三角函数图像与性质归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题4-2三角函数图像与性质归类

目录

一、热点题型归纳

【题型一】平移1：正弦__＞余弦........................................................1

【题型二】平移2：识图平移............................................................3

【题型三】平移3：恒等变形平移........................................................6

【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质......................................8

【题型五】平移5：最小平移...........................................................10

【题型六】平移6：求w。最值..........................................................12

【题型七】正余弦函数对称轴...........................................................14

【题型八】正余弦对称中心.............................................................17

【题型九】三角函数周期...............................................................19

【题型十】单调性与最值...............................................................20

【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值..........................................22

【题型十二】三角函数零点.............................................................24

【题型十三】图像与性质：xi与xz型....................................................26

【题型十四】三角函数最值.............................................................28

【题型十五】万能代换与换元...........................................................29

【题型十六】图像和性质综合...........................................................32

二、真题再现..................................................................................34

三、模拟检测..................................................................................39

热点题型归纳

【题型一】平移1：正弦一―余弦

【典例分析】

j,若/（x）的图象向

（2022•安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数〃x）=cos（0x+9）口＞0,0＜夕＜、

右平移]个单位后，得到函数g（x）=

SIN2X+T的图象，则（

，兀e兀c27r

A.(p=—B.(p=—C.YD.(p=—

64

【答案】C

【分析】根据图象平移，得到平移后的表达式，即可求解.

2兀

【详解】由题意可知，COS=cosa)x+(p-—=sin2x+—=cos2x+-,

123I6

则0=2.所以cos12x+(p——=sin2x+g=cosI2x+1

TTTETTTT

所以0——=—+2kli=>0=一+2kn，取％=0,贝lj夕=_.

6633

故选:C

【提分秘籍】

基本规律

函数名称不一致的平移，有两种方法:

1.诱导公式化同名

2.五点画图法，观察“第一零点第二零点一致性”

【变式演练】

1（2023・全国•高三专题练习）已知直线x=?是函数/（x）=2sin（2x+9）（|e|＜U的图像的一条对称轴，为

8

了得到函数y=/（无）的图像，可把函数y=2cos[2x-rJ的图像（

)

A.向左平移三个单位长度B.向右平移菱个单位长度

24

C.向左平移联个单位长度D.向右平移W个单位长度

【答案】B

TTTTIT

【分析】首先由x=9是函数/（X）的对称轴可得了±2,所以2xg+e=：+A乃(左eZ)再由|夕|<彳，求

Oo22

得夕=751,再化y=2cos（2尤为y=2sin（2尤+171）,再通过左加右减即可得解.

43

【详解】依题意，直线x=?是函数/（x）=2sin（2x+。）（⑷〈盘的图像的一条对称轴,

8

[7T\,nJTTnC

则/2sin2x——\-(p=±2,即2x——\-(p=——\-kyi(kGZ),

\8J8822

解得1（左eZ）,因为lek,,所以,=彳

所以函数/(x)=2sin2x+?.

cC兀兀

将y=2cosf2x-^-•—2sin2xH--=--2-s-in12x+/J的图像

I26

向右平移£个单位长度得y=2sin2x-g+g=2sin2尤+£.

故选：B..

2.(2022.全国•高三专题练习)为得到函数＞的图象，只需将函数y=-sin(2xf图象上所有

的点()

A.向左平移骨个单位长度B.向右平移骨个单位长度

7777万

C.向左平移9个单位长度D.向右平移S个单位长度

2424

【答案】D

【分析】先得到y=Tin12x_m=cos[2x+?),再利用平移变换求解.

因为y=_sin(2x_?

【详解】解:=-sin2x+^-f=cos2x+—,

I4j

将其图象上所有的点向右平移笥个单位长度，得到函数〉=。。$121-1|[+?]=cos[2x-1^的图象.A,

B,C都不满足.

