4.3.2第2课时等比数列前n项和的性质及应用课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列

等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的性质及应用人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.2.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题.3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.基础落实·必备知识一遍过关知识点等比数列前n项和的性质

公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)当Sn≠0时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍组成等比数列,该数列的公比是qn;(4)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.思考辨析为什么“当Sn≠0时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍组成等比数列,该数列的公比是qn”?提示

从前n项和的定义出发易知,Sn=a1+a2+a3+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+an+3+…+a2n=(a1+a2+a3+…+an)qn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n=(an+1+an+2+an+3+…+a2n)qn,…,以此类推,所以当Sn≠0时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…组成公比是qn的等比数列.自主诊断1.[2024浙江高二期末]已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1011,偶数项之和为2022,则这个数列的公比为(

)

A.8 B.-2 C.4

D.2D2.已知等比数列{an}的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于(

)C解析

∵S3=1,S6=9,∴S6-S3=8=a4+a5+a6=S3q3=q3,即q3=8,∴q=2.重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升探究点一

等比数列前n项和的性质

【例1】

(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=

.

28解析

∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=

.

2规律方法

等比数列前n项和的性质若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.B(2)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是(

)A.30 B.60

C.90 D.120D解析

设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S奇=a1+a3+a5+…+a31,S偶=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S奇.又S奇+60=S偶,则S奇+60=3S奇,解得S奇=30,S偶=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.探究点二等差数列与等比数列的综合问题的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求数列{an}的前n项和;(3)求数列{Sn}的前n项和.规律方法

数列综合问题的关注点(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.变式训练2已知各项均为正数的等差数列{an}的首项a1=1,a2,a4,a6+2成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;解

(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0),∵a2,a4,a6+2成等比数列,∴

=a2(a6+2),即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2),整理得2d2-d-a1=0,又a1=1,∴2d2-d-1=0,则an=a1+(n-1)d=n,∴数列{an}的通项公式为an=n.探究点三数列在实际中的应用【例3】

某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计息,试比较两种方案,哪种方案净获利更多?(1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)解甲方案:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9.32.50-13.21=19.29(万元).比较两方案可得甲方案净获利更多.规律方法

银行存款中的单利是等差数列模型,利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+nr);复利是等比数列模型,按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+r)n.变式训练3[北师大版教材例题]一个热气球在第1min上升了25m的高度,在以后的每1min里,它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125m吗?本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列前n项和性质的应用.(2)等比数列前n项和的实际应用.2.方法归纳:公式法、分类讨论法.3.常见误区:(1)应用等比数列的性质时易忽略其成立的条件;(2)公比q不确定时易忽视对q的讨论.重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标12341.已知等比数列{an}的前n项和Sn=54,前2n项和S2n=60,则前3n项和S3n=(

)C解析

易知公比q≠-1,由等比数列前n项和的性质,可得Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列,即54,60-54,S3n-60成等比数列,可得(60-54)2=54×(S3n-60),解得12342.[2024江苏高二期末]已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为(

)A.2 B.4

C.8

D.16C解析

设这个等比数列{an}共有n项(n∈N*,n为偶数),公比为q,则奇数项之和为S奇=85,偶数项之和为S偶=170,12343.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有1个这种细菌和200个这种病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要(

)A.6秒