2025高考数学一轮复习：直线方程及直线间的位置关系

第01讲直线方程及直线间的位置关系

（7类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

给值求值型问题

2023年新I卷，第6题,5分已知点到直线距离求参数余弦定理解三角形

切线长

求点关于直线的对称点

2023年新II卷，第15题,5分由直线与圆的位置关系求参数

直线关于直线对称问题

2022年新II卷，第3题,5分已知斜率求参数等差数列通项公式的基本量计算

2022年全国甲卷（理科），

已知两点求斜率求椭圆的离心率或离心率的取值范围

第10题,5分

2022年全国甲卷（文科），

求平面两点间的距离由圆心（或半径）求圆的方程

第14题,5分

2021年新II卷,第3题,5分己知点到直线距离求参数根据抛物线方程求焦点或准线

2021年全国甲卷（文科），

求点到直线的距离已知方程求双曲线的渐近线

第5题,5分

2021年全国乙卷（文科），

求点到直线的距离求双曲线的焦点坐标

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分

【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系

2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用

3.熟练掌握距离计算及其参数求解

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习

12•考点梳理

知识讲解

1.两点间的距离公式

A（Xi，yJ，B（X2,y2）,|Aq=J（々—％y+（%—X）?

2.中点坐标公式

X]+x2

A（Xi，%）,B（x2,y2）,加（%,丁0）为AB的中点，则：＜2

M+为

%=

2

3.三角形重心坐标公式

x

）（国,必）,B（X2,%）,C&，乃）,河（o，%）为AA3建心

xx+x2+x3

3

H+为+%

%=

3

Z+Z?+Z3

3

4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系

2

（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；k>0,直线递增，k<0,直线递减,

（2）倾斜角：直线向上的部分与x轴正方向的夹角，范围为［0,%）

（3）直线的斜率与倾斜角的关系：k=tan0

e0°30°45°60°90°120°135°150°

与旦

tan®01V3不存在-V3-1

33

5.两点间的斜率公式

3（%2。2），kAB=~''

6.直线的斜截式方程

y=kx+b,其中人为斜率，匕为y轴上的截距

7.直线的点斜式方程

已知点尸（为,光），直线的斜率左，则直线方程为：y-y0^k（x-x0）

8.直线的一般式方程

Ax+By+C^O（A2+B2^0）

9.两条直线的位置关系

（1）平行的条件

k=k

①斜截式方程：k：y=kiX+h，I?y=k?x+b2,2

也产仇

”2=46

/1//Z<=><

②一般式方程：4：^x+Bly+C1=0,Z2:A2x+B2_y+C2=0,2

A[C2hA,C1

（2）重合的条件

K—左2

①斜截式方程：4y=匕x+伪，4：y=左2%+为，4/2重合=<

b[=瓦

②一般式方程:

A8=A,耳

4:A/+gy+G=0，I、：A2x+B2y+C,=0,《,台'<

=4G

(3)垂直的条件

①斜截式方程:4y=k1x+b1,/2:y=k2x+b2,”域=kxk2=-1

②一般式方程：

/):A^x+5y+G=0,I,:+B2y+C,=0,/]_!_/,AB?=0

10.点到直线的距离公式

点尸(公,%),直线/：Ax+3y+C=0,点到直线的距离为：1=邑兰匹

6+笈

11.两条平行线间的距离公式

3

,Iq-cd

I、:Ax+By+G=0,(：Ax+By+C?—0,d——,

一一VA2+B2

考点一、直线的倾斜角与斜率

典例引领

I_____________________

1.（2024•上海•高考真题）直线x-y+l=0的倾斜角.

【答案】7

4

【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.

【详解】设直线元-y+1=0的倾斜角为aee兀），

易知直线x-y+i=o的斜率为1,

所以tan6=l,

解得。=?.

4

故答案为：―：

4

2.（23-24高二上•青海西宁•阶段练习）已知A（2私2）,B（4,-1）,C（T-附三点在同一条直线上，则实数加的

值为—.