故选：D

3.(2023•全国•高三专题练习)为了得到函数y=sin[2x+：]的图象，可以将函数y=cos(2x+[)的图象

)

A.向左平移三个单位B.向右平移三个单位

2424

C.向右平移号个单位D.向左平移2个单位

2424

【答案】B

【分析】先通过诱导公式将y=cos(2x+化为g(x)=sin12x+,＞设平移了0个单位,从而得到方程,

兀

求出e=一7三，得到答案.

【详解】y=cos(2x+：]=sin[2x+5+T=sin(2x+g),设平移了夕个单位，得到

g(x)=sin(2x+g+2“

则筌+2。=：,解得：。=-二，即向右平移了二个单位.故选：B

642424

【题型二】平移2：识图平移

【典例分析】

(2022•陕西•渭南市华州区咸林中学高三开学考试(理))如图，函数/a)=2sin(ox+0)[o＞0,leKT]的图

像过[]，o)(2n,2)两点，为得到函数g(x)=2cos(©x-0)的图像，应将/(力的图像()

B.向左平移r个单位长度

O

5兀

C.向右平移彳个单位长度D.向左平移胃个单位长度

【答案】D

【分析】先根据周期求。，再代入（2万,2）,解得。，最后根据平移变换即可判断

【详解】7=(27r-x4=6乃:.a>-=/=；/(x)=2sin[gx+0

代入（2%,2）得2sin（g+?=2即sin]等+0)=1。

——F0=]+2kji,keZ=>(p———+,kwZ

71171

,/\(p\<y,\k=0即(p=~/(x)=2sin—X------

6o36

对于A选项，

2sing7兀兀17%左15%1197171119%

x——=2sin—x-----------=2sin—X--------=2sin—x-----------1—=2cos—x，故A

63186393182318

错误

对于B选项

2sin；n17TTn12TI15717115兀

=2sin-x-\----------=2sin-x-\-----=2sin—X---------1——=2cos—X--------，故B错

63186393182318

误

对于C选项

15兀71157171

2sinx--=2sin-x-=2sin=-2sin-x,故c错误

63663

对于D选项,

.Ifx+g7115兀兀1In17171171

29sin-.=2sin-x-\----------=2sin-x-\-----=2sin—X~\------F—=2cos—X-\——，故D正确

区63663336236

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

确定吐/）+6（A>0,圾>0）的步骤和方法：

⑴求4b：确定函数的最大值M和最小值加，贝!）4="万匕，6="詈；

（2）求。：确定函数的周期T,贝何得片半；

⑶求。：常用的方法有代入法和五点法.

①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时4vw〃已知）或代入图象与直线,=匕的交点求解（此时

要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上）.

②五点法：确定夕值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.

【变式演练】

1.（2022•河南•高三阶段练习（理））函数〃x）=2sin（s+e）（。＞0且0＜夕＜兀）在一个周期内的图象如

图所示，将函数y=/（x）图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移:个单位长度，得到函数

A.6B,1C.-1D.-73

【答案】A

【分析】由图象得“X）的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数g"）的解析式，即可求g

【详解】解：由图象可知［=乎一］=［，则7=-由7=&，得。=2.贝厅（x）=2sin（2x+0）.

2882co

.点（$2］在函数图象上，,2=2sin（2xm+e］,"=2E+：,4eZ.

：0＜°＜兀，.♦.夕=%.♦.函数解析式为/（x）=2sin［2x+：）.

将函数y=/（x）图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移:个单位长度，得g（x）=2sinx.

故=石.故选:A.

2.（2022・全国・长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的

加（，〃＞0）倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移。（。＜。＜万）个单位长度，最后将所得函数图象上所

有点的纵坐标变为原来的以"＞0）倍，横坐标不变，得到如图所示的函数/（x）的部分图象，则以〃，。的值

分别为（）

2"

A.m=2,n=2,(p=——

3

-1c2万

B.m——,n=2,(p=—

23

C.m-2,n=2,(p=—

3

万

DC.m=—1,Tic=2,(p=—

23

【答案】D

【分析】由图象求得了(x)的表达式，然后由图象变换得结论.

