2024-2025学年湖南省长沙市高三年级上册月考检测试卷（四）数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高三上学期月考（四）数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知集合4={X[0<X<Q},B={X[1«X<2},若B@A,则实数。的取值范围为（）

A.（2,+。）B.[2,+oo）C.（0,2）D.（0,2]

2.已知%仅表示两个不同的平面，加为平面。内的一条直线，则“。//少是“冽//”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知复数z满足目=1,则2i|的取值范围为（）

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[1,9]

4.已知函数f(x)=+mInx-2xX£（0,+8）有两个极值点，则实数冽的取值范围是

A.(一8,0]B.(-00,1]C.[-1,+00)D.(0,1)

3

D.

4

cos2/?=-,/3Gf,则sina=(

6.已知sin(a+/?)+sin(a-/?)=l)

123

A.B.一C.一D.

4334

22

7.已知双曲线。邑珠=l（a〉0,6〉0）的左、右焦点分别为片，与，点尸在C的左支

同

上,当局取I最大值雨1时,C的离心率的取值范围为（）

A.(1,3]B.(1,2]C.(1,V3]D.(V2,3]

8.若等差数列{%}满足吊+嫉。（10,则S=4oo+aioi+…+“199的最大值为（）

A.600B.500C.800D.200

二、多选题（本大题共3小题）

9.实数a,b,C,d满足：->i>O>->y,则下列不等式正确的是（）

abca

cd

A.c2<cdB.a+c<b+dC.ad<beD.—<—

ab

10.已知事件A,B,C为随机事件，且0〈尸则（）

A.若事件8与事件C对立，则尸（2⑶+P（C|/）=1

B.若尸（司/）+P（C|/）=l,则事件3与事件C对立

C.若事件A与事件B独立，则尸（叫/）=尸（5）

D.若尸（司/）=尸（0，则事件A与事件8独立

11.已知曲线C:卜2+/）2_底=0,点”（XQJ,NH，%）为曲线。上任意两点，且

再<0<%2，贝!I（）

A.曲线C由两个圆构成B.\OM-ON\e[Q,4]

C.|OM+Cw|e[0,2]D.OM-ON&

三、填空题（本大题共3小题）

12.如图所示，已知A船在灯塔C北偏东80。的方向，且A,C间的距离为2km,B

船在灯塔C北偏西40。的方向，且A,8两船间的距离为3km,则3,C间的距离为

13.已知A,B,C是抛物线/=12x上三个动点，且V/8C的重心为抛物线的焦点

F,则V/BC的三条中线的长度之和为.

14.如图，在空间几何体ABCDEF中，平面ABC〃平面DEF,BF〃。£,8尸J_平面

ABC,BC=EF=4亚,CE=2,ZEDF=ZBAC=p则几何体ABCDEF的外接球的体积

为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有4B两种农产品供选择，

每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种

农产品.若掷出点数为1或2,购买农产品/,若掷出点数大于2,则购买农产品艮

⑴求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；

(2)用分别表示这4个人中购买农产品4和2的人数，记丫=切，求随机变量X

的分布列与数学期望E(X).

16.如图，三棱柱N3C-4吕G中，四边形44MB是边长为2的正方形，D,E分别

为4B,8名的中点，4E与4B交于点F,若且平面/8C，平面44圈瓦

(1)求证：CD,平面///避；

(2)若三棱柱/3C-的体积为4,求锐二面角/-CF-4的余弦值.

17.已知正项数列｛。“｝的前〃项和为邑，数列｛d｝的前”项和为满足％=3,当

"»2时，2(=S：.

⑴求数列｛E,｝的通项公式；

11111

(2)求证―—y+…—£

J1一Z%—ZOZo

18.已知/(%)=优(x>0),其中Q〉o,QW1.

(1)若y=x与歹=/(%)相切，求实数。的值；

(2)当。>1时，证明:(x-1)x2/(x)-/W>0；

(3)若不等式/'(x)+/O方恒成立，求实数0的取值范围.

丫2

19.如图，已知椭圆的标准方程为'+「=1，K，片分别为椭圆的左、右焦点，点

A为椭圆上一动点，且在主轴上方，延长/片，/耳分别交椭圆于点3,C.

(1)证明：V/3C的周长大于4后；

(2)若|曲上3|/周,求直线3c的方程;

(3)求V/BC面积的最大值.