【答案】5

【分析】根据三点共线，直线人用BC斜率相等，即可列式计算.

【详解】根据题意可得：kAB=-^-=^=kBC,

2m-48

即：病—3%—10=0,（祖―5）（;w+2）=0,

解得=5或—2；

又当m=-2时，AC是同一个点，不满足题意，故舍去；

综上所述，实数机的值为：5.

故答案为：5.

3.（23-24高二上•山东枣庄•阶段练习）经过A。,m）,8（根-1,3）两点的直线的倾斜角是钝角，则实数机的范

围是■

【答案】（-8,2）。（3,+8）

【分析】由题意可得相片2且斜率无=二二＜0,计算即可得解.

m-2

【详解】根据题意机-1W1,即"存2,

且斜率上竺＜0,

m-2

gp(3-m)(m-2)<0,

4

解得〃z<2或：">3.

实数”，的范围是（，》,2）u（3,+00）.

故答案为：（-*2）u（3,+8）

4（23-24高二上•福建厦门・期中）已知两点A（-3,2）,B（2,l）,过点尸（0,-1）的直线/与线段A3（含端点）

有交点，则直线/的斜率的取值范围为（）

A.（―°o,—1]U[1,+00）B.[-1,1]

C.I-00,--lu[l,+00）D.--,1

【答案】A

【分析】求出直线以、PB的斜率后可求直线/的斜率的范围.

【详解】

故直线/的取值范围为（-8,-1]口（1,+8）,

故选：A.

■♦即时检测

1.（2024高三・全国•专题练习）直线xsin2-ycos2=。的倾斜角的大小是（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】D

【分析】根据题意，求得直线的斜率，得到左=tan2,结合倾斜角的定义，即可求解.

【详解】由直线xsin2-ycos2=0,可得直线的斜率4=当=tan2,所以直线的倾斜角为2.

cos2

故选:D.

2.（2024•河南信阳•二模）已知直线2x-y+l=0的倾斜角为a,贝ijtan2a的值是.

4

【答案】

【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得tana=2,再利用正切的二倍角公式即可得到结果.

【详解】由直线2x-y+l=0方程，得直线斜率tana=2,

2tana2x24

所以tan2a=

1—tan2a1-223

5

4

故答案为：

3.（2022・上海•模拟预测）若2=（2,-4）是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角大小为一

【答案】万一arctan2

【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.

-4

【详解】因为之=（2,-4）是直线/的一个方向向量，所以直线/的斜率左二3二—2,

所以直线/的倾斜角大小为冗-arctan2.

故答案为：乃-arctan2.

考点二、直线的5种方程

典例引领

1.（22-23高三•全国•课后作业）经过点（-3,1）和点（2,-2）的直线方程是.

【答案】3x+5y+4=0

【分析】根据两点式求得直线方程.

【详解】经过点（-3,1）和点（2,-2）的直线方程是：£=M，

整理得3x+5y+4=0.

故答案为：3x+5y+4=0

2.（22-23高二上•山东日照,阶段练习）过点4（4,1）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是

【答案】x-4y=0或x+y—5=0.

【分析】分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法进行求解.

【详解】当截距为0时，设直线方程为>=日，

将4（4,1）代入，可得后=：,

所以直线方程为y=

4

当截距不为0时，设直线方程为二+2=1,

aa

将4（4,1）代入，可得：a=5,

所以直线方程为尤+>-5=0,

综上：直线方程为y=或x+y_5=0.

故答案为：x-4y=0或x+y-5=0.

3.（22-23高二上•广东江门•期末）直线氐+y+2=0的倾斜角及在y轴上的截距分别是（

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

6

【答案】c

【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.

【详解】直线代工+'+2=0化成斜截式、=-瓜_2,

可知直线的斜率左=-石，故倾斜角为120。，直线在y轴上的截距为-2,

故选：C

4.（24-25高三上•湖南长沙•开学考试）过点（T,2）,倾斜角为号的直线方程为（）

A.X—y+2=0B.x+y+2=0C.x-y=2D.%—y+l=0

【答案】B

【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得.

【详解】由题可得直线的斜率为tanl35°=-l,

所以直线方程为：y-2=-（x+4）,

化简可得：尤+y+2=0；

故选：B

5.（20-21高一•全国，单元测试）如果AC<0,500,那么直线及+8y+C=。不通过（

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在y轴上的截距，即可求解.

【详解】因为AC<0,5.BOO,所以A,B,C均不为零，

由直线方程Ax+8y+C=。，可化为产—万x+（—万），

Ar

因为AC<0,且3c>0,可得％=——>0,y轴截距——<0,

BB

所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限.

故选：B.

即时检测

3

1.（2024高三•全国•专题练习）过点4（0,2）且倾斜角的正切值是（的直线方程为（）

A.3A—5y+10=0B.3x—4y+8=0

C.3x+5y—10=0D.3x+4y—8=0

【答案】A

【分析】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论.

【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是3:

7

3

所以所求直线的斜率为1,

由点斜式可知直线方程为y-2=£（X-0）,

即3x-5y4-10=0.

故选：A.

2.（21-22高二上•湖南•阶段练习）已知直线/过点G。,-3）,H（-2,1）,则直线/的方程为（）

A.4x+y+7=0B.2x-3y-ll=0C.4x+3y+5=0D.4x+3y-13=0

【答案】C

【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.

【详解】由直线的两点式方程可得，

直线/的方程为岩=品，即4x+3y+5=o.

1+3-2-1

故选：C.

3.（23-24高二上,陕西阶段练习）直线x-2y-2=0在x轴上的截距为处在y轴上的截距为6,则（）

A.a=2,b=1B.a=2,b=—l

C.a——2,b=iD.a=—2,b=—l

【答案】B

【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解.

【详解】由题意，直线x-2y-2=0,

令x=0,解得>=-1,故Z?=-l；令y=。，解得x=2,所以a=2.

故选：B.

4.（2024高三•全国•专题练习）已知直线/的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为历，则直线/的

方程为（）

A.y=6x+-737B.y=6尤+6

C.y=6x±6D.）=6%—6

【答案】c

【详解】

解析：设所求直线/的方程为y=6x+A令尤=0,^y=b,与y轴的交点为（0,b）；令y=0,Elx=-g,与

n

无轴的交点为（一巳0）.0被两坐标轴所截得的线段长为收，ffl（-2）2+62=37,解得6=±6,因此所

nn

求直线方程为y=6x±6.

5.（18-19高一下•福建莆田,期中）如果AC<0且*C<0,那么直线Av+4v+C=0不通过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

8

【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在y轴上的截距，即可求解.

【详解】因为A-C<0,且3-C<0,所以A、B、C均不为零，

由直线方程Ax+By+C=O,可化为>

A「

因为ACvO,且3・CvO,可得---<0,----->0,

BB

所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限.

故选：C.

考点三、两直线平行求参数

典例引领

1.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）已知直线如+2丫+相+2=。与直线4尤+（机+2）y+2机+4=0平行，

则机的值为（）

A.4B.-4C.2或TD.-2或4

【答案】B

【分析】根据两直线平行得到m（〃z+2）=2x4,求出机的值，再检验即可.

【详解】因为直线2y+7篦+2=。与直线4x+（m+2）y+2〃z+4=。平行，

所以根（m+2）=2x4,解得相=2或m=T,

当相=2时直线2x+2y+4=0与直线4x+4y+8=0重合，不符合题意；

当m=T时直线Yx+2y-2=0与直线4x-2y-4=0平行.

故选：B

2.（2024•全国•模拟预测）已知直线>ax+3y-6=0,直线乙：2x+（a-l）y-4=0,则"a=-2"是"/1〃幺

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用两直线平行求解。的值，结合充要关系的定义判断即可.

【详解】由4〃4可得6=。（。-1）,解得。=3或。=-2.

当a=3时，/1：3尤+3y—6=0,12：2尤+2y—4=0,显然4，4重合，舍去，

故4〃/2时，a=—2.

因此"a=-2"是乜〃上的充要条件.

故选：C

9

即时检测

1.（2024嘿龙江哈尔滨・模拟预测）已知直线4：依+3〉-6=0,直线/2：21+5-1）尸4=0,则"4〃/2"是"4=3

或。=-2"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线平行满足的系数关系列式求解。，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.

【详解】若直线4：办+3>-6=。和直线/2：2x+（"7）y—4=。平行，

]QX(Q-1)=2X3

贝“”(-4)#2、(—6)，解得a--2,

所以“〃/「是"。=3或。=-2〃的充分不必要条件.

故选：A

2.（2023,河北保定,三模）已知直线4:ax—5y—1=0,：3x—（a+2）y+4=0,"a=3"是"4〃4"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析"。=3"和""//的关系，结合充分必要条件的定义分析可得

答案.

【详解】若直线4：“苫一5>-1=0与/2：3龙一（。+2）V+4=0平行,

贝lj—+2)+15=0,解得a=3或a=—5,

所以“a=3"是"乙//4”的充分不必要条件.

故选：A.

考点四、两直线垂直求参数

典例引领

1.（23-24高三下,江苏•阶段练习）已知直线4：、Qx+3y+l=O,若直线4与4垂直，则4的倾斜角是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】C

【分析】先求出直线4的斜率，再由直线4与4垂直，求出直线4的斜率，然后由倾斜角与斜率的关系可求

得结果.

10

【详解】由gx+3y+l=0,得"一#x-；,则勺=-乎，

因为直线6与4垂直，所以44=T，

所以考与=-1,得

设直线乙的倾斜角为6，贝UtanO=6，

因为0。＜。＜180。，所以0=60。,

故选：C

2.（23-24高三下•安徽芜湖•阶段练习）已知直线-3=04：（机—2）x-y+l=0,贝旷根=1"是"，

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】当"2=1时可得％/2=T，即当时可得"2=1，结合充分、必要条件的定义即可求解.

【详解】当根=1时，l1'.x-y-3=0,l2:-x-y+l=0,

HPli:y=x-3,l2:y=-x+l,则左他=-1，即4，4；

当/1_L/2时，皿m-2）+（—1）x（-1）=0,解得机=1.

所以〃加=1〃是“414〃的充要条件.

故选：c

L（2024•四川南充•一模）"机=1"是"直线4：x+（m+l）y+l=0与直线6：（根+1）尤-畋-1=。垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若直线乙：x+。九+1“+1=0与直线4：（m+l）尤一根y-l=。垂直，

则1乂（加+1）+（〃7+1）*（-力1）=0,解得加=±1,

所以"加=1"是"直线/1：彳+（%+1”+1=。与直线/2：（机+1）*-叼-1=0垂直”的充分不必要条件.

故选：A.

2.（23-24高三上•河北•阶段练习）已知直线4：ax+2y+Z＞=。与直线4：bx-y+a=。垂直，则/+〃的最小

值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

11

【分析】根据直线的垂直关系可得团=2,利用基本不等式即可求得答案.

【详解】因为直线4：ax+2y+b=0与直线4：bx-y+a=O垂直，

所以必—2x1=0,即"=2,所以〃+6?2=4,

当且仅当a=b=后或a=b=-&时等号成立.

即a2+b~的最小值为4,

故选：B

考点五、直线的交点坐标与距离公式

典例引领

22

1.（2024•广西柳州•模拟预测）双曲线土一L=1的一个顶点到渐近线的距离为（）.

416

A.75B.4C.弋D.20

【答案】C

【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由双曲线的方程知两顶点A（-2,0）,4（2,0）,

b

渐近线方程为y=±±x=±2x,

a

,4475

由对称性，不妨求A到直线y=2x的距离，仁心+㈠）,=『

故选：c.

2.（2024•黑龙江吉林•二模）两条平行直线jx+y+l=0,Z2：x+y-l=0之间的距离是（）

A.1B.C.2A/2D.2

【答案】B

【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.

【详解】因为《：x+y+l=。，4：x+y-l=o,

所以它们之间的距离为d=汇）1=e.

V1+1

故选：B.

即时检测

1.（23-24高二下•广西•开学考试）椭圆[2+]2=1的上顶点到双曲线/一丁=1的渐近线的距离为（）

12

A.J2B.C.2D.-

22

【答案】B

【分析】先求椭圆的上顶点，再求双曲线的渐近线，然后代入点到直线的距离公式求解.

【详解】

22

椭圆?+/=1的上顶点为(0,3),

双曲线y2=i的渐近线方程为k土x,

则椭圆二+X=1的上顶点到双曲线尤22=J的渐近线的距离为d==逑.

59722

故选：B

2.(23-24高二上•河南•期中)若直线小龙+分一2=。与/2：2x+(/+i)y-2=0平行，则两直线之间的距离

为()

A.J2B.1C.—D.2

2

【答案】C

【分析】根据两直线平行可得。=1,再由平行线间的距离公式即可求得结果.

【详解】依题意，由两直线平行可知2a="+1,解得。=1,

所以两直线分别为x+y-2=0,x+y-l=0,

可得两直线之间的距离为苧=—,

V22

故选：C.

考点六、直线恒过定点问题

典例引领

1.(2022高三•全国•专题练习)已知直线(3〃­〃)x+(相+2〃)y-〃=0则当〃变化时，直线都通过定点

【答案】(-1443)

77

f3%+y=0

【分析】整理得，皿3尤+y)+〃(-x+2y-1)=0,利用;即可计算求得定点.

［r+2y—l=0

［详解］整理得，m(3%+y)+n(-x+2y-1)=0

3x+y=0713

从而该直线必过定点(万/

_;r+2y-l=0厂3

13

13

故答案为：（-三,三）

77

2.（2024・重庆•三模）当点P（-LO）到直线/：（32+l）x+（X+l）y—（44+2）=0的距离最大时，实数2的值为

（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】先求得直线过的定点，再由点尸与定点的连线与直线垂直求解.

【详解】直线/：（32+l）x+（2+l）y-（4/l+2）=0,

整理得X（3x+y-4）+（x+y-2）=0,

[3x+y-4=0[x-1

由cc，可得J

[x+y-2=0[）=1

故直线恒过点A（l,l），

22

点P（-l,0）到A（l,1）的距离41ax=7（-l-l）+（0-l）=A/5，

■/j_i_0_1

故勉=币=5；

直线/：（32+l）x+（2+l）y—（4/l+2）=0的斜率％=—^^,

故一丝?N=T，解得X=L

2+12

故选：B.

即时啊

1.（20-21高二上•安徽六安・期末）直线区-y+1-3左=0,当上变动时，所有直线都通过定点（）

A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）

【答案】A

【分析】直线方程转化为：（彳-3伙-y+l=0,然后令。,+1=0，解方程即可求解.

【详解】解：直线方程转化为：（x—3）左—y+l=0,

"3=0

令（1八，解得x=3,y=l,

[-y+l=0

所以直线过定点（3,1）,

故选：A.

2.（23-24高三上•四川•阶段练习）已知直线/:（机+l）x-y-3〃?-2=。，则点尸到直线/的距离的最大

值为.

【答案】275

14

【分析】求出直线/所过的定点，确定何时点尸（-L-D到直线/的距离最大，结合两点间的距离公式，即可

求得答案.

【详解】直线/：（加+l）x-y—3加一2=0,即％—y—2+根（x—3）=0,

Ix-y-2=0

由1八，解得x=3,y=l,所以直线/恒过定点43,1）,

[%—3=0

当直线/与直线AP垂直时，点到直线/的距离的最大,

最大值为|AP|="（3+1）2+（1+1）2=2逐，

所以点尸（T,T）到直线/的距离的最大值为2百,

故答案为：26

考点七、直线综合问题

典例引领

1.（24-25高二上•江苏泰州•阶段练习）已知M（2,5）,N（-2,4）,动点尸在直线/:尤-2丁+3=0上.则怛间+忖2

的最小值为.

【答案】375

【分析】借助线段和的几何意义求解即可.

【详解】设M（2,5）关于直线/对称对称点坐标为

户一2xS+3=0

22x=4，/、

则一，解得y=i，即MF』），

y-51

----X—=-1

[x-22

|PM|+1PA^I=|PM+1PA^I>|M?V|=J（4+2）2+（1—4）2=3石,

所以归M|+|PN|的最小值为3石.

故答案为：3石.

15

2.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知直线4：4*+4、+。］=0,（4,4，。1*0）与直线

/2：43+5了+。2=。，（4，5，6*0），则直线4,关于y轴对称的充要条件是（）

A.B.a二2

B2G4B2

C.

4B2c,2,A,B2C2

【答案】D

【分析】求出直线4关于y轴对称的直线方程，由此得解.

【详解】直线小4%+/+。1=。（4,4，。户0）关于'轴对称的直线方程为：-V+用y+£=o,

又4与4关于y轴对称，所以-^=3=?.

/12^2

AB,C,

所以直线4与“关于y轴对称的充要条件是-?=±二>.

&£）2C2

故选：D.

3.（24-25高二上•山东潍坊•阶段练习）点尸（-2,-1）到直线/:（l+3X）x+（l+X）y-2-4X=0（XeR）的距离最

大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A.>/13;2x-3y+l=0B.A/lT;3x+_y-4=0

C.厄3x+2y-5=0D.而;2x-3y+l=0

【答案】C

【分析】由直线/的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线/的方程.

【详解】直线/的方程(l+32)x+(l+/l)y—2—42=0可化为x+y—2+X(3x+y—4)=0,

x+y—2=0X=1

联立,解得

3x+y—4=0y=i

所以直线/经过定点

当尸C_L/时，点尸到直线/的距离最大，最大距离为|PC|=J（-2-1）2+（-1一1）2=届，

因为直线PC的斜率砥c=^1=g，PCD,

所以直线/的斜率与=-：3,

1+323

所以-

1+22

16

所以2（1+3%）=3（1+乃，

所以2+62=3+32,故％=g，

所以直线/的方程为3x+2y-5=0.

故选：C.

4.（24-25高二上•河北石家庄•阶段练习）已知点A（2,-3）,3（-5,-2）,若直线/：m+y+机-1=0与线段AB

（含端点）有公共点，则实数力的取值范围为（）

43

A.

354

34

C.

453

【答案】D

【分析】求出直线/过的定点，设为尸，求出04,右B，结合图象，即可确定答案.

【详角单］由/：如+>+根_1=0可得,_1=（_加）（彳+1）,

即直线/:根Y+y+〃2T=0过定点（-1,1）,设为P,

-3-14,-2-13

结合4（2,-3）,3（-5,-2）,贝I］总

2+1一一§'PB--5+1-4

直线/:/nx+y+〃Ll=0与线段48（含端点）有公共点,

则一加2］或一加4一§,BPm<^m>—,

故机的范围为卜切,-1［g'+x］'

故选：D

♦♦即时啊」

1.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知平面上两点A（4,l）,B（0,4）,M是直线3尤-丫-1=0上一动点，则

|恻-|MB|的最大值为（）

5L

A.-B.75C.2亚D.5

【答案】B

17

【分析】求出点8关于直线3x-y-l=0的对称点，再由几何关系得到ACM三点共线时距离最大,

最后利用两点间距离求解即可；

cm〃+4y八

3x--------------1=0

22m=3

则,解得

n-41〃=3

Im3

连接MC,AC,可得所以41TMB||=W例T〃C|W|A。，

当ACM三点共线时，等号成立，

所以|他4|一］〃/的最大值为J（3一4『+（3一以=75,

故选：B.

2.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）平面内四个点陷（0,3）,陷（2,0）,加3（4」）,以（6,4）分布在直线

/:Ax+By+C=。的两侧，且两侧的点到直线/的距离之和相等，则直线/过定点（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（-2,-3）D.（-3,-2）

【答案】B

【分析】分析可知将的坐标代入直线/的方程,得代数式之和等于0,整理可得C=-3A-23,

代入直线方程即可得结果.

【详解】点根（。，3）,限（2,。）,/3（4,1）,想（6,4）分布在直线/:―+为+。=0的两侧，且两侧的点到直线/的

距离之和相等，

则将/「知2，知3，/4的坐标代入直线/的方程，得代数式之和等于0,

即Ax1++C+Ax?+By?+C++6y3+C+Ax4+By^+C=0,

则12A+8B+4C=0,即C=—3A—23,

所以直线/：4+B.v—3A-28=0,即A（x—3）+3（y—2）=0,过定点（3,2）.

故选：B.

3.（24-25高二上•陕西西安•阶段练习）过点P（0,-l）作直线/,若直线/与连接4（-2,1）,8（26,1）两点的线

段总有公共点，则直线/的倾斜角范围为（）

18

【答案】B

【分析】由题知直线/的斜率-1][与*,再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.

设直线/的倾斜角为6,O<0<n,

当直线/的斜率不存在时，eq,符合，

当直线/的斜率存在时，设直线/的斜率为3

因为点尸（OI）,A（—2,l）,B（26,l）,则％=雇吕=一1，怎"呆?="，

因为直线/经过点尸（0,-1）,且与线段A3总有公共点，所以强（-巩-1]口¥，+/，

L7

JTIT）（TT37r

因为tan9=左，又046<兀，所以T，彳D不二T'

62）（24

TT37r

所以直线/的倾斜角范围为，—

764

故选:B.

4.（24-25高二上•福建厦门•阶段练习）经过点尸（0,-1）作直线/,若直线/与连接A（-2,1）,8（-1,-6-1）两点的

线段总有公共点，贝心的倾斜角a的取值范围为（）

A.[0百B.[0,7i）C.[0,—]U（-1-rlD.[0,—]Ut—-

332434

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出直线/的斜率范围，进而求出倾斜角范围.

【详解】依题意，直线"的斜率％=—=T，直线尸8的斜率%=一乙一1+1=豆，

由直线/与线段总有公共点，得直线/的斜率左e[-l,否],即TVtanaV百，

当-lWtana<0时，而ae[0,7r）,则子工&<无；当OvtanavJL,

所以I的倾斜角a的取值范围为O^冗U[3咚7r，兀）■

34

19

IN.好题冲关・

一、单选题

1.（2024・河南・三模）已知直线'+3y+C=0与直线y=2x-3垂直，贝I］（）

A.A=~2B^0B.A=2B^0

C.B=-2A^0D.B=2A^0

【答案】D

【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.

【详解】直线y=2x-3的斜率为2,又两直线互相垂直，所以直线—+8y+c=0的斜率为一;，

A1

即—=—且AwO,BrO,所以3=2A去0.

B2

故选：D.

2.（24-25高二上•福建•阶段练习）已知直线/过点（«,3）和（3,2）,且在x轴上的截距是1,则实数优等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】求得直线/的方程，代入点（租,3）的坐标，可求机的值.

【详解】因为直线/在x轴上的截距是工，所以过点（L0）,

又直线/过点（3,2）,所以直线/的斜率为左=导=1,

3-1

所以直线/的方程为：y-O=l（x-1）,即直线方程为x-y-1=0,

又直线/过点0,3）,所以租-3-1=0,解得〃z=4.

故选：D.

3.（23-24高二下•山东枣庄•期中）若点P是曲线y=/-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-4的最小距离

为（）

20

A.1B.V2C.2近D.472

【答案】C

【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线y=x-4平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离

即为所求最小距离.

【详解】直线V=x-4的斜率上=1,函数y=--lnx定义域为(0,+8),

点P是曲线＞