【详解】设〃尤)=Asin(<yx+w)(A>O,0>O,囱<%),由函数图象，知A=2,J=音一[一看]=],所以

2万

T=71,0)=—=2.所以/(%)=2sin(2x+a).

又函数图象过点所以2sin(2x当+&]=-2.

月斤以---cc-2k?iH，左£Z,角格得(X—2k?iH-------，左£Z.

623

因为囱<乃，所以a=g.所以/(力=25皿(2天+^)=2$抽21：+1].所以根=；,〃=2,0=(.故选：D.

3.(2022•四川省内江市第六中学模拟预测(文))已知函数〃x)=Acos(0x+e“A>O,0>O,附<[,将

)

【分析】首先根据平移后得到函数g(x)的解析式，再根据图象求函数的解析式，即可求值.

【详解】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知4=1,

==解得：0=2,函数“X)的图象向左平移子个单位长度，得

/、「J3万1-

g(x)=cos2xd-----\-\-cp

...71r_L—九3%37r...rJ—.IITC

当x——日寸，2x—I------(p-------F2kji,2£Z,|同<—得9=-?

66222

所以/(尤)=cos[2x_g

【题型三】平移3：恒等变形平移

【典例分析】

(2022・湖北•高三开学考试)要得到g⑶=sin[©+g)的图象，只需要将f(x)=cos22x-sin22x的图象

A.向左平移三个单位长度B.向右平移三个单位长度

C.向左平移・个单位长度D.向右平移点个单位长度

［答案］A

【分析】先将函数/⑴化为於…出心+3，然后由正弦函数的图像平移可得答案.

【详解】/(x)=cos22x-sin22x=cos4x=sin(4x+

又sin4(龙+二］+工=sin［4x+—

LI24；2jI3J

所以将f(x)=cos22x-sin22x的图像向左平移/个单位长度，可得g(x)=sin(4x+等)的图像

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

利用正余弦两角和与差公式，二倍角公式，降幕公式，半角公式等恒等变形进行平移

【变式演练】

1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(”=2sinx+cosx的图象向左平移°(。＞。)个单位长度后得到函

数g(x)=sinx+2cosx的图象，贝！jg(")=()

A.9118

B.——C.D.

555

【答案】B

【分析】根据三角函数平移变换和两角和差公式可构造方程组求得sinacos。，代入g(°)即可.

【详解】•.•/(x+0)=2sin(x+0)+cos(x+9)=2sinxcos0+2cosxsin0+cosxcos0-sin%sin"

=(2cos(p—sincp)sinx+(2sincp+coscosx=g(x),

3

gsin。

2cos0—sin0=l53811

、.Wo，解得：4,g(")=sin0+2cos0=g+y=(.故选：B.

2sm0+cos0=2

COS(P

5

2.(2022•全国•高三专题练习)为了得到函数y=2cos2x的图象，只需把函数y=Qsin2x+cos2x的图象

)

A.向左平移?个单位长度B.向右平移(个单位长度

C.向左平移《个单位长度D.向右平移《个单位长度

00

【答案】C_

【分析】化简y=gsin2x+cos2x,再根据三角函数图象平移的方法求解即可

【详解】y=A/3sin2x+cos2x-2icos2x+sin2x-Zcosflx--,因为y=2cos(2x-工］向左平移？

个单位长度得到y=2cos2(x+]-71

T=2cos2x

故选：c

3.(【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学)设/(x)=cos2x-百sin2x,

把y=/(%)的图像向左平移9(。>0)个单位后，恰好得到函数g(x)=-cos2x-百sin2x的图象，则0

的值可以为()

7C7C2TI5乃

A.—B.—C.----D.----

6336

【答案】A.因为函数/(x)=cos2x—Gsin2x=2cos(2x+。)，然后将其图像向左平移夕(0>0)个单

JTTT7T

位后得到：y=2cos[2(%+0)+§]=2cos(2尤+2。+1),即g(x)=2cos(2%+2。+1),又因为

g(x)二-cos2%-sin2x=-2cos(2x-y)=2cos(2x+停),所以20+。=苫+2左肛上wZ,即

IT1T

(P——I-k兀,kEZ,当％=。时，(p=—,故应选A.