答案

1.【正确答案】B

【详解】因为8屋/,

所以由数轴可得aW2,

故实数。的取值范围为

故选：B.

2.【正确答案】A

【详解】因为小ua,若a〃夕，则由线面平行的性质可知机///?,故“a//”是

“以/力”的充分条件，

设an/=〃，mIa,mlIn,显然〃u〃，从而有小〃尸成立，但此时a,£不平行.

故选：A.

3.【正确答案】B

【详解】目=1表示z对应的点是单位圆上的点，

卜-利的几何意义表示单位圆上的点和(0,2)之间的距离，

|z-2i|的取值范围转化为点(0,2)到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最

小值，

所以最大距离为2+1=3,最小距离为2-1=1,

所以|z-2i|的取值范围为[1,3].

【详解】易知r(x)=x+3_2=2x+"7

XX

因为/（X）有两个极值点，故/'（%）有两个变号零点,

故一2%+加=0在（0,+8）上有两个不同的解，

fm>0,

故L//A所以0<加〈L

〔△=4-4加>0,

故选：D.

5.【正确答案】B

6-2/=22

根据题意得二=],解得：r=2,则含的项为《-gx2y=:工2%

故12一*J的展开式中x、的系数为:

故选：B.

6.【正确答案】D

【详解】解：因为sin(a+/?)+sin(a-6)=1,

所以sinacos[3+cosasin〃+sinacos'-cosasin/3=2sinacos(3=\,

即sinacos'=一.

i4

Xcos2/?=2COS2/?-1=--,则cos2/?=§,

因为

23

所以cos尸=—,所以sina=—.

34

故选：D.

7.【正确答案】A

【详解】由双曲线的定义可知|尸鸟尸耳|=2a,即|产工|=|尸耳|+如,

所以

附II*P9_______________1<1_1

2P小山"附1+京山2阿所+4,

KI(阿|+2力8a,

当且仅当|尸£|=1，即归凰=2%I尸用=4”时等号成立,

%

^\PF^=2a>c-a,解得cV3a,所以1<亍43,即离心率的取值范围为（1,3】.

故选：A.

8.【正确答案】B

■、4时、「1八八100x997“I、100x99,

【详角牛1,**S—%00+。1（）1H—+499=10°〃ioo-----------d=100（。］+99d）H----------d,

即99d=I。——cii,,「a；+a；。。（10,即a：+（6+99d）（10,

-10WO有解,

>0,解得-500<S«500,/.5max=500

故选：B.

9.【正确答案】BD

【详解】依题意可知，c<d<0<a<b,

对于A：由c<d<0,得02>cd,故A错误；

对于B：由c<d,得a+c<b+d,故B正确；

对于C：令b=2,a=\,c=-2,d=-\,ad>be,故C错误；

]]cccdcd

对于D：因为c<d<0,->7>0,所以£<：,7<y,所以£<£,故D正确；

ababbbab

故选：BD.

10.【正确答案】ACD

/।।、P（BA）+P（CmP（BA+CA）P（A}

【详解】对于A,P（5⑷+尸©/）=（）=P（N）三故人正

确；

对于B,抛掷两次骰子，事件A：第一次抛掷骰子的点数为2,

事件B：第二次抛掷骰子的点数为奇数，事件C：第二次抛掷骰子的点数大于3,

则P（2|/）=P（CM）=g,可知尸（M/）+P（C|/）=l,但3,C不是对立事件，故B错

误；

对于C,若事件A与事件B独立，则尸（N8）=P（Z）P（8）,

则网可"）=常="曹；'）=尸（2），故C正确；

P(8)=P®/)=罂,

对于D,从而/(48)=尸(⑷尸(B),

则事件A与事件B独立，故D正确.

故选：ACD

11.【正确答案】ACD

【详解】对于A,依题意，方程即(d+/+2x)(d+/-2x)=0,

即(X+])2+>2=]或=],

所以曲线C由以C](-1,O),C2(l,0)为圆心，1为半径的两个圆构成，故A正确;

对于B,玉<0<%，0<|oM-0^<|qG|+l+l|m-07v|e(0,4],故B错误；

对于C,设Af(-l+cosc,sina),N(l+cos/?,sin?),

OM+ON=(cosa+cos⑸sina+sin夕),

+=(cosa+cos0-+(sina+sin£)-=2+2co4<z0,1,

因止匕南上[0,2],c选项正确;

对于D,

OM-(JN^(-1+cosa)(l+cos/?)+sinasin/?=(-1+cosa)cos£+sinasin,+(-1+cosa)

=2sin万1sin/3cos--cos/?sinyI+cosa-1=2sinysin1尸一万J+cosa-1

1c•a•a

<2sin-+COS6Z-1=2sin---sin2

22

令f=2sin],贝l]西•丽Vf一£4‘，当口=工，。=竺时等号可成立.

