BUC中选3人，即有C8种选法，所以

有C»C8种选法.第②类，划左舷的人在A中选2人，有C*种选法，在C中选1人，有C!

种选法，划右舷的在BUC中剩下的8个人中选3人，有C赫中选法，所以有C*•怎种选

法.同理，第③类，有chcg,G种选法，第④类有c¥•或•a种选法.

所以共有eg©+所戏0+所<5c+c¥eg<^=84+840+1050+200=2174（种）.

12.解：（1）将7个相同的小球排成一排,在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔

板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有Cg=20（种）不同

的放入方式.

（2）每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从

10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C%=120（种）不同的放入方式.

阶段检测（一）

1.C解析：当甲组中有2个人时，首先选2个人放到甲组，共有Cg=10（种）分配方案，

再把剩下的3个人放到乙和丙两组中，每组至少一人，共有C*A*=6（种）分配方案，根据分步

乘法计数原理知共有10X6=60（种）分配方案；当甲组中有3个人时，有CgA3=2O（种）分配方

案.所以共有60+20=80（种）分配方案.

2.C解析：先将标号为1,2的小球放入盒子中，有3种情况；再将剩下的4个球平均

放入剩下的2个盒子中，共有错误！叭错误!=6（种）情况，所以不同的放法共有3X6=18（种）.

故选C.

3.A解析：先选取一个空盒，然后把四个不同礼品分别装在4个不同的盒子里，故有

CgAl=120（种）.

4.A解析：因为甲厂生产的收音机的品种有C1Q=12（种），乙厂生产的收音机的品种

有ClCg=20（种），所以共有12+20=32（种）不同品种.

5.B解析：分两类：第一类：A,B只有一个被选中，则不同演出顺序有&&图种；

第二类:A,B同时被选中，则不同演出顺序有C以以W种,故共有CjCgA，+CZA3A3=1140（种）.

6.C解析：在亮着的5盏灯间有4个空档，选3个空档放3个不亮的灯，有G种方法.

7.D解析：分两步：第一步，从5个培训项目中选取3个，共Cg种情况；第二步，5

位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共错误!

种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共错误!种情况.故

选择情况数为仁（错误!+错误!）A错误!=1500.故选D.

8.40解析：设a,b,cWN*,且a+c=2b,即a+c为偶数，因此从1到10这10个数

中任选三个数成等差数列，则第一个数和第三个数同为偶数或同为奇数，且当第一个数和第

三个数选定后，中间的数唯一确定，所以共有Ag+Ag=40（个）.

9.36解析：第一步，选2名同学报名某个社团，有CgCl=12（种）报法；第二步，从剩

余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C!C|=3（种）报法.由分步乘法计数原理得共

有12X3=36（种）报法.

10.70解析：由于甲、乙获胜所能形成的比赛过程情况是相同的，只需考虑一方即可，

由此可假设甲队获胜，比赛的过程是Cl+a+C&+C，+Cl+C!+Cl=35（种）情况，同理考虑

乙队获胜也有35种情况.故所有可能出现的不同比赛过程共有35+35=70（种）.

11.解：（1）先确定正、副班长，有Ag种选法，其余全排列有A荆，共有A/=720（种）

分工方案.

（2）设A,B,C三人的原职务是a,b,c,

当A,B,C任意一人都不担任a,b,c职务时有A』A才种；

当A,B,C中一人担任a,b,c中的职务时，有C{A4AlM种；

当A,B,C中两人担任a,b,c中的职务时，有3GAiA，种；

当A,B,C中三人担任a,b,c中的职务时，有2图种；

故共有A^j+CjA必dAf+3C汰lAa+2AW=134Aa=3216（种）分工方案.

12.解：⑴从余下的34种商品中，选取2种有C%=561（种）取法，

所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.

（2）从34种可选商品中，选取3种，有C£种或者C*-C*4=C£=5984（种）取法.

所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种.

（3）从20种真货中选取1种,从15种假货中选取2种有CioCh=2100（种）取法.

所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种.

（4）选取2种假货有CloCt种，选取3种假货有C：5种，则共有选取方式CkC彳5+65=2100

+455=2555（种）.

所以至少有2种假货在内的不同取法有2555种.

（5）（解法1：间接法）选取3种商品的总数为C%,因此共有选取方式C%—©5=6545—

455=6090（种）.

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

（解法2：直接法）共有选取方式do+C2oCi5+CloCT5=6090（种）.

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

第9课时二项式定理（1）

1.B解析：,.•1+|=仁25-仅1',当r=3时，系数为Cg25r=40.

2.A解析：由题意可得Tr+i=C5•（2x）7-1'♦令=c•2‘-r.•x7-2r.令7—2r=-3,解

得r=5,则C?•a5•22=84,解得a=l.

3.C解析：由题意可得Tr+|=gxLr,Vx2的系数为15,二11一-2,二,一2,

即C『2=15,即d=15,n（不）一=]5,解得n=6或n=—5（舍去）.

4-rA

4.A解析：由题意可知Tr+l=C»（表）4r（—2）r=a（-2）/亍，令苛解得r=2,所

以展开式中X的系数为cl•（-2）2=24.

5.C解析：令x=0,有l=ao；令x=l,有l=a（）+aiH---Fa6，ai+a2H----Fa6=

0.

6.D解析：：CM=ClV，4r—1=10—(r+1)或4r—l=r+l,解得r=2或r=,(舍

去).

7.C解析：展开式的通项为Tr+|=(-5)gx6f.令6—3r=0得r=2,所以展开式的常

数项为aCW=60,解得a=4.

8.T解析：原式=(l+6)n=7n.

9.5解析：Tr+i=CX3x)nr•舄y=C!)3n-r.xn—苧，由n—与=0得n=：,所以当r

=2时，n有最小值5.

10.-121解析：(l-x)5+(l-x)6+(l-x)7+(l-x)8=-----]_(.X)-------=

(1—X)5—(1—x)9

-----------------------------,(l-x)5中X"的系数为cg=5,一(1-x)9中x4的系数为一C8=-126,

故展开式中含x3项的系数是一126+5=-121.

11.解：；二项展开式的前三项的系数分别是1,I，|n(n-l),

2•^=l+1n(n—1),解得n=8或n=l(不合题意，舍去)，

3

Tr+i=a2)x4一下,

3

当4—时，为有理项.

0Wr<8且r£Z,

r=0,4,8符合要求.

3S1

故有理项有3项，分别是T]=x、T5=fx,T9=忐XN

・・・n=8,・・・展开式中共9项，中间一项即第5