66

【题型四】平移4:中心对称，轴对称，单调性等性质

【典例分析】

(2022・安徽•高三开学考试)将函数/(%)=sin(2x+0)(0<(p<7)的图象向右平移1个单位长度得到g(x)的

0

图象，若g(x)的图象关于直线x=(对称，则g1,()

A.一立B.--C.0D.1

222

【答案】D

【分析】由平移变换写出g(尤)的表达式，由g(x)的对称性求得。，然后计算函数值.

TTTT

【详解】由已知g(x)=sin[2(x-")+e]=sin(2x-；+e),

63

g(x)的图象关于直线X=g对称，贝+e=+又0<。<万，所以夕=£,

33326

所以g(x)=sin(2x-J),所以g(/)=sin(2x.

66662

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

1.一般情况下，f(x)=As%(vub/)(A>0,w>0)两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。

2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。

3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。

4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。

5.一般情况下，f(x)=As加(w无力,)+6(A>0,g0)的最大值或者最小值，必在对称轴处。

6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。

【变式演练】

1.(2022•贵州贵阳•高三开学考试(理))己知函数/(尤)=2cos(2x+0)(0<e<m的图象向右平移?个单位

长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于原点对称，则。=()

A.-B.-C.-D.—

34612

【答案】C

【分析】根据函数平移关系求出g(x),再由gW的对称性，即得.

【详解】由题可知g(x)=2cos=2cos12x-夸图象关于原点对称，

所以=£+左肛左eZ,因为0<°<彳，所以夕=$.故选：C.

3226

2..(2021・河南•高三开学考试(理))将函数/(x)=0sin(2x+0(d<5的图像向右平移胃个单位长度

得到函数g(x)的图像，若匕|,。)是函数g(x)图像的一个对称中心，则函数g(x)的一个单调递减区间为

()

【答案】B

【分析】根据三角函数变换可得g(x)，根据对称中心可得夕，进而可得g(x)解析式与单调区间.

【详解】由题意知，./■(x)=0sin(2x+°),所以g(x)=J^sin(2x-岩+，

因为修，。］是函数g(x)的一个对称中心，则£-当+0=左乃，即夕=苧+祓(4eZ),

［12)6124

因为可得"=一?，所以函数g(x)=J5sin(2x—V］，令2左兀一—左兀一］,

7TTT

解得k?i--#xkyi+—（左£Z）,故选:B.

63

3.(2023.全国.高三专题练习)将偶函数/'(xbA/^siMZx+oAcosQx+oXOveVTr)的图象向右平移?个

6

单位，得到y=g(x)的图象，则g。)的一个单调递减区间为()

【分析】根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出夕值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数g(x)的

解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】/（x）=A/3sin（2x+^）-cos（2x+^＞）=2sinl2x+^--^-I.

因为函数/(x)是偶函数，所以°一£=eZ)=>°=E+T(%eZ),

因为0<°<兀，所以"=g,所以/(x)=2sin12x+g-£]=2cos2x,

JT

因为函数八九)的图象向右平移:个单位，得到y=g(x)的图象，

0

所以y=g(x)=2c°s2(x-「=2c°s(2x-m1,

JT

当2/CJI<2x-—<2E+兀(左£Z)时，函数g(x)单调递减，

即当M+析+事优eZ)时，函数g(x)单调递减，

yr97r

当人=0时，函数g(x)在冷4了4弓时单调递减.

63

故选：c

【题型五】平移5：最小平移

【典例分析】

(【百强校】2019-2020学年湖南省株洲二中)把函数/(%)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图像沿x轴

7T

向左平移加(m>0)个单位，所得函数g(x)的图像关于直线x=々对称，则m的最小值为()

8

a"r兀71n37r

A.—B.—C.—D.—

4324

【答案】Af(x)=--2'一sin2x+3x1+2十一sin2x+2=0cos(2%+()+2,所以

f(x+m)=\/2cos[2(x+m)+—]+2,因为g(x)的图象关于％=2对称，所以2(%+附+匹=左环左wZ,

484

k冗jrJT

解得：m=-------,keZ,m>0,所以当左=1时，加的最小值是加=—.

244

【提分秘籍】

基本规律

三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值

【变式演练】

5兀兀

1.(2023・全国•高三专题练习)将函数/(x)=sin2------x-sin2XH----的-图象向左平移°(。>0)个单位长

1212

71x=8+x

度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)满足g][^],则夕的最小值为(

712兀-3兀

A.—C.—D.—

434

【答案】A

【分析】先化简〃x)=cos2x+"再平移g(x)=cosf2x+2(p+~,由函数g(x)的图象关于直线x=J

0

jrTT

对称有2x；+20+/=左;r,进而得到。的最小值.

6o

兀271

25-sinfx+^-22n

【详解】解法一：/W=sin------x=cosXH-----s-inXH----=--cosI2xH—j.

121212I6

贝1g(x)=/(x+e)=cost2X+2°+£，因为g(x)满足g

所以函数g(x)的图象关于直线X=J对称，所以2、9+20+9=觊，keZ,所以。="-；,八Z,

66624

TT

因为夕所以。的最小值为『故选:A.

=cos2(x+-sin2(x+=cos(2x+已］

解法二〃x)=sin2

贝1Jg(x)=/(x+9)=cos12x+2e+p1,因为g(x)满足g12-xj=g12+x

所以函数g(x)的图象关于直线尤=看对称.因为，(x)=-2sin(2x+2s+W，所以

g'H一2M2*表2夕+己］=0,

即sin12夕+看］=0,所以2夕+^=%万，1，所以。=与胃

TT

因为。＞。，所以。的最小值为丁.故选：A.

2.(2023・全国•高三专题练习)a/(x)=cos|^2x-y-sin|^2x-y将函数的图象向左平移

夕(0＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则。的最小值是()

A.-B.—C.-D.-

121263

【答案】B

【分析】先根据三角恒等变换求出函数"%)的解析式，再根据三角函数图象变换法则求出函

数g(x)的解析式，然后根据其性质可解得。，结合。＞。，即可解出.

【详解】因为/(x)=cos^2x-^^-sin^2x--^^=-cos2x+sin2x-cos2x

=—sin2x--cos2x=A/3sin|2x-^|,

22I3j

所以g(x)=/(x+9)=退sin]2x+2e-|^,而g(x)为偶函数，所以2夕一4=]+析,左eR,即

。='兀+；E,而。＞。，所以。的最小值是胃.故选：B.

7T

3.(2022•全国•高三专题练习(文))将曲线C：y=sin2x+cos2x向左平移巴个单位长度得到曲线G，将曲

4

线C向右平移夕(。＞0)个单位长度得到曲线C?,若C1与C?关于x轴对称，则夕的最小值为()

A.二B.工C.&D.羽

4234

【答案】A

377

【分析】由题意，将平移后的两个函数建立等式后得-2夕=三+24万/eZ,再求最小值即可.