22233

显然的，砺反向，且在x轴上时，OM.ON=-4,因此加•砺e-4,1,D选项正

确.

故选：ACD.

12.【正确答案】V6-1/-1+V6

【详解】由题意可知|/C|=2,\AB\=3,ZACB=120°,

在VABC中，由余弦定理可得+忸C「一2|/C|忸qcosN/CB,

.•.9=4+|BC『-2x2x（一；卜忸C|,解得忸C|=-l-茄（舍）或忸C卜加T.

故答案为.n-1

13.【正确答案】27

【详解】设』（网,/），5（x2,y2）,C（JC3,j3）,因为尸（3,0）,则玉+苫2+退=9,

则V/3C的三条中线的长度之和为乳/尸+即+C/）=//+3+乙+3+/+3）=27.

故27.

14.【正确答案】36K

【详解】解题分析由题意知，V/BC与9跖均为直角三角形，

且平面48c〃平面。£尸,5尸_L平面/8C,CE_L平面ABC,

故可以将几何体/BCD跖放入底面半径为2后，高为2的圆柱中，

且圆柱的外接球正好就是几何体/8-CDE尸的外接球，

又该圆柱的外接球的半径R=3,

所以几何体/8CDE尸的外接球的半径为3,

4

所以外接球的体积为H兀&=36九

故答案为.36兀

15.【正确答案】（1）

O17T

Q

（2）分布列见解析，|

12

【详解】（1）由题可知购买农产品A的概率为:，购买农产品8的概率为，

设事件C为4人中恰有1人购买农产品A,

依题可知，4人是否购买农产品相互独立，互不影响

（2）用虞〃分别表示这4个人中购买农产品N和8的人数，

则J可取0,1,2,3,4,〃可取0,1,2,3,4,

当J=0时，〃=4,表示4人全部购买产品3,概率月

当J=1时，77=3,表示4人中恰有1人购买农产品A,概率

当J=3时，〃=1,表示4人中恰有3人购买农产品A,概率乙=《

当J=4时，7=0,表示4人中全部购买农产品A,概率月=C：

所以由》=切可知，X的可能取值为0,3,4

,一17

当X=0时，对应的概率尸二片+月二支，

81

40

当X=3时，对应的概率尸=£+与=/,

O1

24

当X=4时，对应的概率尸二月=无

所以随机变量X的分布列为

X034

174024

P

81818?

所以，数学期望E（X）=0x^+3x普+4x#=*

0101013

16.【正确答案】（1）证明见解析

【详解】（1）证明：由。，E分别为NB,的中点,

由正方形易知：^DAAl=^ABE,

所以=

又NB4E+NEAA[=90°,

所以4=90°,所以ZEI.4。，

又4on&c=4，平面4CD内，

因此/E_L平面4cO,又CDu平面4CD,故Z£_LCD.

由平面/8CL平面4448,平面48cn平面44由6=/8,

且44］，/8，/4＜=平面44田田，

从而44，平面/BC，。（=平面/3。，故//JCD；

又/En/4=/,又/E,/4u平面4443,

故CZ）_1_平面AAlBlB.

（2）因为三棱柱/8C-44G的体积为4,

由（1）知：三棱柱4BC-48cl的体积为S"CX2=；X2XCAX2=4

则CD=2.

因为。，平面四边形为正方形，

以点〃为坐标原点，DA＞卷、亥的方向分别为X、＞、z轴的正方向建立如下图

所示的空间直角坐标系，

贝IJ4(1,0,0),C(0,0,2),,04(120),

%=(-1,0,2),词FC=l1,-|,2

12

m-FC=0,-x—1y+2z—0,

设平面ACF的法向量为比=（x,y,z）,则即3

m-AC=0,2z-x=0,

令z=l,贝I]x=2,y=4,从而丽=(2,4,1).

12,.

