专题7.9三角形的内角（举一反三）（苏科版）（原卷版）2

专题7.9三角形的内角【十大题型】【苏科版】TOC\o"13"\h\u【题型1三角形内角和定理的证明】 1【题型2应用三角形内角和定理求角度】 3【题型3三角形内角和与平行线的综合应用】 3【题型4三角形内角和与角平分线的综合应用】 4【题型5三角形折叠中的角度问题】 5【题型6应用三角形内角和定理解决三角板问题】 7【题型7应用三角形内角和定理探究角的数量关系】 8【题型8三角形内角和定理与新定义问题综合】 10【题型9直角三角形的判定】 11【题型10应用直角三角形的性质倒角】 12【知识点1三角形的内角及内角和定理】（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【题型1三角形内角和定理的证明】【例1】（2023·浙江·七年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．求证：∠C+∠D+∠CED=180°．有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【变式11】（2023·浙江·七年级假期作业）如图,将铅笔放置在三角形ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了．【变式12】（2023春·全国·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式13】（2023春·福建南平·七年级福建省南平第一中学校考阶段练习）在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．已知：如图，△ABC求证：证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．∵DE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．∵DF∥AC，∴∠1＝∠3【题型2应用三角形内角和定理求角度】【例2】（2023春·江苏·七年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为【变式21】（2023·浙江·七年级假期作业）若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度数为．【变式22】（2023春·广东江门·七年级校考阶段练习）在△ABC中，∠C=40∘，且∠B:∠A=4:3，则∠B的度数为【变式23】（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．

【题型3三角形内角和与平行线的综合应用】【例3】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B=97°，∠C=40°，则∠GHC的度数为（）

A．147° B．40° C．97° D．43°【变式31】（2023春·山东济宁·七年级统考期中）如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为多少？【变式33】（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB//CD；（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．【题型4三角形内角和与角平分线的综合应用】【例4】（2023春·广东惠州·七年级惠州一中校考期中）如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（）

A．105° B．115° C．125° D．135°【变式41】（2023春·广东东莞·七年级统考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．

【变式42】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．(1)求证：AB∥(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．【变式43】（2023春·七年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．【题型5三角形折叠中的角度问题】【例5】（2023·浙江·七年级假期作业）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A′处，A′B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C′处，此时∠CA．66° B．23° C．46° D．69°【变式51】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．若∠A′EC=70°，则∠A′DE的度数为（

）A．55° B．60° C．65° D．70°【变式52】（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、A．22° B．21° C．20° D．19°【变式53】（2023·全国·七年级假期作业）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．【题型6应用三角形内角和定理解决三角板问题】【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54A．103°6′ B．104°6′ C．【变式61】（2023春·七年级单元测试）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．(1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=°，∠DBC+∠DCB=°，∠ABD+∠ACD=°．(2)若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD=°．(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．【变式62】（2023春·七年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：①如果∠2=30°，则AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，则④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式63】（2023春·七年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究(1)如图（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，直接写出∠2的度数；若∠1=m°，直接写出∠2的度数（用含(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a上，求∠1的度数．【题型7应用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例7】（2023春·广东潮州·七年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．【变式71】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x−1+(1)求n的值．(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况）【变式72】（2023春·河南漯河·七年级校考期末）已知△ABC．（1）如图（1），∠C>∠B，若AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B，∠C之间的数量关系吗？并说明理由．（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，∠EFM与∠B，∠C之间有何数量关系？并说明理由．【变式73】（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A【题型8三角形内角和定理与新定义问题综合】【例8】（2023春·福建厦门·七年级厦门一中校考期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.【变式81】（2023春·安徽六安·七年级校考期中）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（

）A．99° B．99°或49.5° C．99°或54° D．99°或49.5°或54°【变式82】（2023·全国·七年级专题练习）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.【简单应用】如图1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO＝，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【变式83】（2023春·江苏·七年级期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，则∠B=_____°；(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度数．【知识点2直角三角形的判定】有两个角互余的三角形是直角三角形．【题型9直角三角形的判定】【例9】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考阶段练习）如图，∠C=90°，∠1=∠2，求证△ADE是直角三角形．【变式91】（2023·浙江·七年级假期作业）若一个三角形三个内角度数的比为2:3:5，那么这个三角形是（

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【变式92】（2023春·山东滨州·七年级统考期末）在下列条件：①∠A+∠B+∠C=180∘；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；A．5个