【详解】曲线C:y=sin2x+cos2x=>/2sin^2x+^-j,

将曲线C向左平移二个单位长度得到>=点也（2尤+J+M，

4I24；

将曲线。向右平移0（。>0）个单位长度得到y=也sin（2x-2。+£）,

由题意得0sin12x—20+：］=-^sin^2%+=V2sin^2x+^+^,

37r37r

所以-29=5+2%%,ZeZ,解得3=_%_k凡keZ,

TT

因为。>。，所以^故选：A

【题型六】平移6：求w。最值

【典例分析】

7T

f（x）=2sin（s——）3>0）

（2022•江苏•南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）将函数3的图象向左平

移五个单位得到函数y=g（无）的图象，若y=g。）在6'了上为增函数，则。最大值为（）

3

A.—B.2C.3D.y/5

2

【答案】B

【分析】先求出g（x）,又因为y=g（x）在［-白勺上为增函数，则。且efwg,即可求出。

6442

最大值.

【详解】函数/（X）=2sin（ox-£）（0>0）的图象向左平移三个单位得到函数y=g。）的图象，

33。

贝i|g（x）=2sin|0心+事］一g=2sin（y%,又因为y=g（无）在［-白与上为增函数，

［I3切3」64

所以且解得：s&2,故0的最大值为2.故选：B.

<6J242

【提分秘籍】

基本规律

大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或''零点”）坐标代入解析式，或者

利用单调区间，再结合图形解出°值或者范围。

【变式演练】

71

1.（2022•吉林・长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数/（x）=sin0x-gcoss（0>O）的图象向左平移了

个单位长度后得到函数g（x）的图象关于y轴对称，则。的最小值为（）

A.1B.2C.?D.5

3

【答案】D

【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的奇偶性进行求解即可.

【详解】/(x)=sinox-geos。犬=2sin(s-三)，因为该函数的图象向左平移自个单位长度后得到函数

36

g(x)的图象,

所以gQ)=〃尤+m)=2sin(s+B0V)，因为g(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)是偶函数，

o63

因此有四口一色=far+—(^GZ)n①=6k+5(keZ),

632

因为口>0,所以当％=0时，①有最小值，最小值为5,故选：D

2.(2023•全国•高三专题练习)将函数/(x)=sin0M。>0)图象上所有点的横坐标缩短到原来的；倍(纵坐

标不变)，再向左平移看个单位长度,得到函数双外的图象,若gG)在(胃‘加上单调递减,则实数。的

取值范围为()

A.(0,—]B.(0,—]C.—>—D.一，一

48144」L48_

【答案】D

【分析】根据函数图象变换关系求出g(x)的解析式，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可.

【详解】解：将函数/(x)=sinoM0>O)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍(纵坐标不变)，得到

TT

y=sin2^X,再向左平移9个单位长度，得到函数g（x）的图象，

即g（x）=sin2o[x++）=sin12°x+；）,若g（x）在（^，»）上单调递减，

则g（x）的周期722（万一工）=万，即纭得0<。42,

2co

JIJI3兀7i57r

由2kjiH—W2。％~\—W2k兀H-----,左£Z,2k7iH—W2〃zx«2k7iH------,左wZ,

24244

1

即2左万+£<产兀+々,即gG)的单调递减区间为lk7i+—2k兀+—

1,4keZ,

2（D'2co

2。一一2。

2k7l+-

______4<—co22k-\—

若gG)在(5,万)上单调递减，则<2①24

57r5

2丘+也co<k+—

4>718

BP2k+-<a)<k+-,kwZ,当人=0时，-<«<-,即。的取值范围是---.

4848L48_

故选：D.

/(%)=4sin|+—Jsin||,(<w>0)

3.(2022.黑龙江・大庆实验中学模拟预测(理))已知函数I3><3>的最小

71

X——

正周期为万，将其图象沿x轴向左平移风根>°)个单位，所得图象关于直线3对称，则实数根的最小值

为()

【答案】A

【分析】由已知，先对函数/（X）进行化简，根据最小正周期为兀，求解出。，然后根据题意进行平移变换,

得到平移后的解析式，再利用图象关于直线x=5对称，建立等量关系即可求解出实数加最小值.

7171fl.出](1.A/3]

【详解】解：/（x）=4sin|如十三sinox--=4—sincoxH-----coscox—sincox------coscox

322”2

\7