—a——b+2c=0,

n-FC^O,33

设平面ACF的法向量为方=（a,4c）,则即＜

X44

心囤=0,—a+—b=0,

33

令c=l,则a=-2,b=2,从而k=(-2,2,1).

m•n55V21

则cos<m,H>=....=—^=一产

\m\\n\V21.V963

即锐二面角/-w-4的余弦值为声

63

3.=1,

17.【正确答案】⑴S,韦

（2）证明见解析

【详解】（1）依题意可知，2T,”,2Tz=S',"23,

相减可得，2片=S；-S3=«„（5„+S,T）,

即2。“=S“+S“_,故2（5-Sn_t）=S„+Sn_t,

即S“=3S,T，n>3,故｛S“｝为从第2项开始的等比数列，且公比为q=3,

又2%=S；,代入%=3,可得出=3,

2

则星=6w3岳，〃22时，S„=S2q"-=6x3々=2x3"一，

(2)当时，

则

，=1=If「IJ-1________「

-22--2

Sn-22x3"i-22^2X3"+3"--1J2^2x3"J'

iii,ii/11Ali

-----------1-----------F—I-------------=Id-j-r+—F-1+-IT---------------F

,,41

SI-2S2-25,-22(3'-l)2(3-l)2乜2x32x3

18.【正确答案】（l）q=e

（2）证明见解析

0,-U(l,+oo)

【详解】（1）设0=，则/（x）=e*,/'（x）=d,

若V=X与y=/（x）相切，设切点为（x。,%）,

则为'=1=册，又%=e%,则%」，从而“=1,即f=L即a=A

(2)设。=以，则/(x)=e",当Q>1时，Z>0,

依题意，当x〉l时，要证丫2枕I，即证21nx+加—>0,当0cx<1时，即证

21nx+tx—<0.

x

设〃(x)=f无-工+21nx,h(l)=0,贝u〃(x)=f+O+2,当f>0时，h(x)>0,/i(x)单调

xxx

递增，

则当0<x<l时，A(x)<A(l)=0,即表优_/<0，从而(x-1)f/(x)->0,

2tt

当Ml时，咐"“1)=°，Wxe-e->0>从而(x-1)X2〃X)_/(£|20,

综上可知，当°>1时，(x-1)x2/(x)-/W>0.

(3)不等式即2。3+/，令a=el令g(x)=e*+铲-2e’一片°，g⑴=。，

,xx，X+2m

由g1j=g(x),不妨设xNl,g'(x)=tQ--^QX=-^-e^e^'-l=/工-3-1),

其中〃(无)=/x---F21nx,八(1)=0,h'=t——H—,

xxx

(i)当f>0时,由(2)可知以x)单调递增,故4(x)2〃⑴=0,则g，(x)20,即g(x)

单调递增，符合题意；

(ii)当/<0时，由/0=1+3+2="+$+/,令川+2x+f=0,则A=4-4/,

X'XX

①当作(-8,-1］时，A=4-4/40,则“«)40恒成立，故以久)单调递减，即

〃(%)<〃⑴=0,

即g，3=(eXe蛆故g(x)单调递增，从而g(x”/⑴=0,符合题意；

②当"(TO)时，A=4-4〃>0,故房+2x+f=0有两个根0<再<1<%,

因此当xeO，%)时，ftz(x)>0,M>)单调递增,则力(x)2〃(l)=0,

即g，(x)=je，e〃3-l)W0,故g(x)在区间(1,乙)上单调递减，从而g(x)Vg⑴=0,不

合题意.

综上可知，或£>0,即a£(0,：u(l,+e).

19.【正确答案】（1）证明见解析

0、V2V2

（2）y=---x-----

63

（3）v

【详解】（1）连接叫,注意到帆q+忸q>|典

故V4BC的周长为|48|+上工|+区C|+[BC|>WB|+kF2k配/4=4亚.

（2）设力（久o，yo），川%必）,C（x2,y2）,

由以国+卜周=2«=2应，且|/用=3|/周，故以公卜,后，

又M耳1=1（3+1）2+了;=,+咛+与xg则行+1天0=^6’即％=1,

（石、X+1

因此/，故直线的方程为：x=」夕-1,BPx=1y[2y—1»

I2）为

fx\2_.

直线/C的方程为：x=l,联立彳2,得,

x=26y-1

尸交=_乌1）,即一巨一直

故直线2C的方程为: